RI_OCR[4]

начало координат, а место падения - лежащим на поло­

жительной полуоси Ох, и определить параметр траекто­

рии. (Ответ: (х-30)2= -50(y-18), р=25 км.)

4.2. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек про­ странства, декартовы координаты Х, у которых удовлетворяют алгеб­ раическому уравнению второй степени

allx2 + а22у2 + аззz2	+ 2al2xy + 2аlЗХZ + 2а2ЗУZ + 2alx +
+ 2а2У + 2азz + ао = о,
где коэффициенты all, а22,	... , ао - постоянные числа. Это уравнение

называется общUAI уравнением noBepXHoc"rU второго порядка. Существует девять классов невырожденных поверхностей второго

порядка, канонические уравнения которых можно получить из общего уравнения с помощью преобразований системы координат (параллель­ ного переноса и поворота в пространстве осей координат). В результате

'них преобразований получаем следующие канонические уравнения:

	х2	у2	Z2		(4.6)
	- + - + - =1			(эллиnсои?ы) ,
	а2	Ь2	с2
	х2	у2	Z2	(одноnолостные гиперболоиды) ,	(4.7)
	- + --- =1
	а2	Ь2	с2
	х2	у2	Z2
	- + --- = - 1 (двуnолостньiе гиперболоиды),				(4.8)
	а2	Ь2	с2
	х2	у2	Z2		(4.9)
	- + --- =0			(конуСЫ второго порядка),
	а2	Ь2	с2
	х2	у2			(4.10)
	- + - =2z			(эллиптические параболоиды),
	а2	Ь2
	х2	у2
	--- =2z			(гиперболические параболоиды),	(4.11)
	а2	Ь2
	х2	у2
	- + - =1			(эллиптические цилиндры),	(4.12)
	а2	Ь2
	х2	у2
	--- =1			(гиперболические цилиндры),	(4.13)
	а2	Ь2
	r=2py			(параболические цилиндры) .	(~.14)

Здесь параметры а, Ь, С, Р - постоянные и положительные числа,

характеризующие в определенном смысле свойства поверхностей.

Получение канонического уравнения из общего является довольно

сложной процедурой, но в случае отсутствия членов с ху, XZ, yz

(a12 = аlЗ = а2З = о) приведение общего уравнения к каноническому виду

достигается (как и в случае линий второго порядка) методом выделения

полных квадратов и параллельным переносом осей координат.

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение х2 _ 2у2 +

+ 4z2+2х -12у - 8z - 3 = о, выяснить тип, свойства и расположение

заданной этим уравнением поверхности относительно системы координат

Oxyz.

121

~ Выделив полные квадраты при Входящих в уравненне перемен­ ных (т. е. сгруппировав члены уравнення указанным ниже образом),

имеем:

(х2 +2х+ 1-1)-2(!I+6y+9-9)+4(z2-2z+ 1-1)-3=0,

(х + 1)2 - 2(у + 3)2 + 4(z -			1)2 = 3 + 1 -	18 + 4 = -10,
(х+ 1?	_	(у+ 3)2	+ (z-l? = - 1
10		5	5/2	.
При параллельном переносе осей коордннат, задаваемом фор­
муламн: х' = х + 1, у' =	У	+ 3, z' = z - 1, начало координат новой сн-
		г'	z

у'

у

х

Рис. 4.9

стемы окажется в точке 0'(-1, -3, 1), а уравнение поверхности

примет канонический вид

х,2 у'2 Z,2

10 - 5+5/2 =-1.

Следовательно, данная поверхность - двуполостный гнперболонд, кото­

рый нмеет а = Fo. ь = -15. с = ,)5/2, вытянут вдоль новой оси О'у',

а центр его находнтся в точке О'(-1, - 3, 1) (рнс. 4.9) ...

Форма и свойства всех перечисленных выше поверхностей второго порядка (4.6) - (4.14) устанавлнваются с помощью метода nараллель­ ных сечений. Суть метода состоит в том, что поверхности пересека­

ются ПJJОСХОСТЯМИ, параллельиыми координатным плоскостям, а затем

по виду и свойствам получаемых в сечениях лнннй делается вывод

о форме и свойствах самой поверхности.				.
Примеr	2.	Установить форму и свойства однополостного гнпер-
х	+	у2	Z2
боланда 16		Т -""9 = 1. Сделать рисунок.
~ Будем		пересекать поверхность горизонтальными		плоскостями
z = h. Из системы уравнений

122

вндно, что в любом таком сечении получается эллипс с полуосями

аl = 4 -.j1 + h2 /9, ы = 2-.j1 + h2 /9. Сечение плоскостями х = h дает ги­

перболы:

.L-~=I-~				'	}
16	9	4
x=h,
а сечение плоскостями у = h -	гнперболы:
~--==-=1-~				}
16	9	4	'

y=h

(только с другими полуосями).

При h = О получим сечения поверхности (одиополостного гипербо­ лонда) координатнымн Плоскостями z = О, или х = О, или у = о. Эти сечения называются главными (рис. 4.10). Размеры гЛавных сечеиий оче­

видны: в плоскости z = О эллипс имеет полуоси а = 4, Ь =						2; в плоскости
х = О	гипербола		нмеет действительную полуось Ь = 2,			мнимую	с = 3;
в плоскости		У =	О	гипербола	имеет действительную	полуось	а = 4,
мнимую с =		3. Координатные плоскости являются плоскостями симмет­
рии поверхиости...
В	инженерных			задачах часто встречаются различные поверх­
ности вращения, т. е. J;Iоверхности, получаемые вращением некоторой
плоской лннии вокруг заданной					прямой (называемой осью поверхности
вращения), лежаще~ с этой линией в одиой плоскостн.							z) = О,
Если лнння лежит в плосКости Oyz и имеет уравнения F(y,

х = О, то при вращенин ее вокруг оси Oz получаем поверхность вращення,

уравненне которой нмеет внд		F (± -,Jх2 +у2, z) = О; еслн	вращение
совершать вокруг оси Оу, то		уравнение поверхности вращения (дру-
гой!)	Запишется в виде F(y, ±-,Jr+z 2 )=0.
	Пример 3. Записать уравнение поверхности вращения, полученной
	у2	Z2
при	вращении гиперболы - 2 -	- 2 = 1: а) вокруг оси Oz;	б) вокруг

аЬ

оси Оу.

~ а) Согласно нзложенному выше правилу, В уравнении гиперболы

замеияем у на ± -,Jr +у2 И получаем уравнение поверхности

вращения:

Это однополостный гиперболоид вращения, у которого в горнзои­

тальных сечениях вместо эллипсов лежат окружности (см. пример 2);

б) При вращении данной гиперболы вокруг оси Оу следует в ее

уравнении заменить z на		± -.../х2 + Z2.		Тогда имеем:
I	r+~	=1	r	I ~
7 -	Ь2		ИЛИi?-7+i?=-I.

123

z

z

	у
у
х
Рис. 4.10	Рис.4.11
Это двуполостный гиперболоид	вращения, вытянутый вдоль оси Оу

(см. пример 1), сечения которого плоскостями у = h > а представляют

собой окружности, а не эллипсы, как в примере 1...

Пример 4. Составить уравнение поверхности, полученной вращением

дуги синусоиды z = siп у, х = О (о:;;;;; У :;;;;; 2л) вокруг оси Оу. ~ Имеем:

z= siп (± ';х2 + у2), Z = ±siп ';х2 + у2

(рис. 4.11) ...

А3-4.2

1. Методом параллельных сечений исследовать форму

поверхности и построить ее:

а)	х2 +2у2 + 4z		2	=	2;	б) 2х2 -	91/ - Z2 = 36;
В) - 2х2 + 3у2		+		4z2= О; г) 2у2 + z = 2х;
д)	Z2_ y 2=X;		е)		2x2+4z2=4;		ж) y2-6z=0.

2. Определить вид поверхности и построить ее:
а) х2		+ у2 + Z2 - 3х + 5у - 4z = О;
б)	36х2 +		16у2 -	9z 2 + 18z = 9;
В)	х2	+у2	+ Z2 =	2z;
г)	5х	2 +у2+ IOx-6у-IОz+ 14-0;
д)	х2	+ 3z2 - 8х		+ 18z + 34 = О.

3. Построить тело, ограниченное поверхностями:
а) x 2=z, z=O, 2х-у=0, х+у=9;
б) Z2 = 4 - Jf' х2 +у2 =	4у;
в) Z=y2, Х +у2=9, z=O;
г)· z=y, z=O, у=.у4	х, y=f(x-I).

124

Самостоятельная работа

Построить тело, ограниченное указанными поверх-

ностями.

1. z = 4 - х2 , Z = о, х2 +у2 = 4.

2. z=2x2+y2, z=O, х=о, у=о, х+у= 1.

3. х2 + у2 + Z2 = 9, z + 1 = х + у2 (z ~ - 1).

4. )(2 +у2 = Z, х2 +у2 = 4, z = о.

4.3. ЛИНИИ, ЗАДАННblЕ УРАВНЕНИЯМИ В ПОЛЯРНblХ

КООРДИНАТАХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ

Полярные координаты точки и уравненне nинии 8 полярных K~ ордина'rах. Положение некоторой точки М на плоскости в прямоуголь­ ной декартовой снетеме координат Оху определяется числами х и у, т. е. М(х, у) (рис. 4.12). Эту точку можно задать н другим способом,

у

l1/х, у} fI1(9;'fJ}

у

j

ох

Рис. 4.12

Рис. 4.13

~

например с помощью расстояния р = 'ОМI и угла <р, отсчитываемого протнв хода часовой стрелки от оси Ох, называемой полярной осью, до

~

радиуса-вектора ОМ. В этом случае используется запись М (р; <р). Рас­ стояиие р называется полярным радиусом, <р - полярным углом точки М, а точка О - полюсом.

Связь между декартовыми х, у и полярными р, <р координатами

~

точки М при указаииом расположении осей Ох н Оу, вектора ОМ и угла <р выражается формулами:

	х = р cos <р, р;;' О,		}
	у=р siп <р,	О:;;;;;<р<2л	(4.15)
(см. рис. 4.12). С	помощью формул	(4.15) можно находить декартовы
коордннаты точки	М r:o ее полярным координатам. Если эти формулы

разрешить относительно р и <р, то получим формулы:

_~	Х.	у		(4.16)
Р = I/X- +у-, cos <р=	-Ух2 + у2 , SIП <р=	-Vr +у2	,

с помощью которых по декартовым координатам точкн М легко найти

ее полярные координаты.

125

Формулы (4.15) и (4.16) дают также возможность переходить от

уравиений линий. заданных в декартовых координатах. к их уравне­

ниям в полярных координатах. и наоборот.

Пример 1. Построить точки.				заданные полярными			координатами:
М,(2;	л/6), M 2 (1; 3л/4).		Мз(3;		5л/4).	М.(2; 5л/6).	М Б(3/2; л/2).
Мб(4;	О). М7 (3;	7л/4).
~ Вначале		проведем	луч под		углом	rp к полярной	оси Ох, затем

на построенном луче отложим от полюса О отрезок длииой р. В итоге най­

дем все семь точек (рис. 4.13). Отрезок ОЕ

определяет

единицу

длины. •

Пример 2. Найти декартовы координаты точек М, • .... М 7• заданных

в примере

1.

~

В

соответствии

с

формулами

(4.15)

имеем: М,(...;з. 1).

М2( -

.ji/2. .ji/2 ~

М3 ( -

3 .ji/2. - 3 .ji/2). М.( -

-J3. 1). М5 (О. 3/2).

М6(4. О). М7

(з.ji/2.

-з.ji/2). •

Пример

3.

Точки

заданы

декартовыми координатами:

А (.ji,

-

.ji). В(О. -з). c(-J3. 1). Построить эти точки

и найти их полярные

координаты.

~ Согласно формулам (4.16). получаем: для точки А р = 2.

tg rp =

= -1. rp = 7л/4.

т.

е.

А (2;

7л/4);

для

точки

В

р = З. siп rp = -1.

ЧI = Зл/2. значит.

В(3;

Зл/2);

для

точки С р = 2.

tg rp = 1/-Гз= -Гз/з.

ЧI =

л/6. т. е. С(2;

л/6)

(рис. 4.14) . •

с

/19

/11

х

Х

-3

В

11,2

н,з

н,t.

р не.

4.14

Рис. 4.15

Пример

4.

Записать

уравненне

линии (х2 + у2)З!2 = 4(х2 -

Зу2) В

поляриых координатах.

~ Воспользовавшись формулами

(4.15). подставим в данное урав­

нение вместо х и у их выражения. Получим

рЗ =

4(р2 cos 2 rp _ Зр2 siп2 rp).

Считая р =1= О. преобразуем последнее уравнение:

р = 4 (cos2 rp - siп2	rp -	2 siп2 <р).
Р = 4(cos 2rp - 1 + cos 2rp).	р =	4 (2 cos 2rp - 1). •

126

Пример 5. Записать уравнение линии р2 = 8 siп2 2rp в декартовых

координатах.
~	Так как siп 2rp = 2 siп rp cos rp, данное уравнение можно перепи­
сать в	виде р2 = 32 sin 2 rp cos 2	rp И заменить р, siп rp и cos rp их выраже­
ниями	(см. формулы (4.16».	Тогда найдем:

Пример 6. Построить кри.вую, заданную уравнением Р = 2 +

+cos rp.

~Составим таблицу, в которой указаны значения 'pt и соответ-

ствующие им значения р; (i = l,l6):

'1"

р,

'1"

р,

'1'1

р,

'1"

р,

'1'1

р,

'1'1

р.

3

л

9

3

5

7

11

3

2

11

11

О

'3

'4

'4 л

'2

6'л

'4

'2 л

6'л

-4

л

11

л.

2

5

11

5

5

5

9

2л

3

6'

4'

'2

6'л

4'

-л

'2

'3

л

4'

4

л

5

2

9

3

4

9

7

5

Т

'2

'3 л

'4

л

'3 л

4'

'4 л

'2

Построив найденные точки Mi(Pi, rpi) (см.

пример

1)

и

соединив их

плавной

линией,

получим достаточно точный

график

искомой кривой

- (рис. 4.15). <4

Параметрические уравнения лииии. Уравиения вида

х =[1(/),

tl < t :;;;;;

t2,

}

(4 17)

У = [2(/),

z =

[з(t),

где

[1 ~),

{2(t), {з(t) -

некоторые

функции

параметра

t,

называются

nараAtетрическиAtи уравнениями линии в пространстве. В частном случае,

когда {з(/) == О (или {1 (/) == О, или [2(/) == О), получаем параметрнческие

уравнения линии на плоскости z = О (или х = О, или у = О). Следует отме­

тнть, что уравнения (4.17) задают не только линию, но и «закон движе­

НJ!Я» точки М (х, у, z) ПО этой линии: каждому значению параметра t

соответствует определенное положение точки на линии.

Пример 7. Выяснить, какая линия определяется параметрическими

уравнениями

х = а/ cos /,	}
У = а/ siп /,	а> О, Ь> О, /;;' О.
z=bI,

~ Это спиральная винтовая линия, проекция которой на плоскость

Z = О является спиралью Архимеда Р = arp (рис. 4.16). <4

127

Пример 8. Выяснить, какую линию задают указаНIIые параметри·

ческие уравнения

	x=asin 2 1,		а>О,
	у = Ь cos 2 1,		Ь > О, -OO<I<OO.}
	z=O,
~ Это отрезок	прямой,	концы	которого лежат на осях координат
в точках А (а, О) и	В(О, Ь).	Пр!! изменении 1 в интервале (- 00; +00)
точка М (1) отрезка	АВ бесчисленное множество раз «пробегает» этот
отрезок (рис. 4.17) .....

z

	у
	в
у
		А	х
х
Рис. 4.16		Рис. 4.17
Если из параметрических уравнений	(4.17) удается исключить пара­
метр 1, получают уравнения линии в	декартовых координатах.		Для

пространственной линин имеем пару уравнений, каждое из которых опре­

деляет цилиндрическую поверхность, а их пересечение дает саму линию.

Например, спиральную винтовую линию (см. пример 7) можно пред­

ставить следующей парой уравнений цилиндрических поверхностей

(1 = z/b):

аz а. z

х= Ь z cos Ь' у = Ь z SIП Ь' z;;;;' О.

дЛЯ плоской лннии, лежащей в некоторой координатной плоскости,

исключение параметра 1 также приводит к паре уравнений в декартовых

координатах, но одно из ннх всегда является уравнением коорди­

натной плоскости, в которой лежит сама лнния. Уравнение координатной

плоскости часто опускают. Так, в примере 8 уравнение отрезка АВ

можно представить следующей парой уравнений в декартовых КООРДи,

натах:

х у

(;+ь=l, z=O, O~x~a, O~y~b.

128

Пример 9. Построить линию, задаиную параметрнческими уравне­

ниями:

;::7'- '/! +2, }

z=t+ I/t- 3.

~ Данная линия лежит в координатной плоскости Oyz. Придавая

различные значения параметру t, можно получить достаточное количество

точек линии, по которым она строится. Чтобы более точно изучить эту линию, воспользуемся методом исключеиия параметра. Перенесем числа

2 и -3	во втором и третьем уравнениях систеМbl			в левую часть.
Возведем	обе части уравиений	в квадрат и из (z +3)'		вычтем (у - 2)'.
Тогда:	(z +з)2 - (у - 2)' = (t + 1ft)' -
			(t - 1/1)'= 4,
	(Z+3)2	_ (у-2)'	=1.
	4	4

Следовательно, в координатной пЛ'оскости х = О имеем равнобочную гиперболу (а = ь = 2) с центром в точке С (О, 2, -3), изображенную

на рис. 4.18. •

z

Рис. 4.18

А3-4.3

1. 'Построить линии, заданные уравнениями в полярных

координатах. Записать их в декартовых координатах:

1)	р =	5;	2) ер =	л/3;
3)	р =	аер	(спираль Архимеда);
4)	p=6cosep;			5)	p=lOsinep;
6)	р cos ер = 2;			7)	р sin ер = 1;

129

8)р = 1 4 (парабола);

-cos rp

9)р = а(1 - cos ср) (кардиоида);

10)р=3/ср (гиперболическая спираль);

11)р = 2'1', Р = (1/2)'1' (логарифмические спирали);

12)р = а siп 3ср (трехлепестковая роза);

13) р = а sin 2 2ср (чеТblрехлеnестковая роза);

14)р2 =а2 cos 2<р (лемниската Бернулли).

2.Составить в полярных координатах уравнения сле­

дующих линий:

а) прямой, перпендикулярной к полярной оси и отсе­

кающей на ней отрезок, равный 3;

б) прямых, параллельных полярной оси и отстоящих от

нее на расстоянии 5;

в)	окружности радиусом R = 4 с центром на полярной
оси и проходящей через полюс;
г)	окружностей радиусом R = 3,			касающихся	поляр­
ной оси в полюсе.
(Ответ: а) р cos q> = 3; б) р siп q> =				+5; в) р =	8 cos ср;
г) р =	+6 sin ср.)
3. Построить следующие линии, заданные параметри-
ческими уравнениями:
1) x=3t-I, У= -2t+5;
2)	х = 3 cos t +3, У = 3 sin t - 2;
3) x=5+4cost, y=-I+sint;
4)	х = a(t -	sin t), У = а(1 -	cos t) (циклоида);
5)	х=асоs3	t,у=аsiп3 t	(астроида);
6)	x=acost, y=asint, г=Ы (винтовая				линия);
7)	х= ~ (t++), У= ~ (t-+).
		Самостоятельная работа
1.	Исключив	параметр t из данных параметрических

уравнений линий на плоскости, записать их уравнения

в декартовых координатах Р(х, У) = О, определить тип каж­

дой линии и ее расположение на плоскости:

1) х = a/cos t, У = ь tg t (гипербола);

2)х=2а cos 2 t, у=а sin 2t (окружность);

3)х = а sin 2t, У = 2а sin 2 t (окружность);

4)х= -2+3sin2t, У= 1 +cos2t (эллипс);

5)х = 4(1 - t), У = 2-{t (часть параболы, для которой

y~O).

130