RI_OCR[4]
.pdfд) Имеем:
39 [ |
7 -1~ 1~] [-~ -~ ~]= [~ ~ ~I]' |
|
|
-8 |
|
A-1A=-.!... 5 |
|
|
|
84 |
32200 |
т. е. обратная матрица найдена верно.....
ИДЗ-J.2
1. Проверить совместность системы уравнений и в слу чае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
|
|
2XI + |
Х2 +3Хз = |
7, |
|
|
2xI |
- X2+ 2X3=3, |
|||
1.1. |
|
2xI |
+ |
3Х2 + |
Хз = |
1, |
1.2. |
|
XI |
+Х2 +2хз = |
-4, |
|
{ |
3xI +2Х2+ |
хз=6. |
|
{ |
4xI +Х2 +4хз = |
- 3. |
||||
|
|
3XI - |
Х2 + Хз = |
12, |
{2XI- Х2+3ХЗ = |
-4, |
|||||
1.3. |
|
XI |
+ |
2Х2 + |
4хз = |
6, |
1.4. |
|
XI +3Х2Хз = |
11, |
|
|
{ |
5xI |
+ |
Х2 +2хз = |
3. |
|
|
XI - 2Х2 +2хз = |
- 7. |
||
|
|
3XI - |
2Х2 +4хз = |
12, |
|
|
|
|
|||
~1.5. { |
3xI |
+ |
4Х2 - |
2хз = |
6, |
9. |
|
|
|
|
|
|
|
2xI - |
Х2 - |
Хз = |
- |
|
|
|
|
||
|
|
8XI + |
3Х2 - |
6хз = |
-4, |
|
|
|
|
||
1.6. |
|
XI |
+ |
Х2хз=2, |
|
|
|
|
|
||
|
{ |
4xI |
+ |
Х2-3ХЗ= - 5 . |
|
|
|
|
|||
|
|
4XI |
+ |
Х2-3хз=9, |
|
|
|
|
|
||
1.7. |
|
XI |
+ |
Х2Хз= -2, |
|
|
|
|
|||
|
{ |
8xI |
+3Х2 - |
6хз = |
12. |
|
|
|
|
||
|
|
2XI +3Х2 + 4хз = |
33, |
|
|
|
|
||||
1.8. { 7xI - |
5Х2 |
= |
24, |
|
|
|
|
||||
|
|
4xI |
|
+ Ilхз = |
39. |
|
|
|
|
||
|
|
2XI +3Х2 +4хз = |
12, |
|
|
|
|
||||
1.9. { 7xI - |
5Х2 + |
Хз = |
-33, |
|
|
|
|
||||
|
|
4xI |
|
+ ХЗ= -7. |
|
|
|
|
|||
|
|
XI +4Х2 - |
Хз = |
6, |
|
|
|
|
|||
1.10. |
{ 3xI - |
5Х2 +4хз = |
-20, |
|
|
|
|
||||
|
|
2Х2 + 5хз = |
-22. |
|
|
|
|
||||
41
{3ХI - 2Х2 + 4хз = 21,
1.11.3ХI + 4Х2 - 2хз = 9,
2xl- Х2Хз= 10.
1.12. { |
3ХI - |
2Х2 - |
5хз = 5, |
|
|
|
|
||
2ХI + 3Х2 - |
4хз = |
12, |
|
|
|
|
|||
|
|
ХI - |
2Х2 + 3хз = -1. |
|
|
|
|
||
|
{ |
4ХI + |
Х2 + |
4хз = |
19, |
{2ХI - |
Х2 + |
2хз = |
о. |
1.13. |
2ХI - |
Х2 + |
2хз = |
11, 1.14. |
4ХI + |
Х2 + |
4хз = |
6, |
|
|
ХI +Х2+2хз=8. |
ХI +Х2+2хз=4. |
|||||||
{2ХI - Х2 + 2хз = 8,
1.15.ХI + Х2 + 2хз = 11, 4ХI + Х2 + 4хз = 22.
{2ХI - Х2 - 3хз = -9,
1.16.ХI + 5Х2 + Хз = 20, 3ХI + 4Х2 + 2хз = 15.
|
2ХI - Х2 - |
3хз = О, |
||||
1.17. { 3ХI + |
4Х2 + |
2хз = |
1, |
|||
|
xl+5x2+ хз=-3. |
|||||
|
-3ХI + 5Х2 + 6хз = -8, |
|||||
1.18. { |
3ХI + |
Х2 + |
Хз = -4, |
|||
|
ХI-4Х2-2хз= -9. |
|||||
|
3ХI + Х2 + Хз = - 4, |
|||||
1.19. { |
-3ХI + |
5Х2 + |
6хз = 36, |
|||
|
ХI-4Х2-2хз= -19. |
|||||
|
3XI- Х2+ ХЗ= -11, |
|||||
1.20. { |
5ХI + |
Х2 + |
2хз = |
8, |
||
|
ХI + |
2Х2 + |
4хз = |
16. |
||
{Х2 + Хз = 9,
1.21.5xl+ Х2+2хз=ll,
ХI + 2Х2 + 4хз = 19.-3ХI
{2ХI 3Х2 + Хз = 4,
1.22.2ХI + Х2 + 3Хз = О,
3ХI +2Х2+ Хз= 1.+
42
|
|
2XI +3Х2+ Хз= 12, |
|||
1.23. { 2xI + |
Х2 + |
3Хз = |
16, |
||
|
|
3xI + |
2Х2 + |
Хз = 8. |
|
|
|
XI - |
2Х2 + |
3Хз = |
14, |
1.24. |
{ |
2xI + |
3Х2 - |
4хз = |
-16, |
|
3xI - |
2Х2 - |
5хз = |
-8. |
|
|
|
3XI + |
4Х2 - |
2хз = 11, |
|
1.25. { 2xI - |
Х2 - |
Хз = |
4, |
||
|
|
3ХI-2Х2+4хз= 11. |
|||
|
|
XI + 5Х2 - |
6хз = |
- 15, |
|
1.26. { |
3xI + |
Х2 + |
4хз = |
13, |
|
|
|
2xI - |
3Х2 + |
Хз = |
9. |
|
|
4XI - |
Х2 |
= |
-6, |
1.27. |
|
3xI + |
2хз + |
5хз = |
-14, |
|
{ |
XI - |
3Х2 +4хз = |
- 19. |
|
|
|
5XI + |
2Х2 - |
4хз = |
-16, |
1.28. { |
XI |
+ |
3Хз = -6, |
||
|
|
2xI - |
3Х2 + |
Хз = |
9. |
|
|
XI + 4Х2 - |
Хз = |
- 9, |
|
1.29. { 4xI - |
Х2 + |
5хз = |
-2, |
||
|
|
|
3Х2 -7хз = |
-6. |
|
|
|
7XI + 4Х2 - |
Хз = |
13, |
|
1.30. { 3xI + |
2Х2 + |
3хз = |
3, |
||
|
|
2xI - |
3Х2 + |
Хз = |
- 10. |
2. Проверить совместность системы уравнений и в слу· чае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
|
|
3XI +2Х2-4хз = |
8, |
|
XI +Х2 + Хз = |
1, |
|||
2.1. { |
2xI +4Х2-5хз = |
11, |
2.2. { |
ХI-Х2+2хз = |
-5, |
||||
|
|
xl-2x2+ Хз = |
1. |
|
2xI |
+3Хз = |
-2. |
||
|
|
2XI - |
Х2+4хз = |
15, |
2.4. |
3XI - |
3Х2 + |
2хз = |
2, |
2.3. |
{ |
3xl- |
Х2+ Хз = |
8, |
4ХI-5Х2+2хз = |
1, |
|||
|
5ХI-2Х2+5хз = |
О. |
{ |
xl-2x2 |
= 5. |
||||
43
3XI + Х2+2хз= -3,
2.6.2xI +2Х2+5хз=5,
{5xI +3Х2+ 7хз= 1.
5XI -9Х2-4хз=6,
2.8. XI -7Х2-5хз= 1,
{ 4xI -2Х2+ хз=2.
{5ХI-5Х2-4Хз= -3,
2.10.XI- Х2+5хз= 1, 4XI-4Х2-9хз=О.
4XI-3X2+ хз=3,
2.12. { XI + Х2хз=4,
3ХI-4Х2+2хз = 2.
6X1 +3X2-5хз=О,
2.14.9xI +4Х2-7хз=3,
{3xI + Х2-2хз=5.
2xI +3Х2+4хз =5,
2.16. XI + Х2+5хз= 6,
{ 3xI +4Х2+9хз= о.
44
2.28. |
{ |
3ХI +4Х2+ ХЗ =2, |
2.29. |
2ХI-3Х2+2хз=5, |
|
ХI+5Х2-3хз=4, |
3ХI +4Х2-7хз=2, |
||||
|
2xl- Х2 +4хз=5. |
. |
{ |
5ХI + Х2-5хз=9. |
|
|
{ |
4XI-9Х2+5Хз = 1, |
|
|
|
2.30. |
7ХI -4Х2 + Хз = 11, |
|
|
|
|
|
3ХI +5Х2-4хз=5. |
|
|
|
|
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче ских уравнений.
ХI + Х2+ Хз=О,
3.1.{ 2xl- 3Х2+ 4хз=О,
4XI-Ilx2+ 10хз =0.
3.3. { |
|
ХI +3Х2+2хз=О, |
|
2ХI - Х2 + 3Хз = О, |
|||
|
|
3ХI-5Х2+4хз=0. |
|
3.5. |
{ |
2ХI +5Х2+ Хз=О, |
|
4ХI + 6Х2 + 3Хз = О, |
|||
|
XI- Х2-2хз=0. |
||
XI- Х2+2хз=О,
3.7.2ХI +Х2-3ХЗ=О,
{3ХI +2хз=0.
|
5ХI - 5Х2 + 4хз = О, |
|
3.9. |
{ |
3ХI + Х2 + 3Хз = О, |
|
XI+7x2- Хз=О. |
|
2XI+ Х2Хз=О,
3.13.3XI-2Х2+4хз=О,
{ХI- 5Х2+3ХЗ=0.
ХI +4Х2-3ХЗ=О,
3.15.2ХI +5Х2+ Хз=О,
{ХI-7Х2+ 2хз=0.
ХI +2Х2+3ХЗ=О,
3.17.2xl- Х2Хз=О,
{3ХI +3Х2+2хз=О.
4ХI - Х2 + 10хз = О,
3.4. |
{ |
ХI +2Х2- |
Хз=О, |
|
2XI-3x2+ |
4хз=0. |
3XI- Х2-3ХЗ=О,
3.6.2ХI +3Х2+ Хз=О,
{ХI + Х2+3ХЗ =0.
2XI- X2-5хз=О,
3.8. ХI + 2Х2 - 3Хз = О,
{ 5ХI + Х2+4хз=О.
ХI +3Х2хз=О,
3.10.2ХI +5X2-2хз=О,
{ХI + Х2+5хз=0.
xl-2x2- Хз=О,
3.12.2ХI +3Х2+2хз=О,
{3ХI-2Х2+5хз=0.
{4ХI + Х2+3ХЗ=О,
3.14. 8xl- Х2+ 7хз=О,
2ХI +4Х2-5хз=0.
xl-2x2+ хз=О,
3.16.3ХI + Х2+2хз=О,
{2ХI-3Х2+5хз=0.
3.18. { |
3ХI + 2Х2 |
= О, |
XI- Х2+2хз=О, |
||
|
4ХI-2Х2+ 5хз=0. |
|
45
4. Решить однородную систему линейных алгебраиче
ских уравнений.
{5X1 -ЗХ2+4Хз =0,
4.1. ЗХI +2Х2хз=о,
8xl- Х2+ЗХЗ =0.
ХI +2Х2+4хз=0,
4.5. 5ХI + Х2 +2хз = о,
{ 4xl- Х2-2хз=0.
46
|
|
3XI- |
2X2+ хз=о, |
4.12. |
{5XI+ Х2+2хз=0, |
|
4.11. { 2ХI+3Х2-5хз=0, |
|
3ХI+2Х2-3ХЗ=0, |
||||
|
|
5xl+ Х2-4хз=0. |
|
|
2xl- Х2+ хз=о. |
|
4.13. |
{ |
ХI +2Х2-5хз=0, |
|
{ ХI-3Х2+5хз=0, |
||
ХI-2Х2-4хз=0, |
4.~4. |
|
ХI +2Х2-3ХЗ=0, |
|||
|
2ХI |
-9хз=0. |
|
|
2xl- Х2+2хз=0. |
|
4.15. { |
2XI- Х2+2хз=0, |
4.16. |
{2XI- Х2+3ХЗ=0, |
|||
3ХI +2Х2-3ХЗ=0, |
|
ХI-3Х2+2хз=0, |
||||
|
|
5ХI + Х2хз=о. |
|
|
ХI +2Х2+ хз=о. |
|
|
|
ХI-3Х2-2хз=0, |
|
{ |
5ХI + Х2-2хз=0, |
|
4.17. |
{ |
3xl- Х2+4хз=0, |
4.18. |
3xl- Х2+ хз=о, |
||
|
2XI-2x2+ хз=о. |
|
2ХI +2Х2-3ХЗ = о. |
|||
{3ХI +2Х2-3ХЗ = о, 4XI- Х2+5хз=0,
4.19.2XI-3x2+ хз=о, 4.20. { 2ХI - 3Х2 + 2хз = о,
5xl- Х2-2хз=0. 2ХI +2Х2+3ХЗ=0.
{3ХI +4Х2- -"з= о,
4.21.2ХI-3Х2-7хз=0, 4.22. ХI - 5Х2 + 2хз = о,
3ХI+2Х2- 6хз=0. 4xl- Х2+ хз=о.
{2ХI +4Х2-3ХЗ =0, 7XI-6X2- хз=о,
4.23.ХI-3Х2+2хз=0, 4.24. { 3ХI - 3Х2 + 4хз = о, 3ХI + Х2хз=о. 4ХI-3Х2-5хз=0.
{5XI-3Х2+2Хз=0, ХI-8Х2+7хз=0,
4.25.2ХI +4Х2-3ХЗ=0, 4.26. { 3ХI + 5Х2 - 4хз = о, 3ХI- 7Х2+5хз=0. 4ХI-3Х2+3ХЗ=0.
{5ХI +8Х2-5хз=0, |
|
{ |
5ХI + |
Х2-6хз=0, |
|
4.27. t7ХI +5Х2- Хз= о, |
4.28. |
4ХI + |
3Х2 - 7Хз = о, |
||
. 2ХI-3Х2+4хз=0. |
|
xl-2x2+ |
хз=о. |
||
2XI- Х2+4хз=0, |
|
|
2XI+2X2- |
хз=о, |
|
4.29.7ХI-5Х2+3ХЗ=0, 4.30. 5ХI +4Х2-6хз=0,
{5XI-4x2- хз=о. { 3ХI +2X2-5хэ=О.
Решение типового варианта
1. Дана система линейных неоднородных алгебраиче
ских уравнений
ХI + |
5Х2 - |
Хз = 3, |
} |
2ХI + |
4Х2 - |
3Хз = 2, |
|
3ХI - Х2 - 3Хз = - 7.
47
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совмест ности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
~ Совместность данной системы проверим по теореме
Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преоб
разований найдем ранг матрицы
А~[~ _; |
-3 |
|
-1] |
|
-3 |
данной сиСтемы и ранг расширенной матрицы
B=[~ ~ =~ ~].
3 -1 - 3 -7
Для этого умножим первую строку матрицы В на - 2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на - 3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
B~[~ |
4 |
-3 |
~J-P |
-6 |
-1 |
--:]- |
||
|
5 |
-1 |
|
|
5 |
-1 |
|
|
|
-1 - 3 |
- 7 |
О -16 |
О |
16 |
|||
|
|
-п |
-1 |
- 6 |
|
-43] |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
-1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
О -16 |
|
-16 |
|
|
|
Следовательно, rang А = |
rang В = 3 |
(т. е. числу не |
||||||
известных). Значит, исходная система совмеСтна и имеет
единственное решение.
а) По формулам Крамера (1.17)
XI = L\~I)/ L\з, |
Х2 = L\~2)/ L\з, ХЗ = L\~з)/ L\з, |
|||||
где |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
5 |
-1 |
|
|
|
|
|||||
L\з = |
|
2 |
4 |
- 3 |
|
=-16; |
|
|
3 |
-1 |
-3 |
|
|
48
|
|
|
3 |
5 |
-1 |
|
|
||
L\~I)= |
|
|
2 |
4 |
-3 |
|
= 64; |
||
|
- 2 -1 |
-3 |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
-3 |
|
= -16; |
||
|
3 |
- 7 |
|
- 3 |
|
|
|
|
|
L\~2) = |
|
1 |
5 |
3 |
= 32, |
||||
|
|||||||||
|
2 |
4 |
2 |
||||||
|
|
|
3 -1 - 7 |
|
|
||||
находим: XI = 64/( -16) = |
-4, Х2 = -16/( -16) = 1, |
||||||||
хз=32/(-16)= -2; |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Для нахождения решения системы с помощью
обратной матрицы запишем систему уравнений в матрич
ной форме АХ = 8;. Решение системы в матричной форме
имеет вид Х = А -1 В. По формуле (1.11) находим обратную
матрицу А-1 |
(она существует, |
так |
как |
L\з = det А = |
|||||
= -16=#0): |
_~1=-15, |
|
|
|
|
=~ /= 16, |
|||
A 11 = /_ ~ |
А21 = |
- / _ ~ |
|||||||
|
АЗ1 = / ~ |
=~ |
/= |
-11, |
|
||||
A 12 = -1 ~ |
=~ /= -3, |
А22=/ ~ |
=~ /=0, |
||||||
|
АЗ2= - / ~ - ~ / = 1, |
|
|||||||
Аlз=l; |
_~ /= -14, А2 |
з= -1 ~ |
_~1=16, |
||||||
|
|
А |
зз= |
I~ |
~I |
-6, |
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|||
A-I=_I_[-~~ |
I~ |
-1:]. |
|||||||
|
|
|
-16 |
-14 |
16 |
- 6 |
|
||
Решение системы: |
[-15 |
|
|
|
|
||||
XI] |
-\6 |
|
|
|
|
||||
Х=[ Х2 |
= |
-3 |
|
|
|
|
|||
Хз |
|
|
|
-14 |
|
|
|
|
|
49
= |
( -45 |
+32 |
+77)/( -16)] |
[-4] |
( - |
9 - |
7) / ( - 16) . = |
1 . |
|
|
[ (-42 |
+32 |
+42)/( -16) |
-2 |
Итак, XI = -4, Х2= 1, Хз = -2;
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим XI ИЗ второго И третьего уравнений. Для этого первое уравнение
умножим на 2 и вычтем иЗ второго, затем первое уравне
ние умножим на 3 и вычтем из третьего:
Х! + 5Х2 - Хз = 3, |
} |
-6Х2-ХЗ= -4,
-16x2 = -16.
Из полученной системы находим XI = -4, Х2 = 1, Хз =
=-2....
2.Дана система линейных неоднородных алгебраиче
ских уравнений
2XI-3X2+ ХЗ=2,}
3xI + Х23Хз= 1,
5xI - 2Х2 - 2хз = 4.
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совмест
ности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
~ Проверяем совместность системы с помощью теоре
мы Кронекера - Капелли. В расширенной матрице |
|||
B=Г~ |
-~ |
-; |
i] |
l~ |
-2 |
-2 |
4 |
меняем третий и первый столбцы местами, умножаем
первую строку на 3 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибаВJIяем к третьей, из второй
строки вычитаем третью:
B~[~ =! =~
-3
1
-2
-п |
-3 |
2 |
-3 |
2 |
|
||||
|
- 8 |
9 |
- 8 |
9 |
|
- 8 |
9 |
О |
О |
50