RI_OCR[4]
.pdf
|
3.3. |
Составить |
уравнение прямой, проходя щей |
через |
|||||||
точку М(I, |
-3,3) и образующей с осями координат углы, |
||||||||||
соответственно равные |
600, 450 |
и 1200. |
(Ответ: х ~ 1 = |
||||||||
_ |
у+З |
_ |
z-З |
) |
|
|
|
|
|
|
|
- |
-li |
- |
--=т- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Доказать, |
|
|
х-I |
_ |
у+2 _ |
z-I |
||||
|
что |
прямая |
- 2 - - |
-з- |
- |
- 6 - |
|||||
перпендикулярна |
к прямой |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2х +У - 4г +2= О,} |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4х-у-5г+ 4=0. |
|
|
|
|
|||
|
3.5. |
Составить |
параметрические |
уравнения медианы |
|||||||
треугольника с вершинами А(3, |
6, |
-7), |
В( -5, 1, |
-4), |
|||||||
с(о, 2, |
3), |
проведенной из вершины С. |
(Ответ: |
х = 2/, |
|||||||
У= -3/+2, г= 17/+3.) |
|
|
х + 2 = ~ = |
||||||||
|
3.6. |
При |
каком значении n прямая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
n |
|
z
=т параJ]лельна прямоиu
х+ У- Z =о,}
х-у-5г-8=О. (Ответ: n= -2.)
Н" х-I у+1
3.7.аити точку пересечения прямоиu - 1 - =---=2
= ~ и плоскости 2х + 3у + Z - 1 = О. (Ответ: М(2,
6.
-3, 6).)
3.8. |
Найти |
проекцию точки Р(3, |
1, |
- 1) на плоскость |
|||||
х + 2у + 3г - |
30 = О. (Ответ: Р, (5, |
5, |
5).) |
3х - |
5у + |
||||
3.9. |
При |
|
каком |
значении |
С |
плоскости |
|||
+ Сг - |
3 = О |
и х + 3у + 2г + 5 = О |
перпендикулярны? |
||||||
(Ответ: |
С = |
6.) |
|
|
|
|
Ах + 3у- |
||
3.10. |
При |
каком |
значении |
А |
плоскость |
||||
_ 5г + 1 = |
О |
параллельна прямой |
х - 1 _ |
у + 2 _ |
z ") |
||||
|
|
|
|
|
|
-4---З--Т' |
|||
(Ответ: А = |
-1.) |
|
|
|
|
|
|
||
3.Н. При |
каких |
значениях |
|
|
|
х-2 |
|||
т и С прямая -- = |
|||||||||
= у t 1 = |
|
|
|
|
|
|
т |
2у + |
|
z-=-з5 перпендикулярна к плоскости 3х - |
|||||||||
+Сг+ 1 =о? (Ответ: m= -6, С= 1,5.)
3.12.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой х = 21 + 5, У =
= - 31 + 1, z = -71 - 4. (Ответ: ~ = ~з = ~7 )
101
3.13.Проверить, лежат ли на одной прямой точки
А(О, о, 2), В(4, 2, 5) и C(12, 6, 11). (Ответ: лежат.)
3.14.Составить уравнение прямой, проходя щей через
+3г-
- |
1 О 5 +4 |
у - |
z - |
7 О (о |
твет: |
х-2 |
у+5 - |
|||
=, |
х |
|
= . |
--=-тт - |
-1-7- - |
|||||
= |
z;;з -) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15. Составить уравнение прямой, проходящей через |
|||||||||
точку М(2, |
- |
3, |
4) |
перпендикулярно |
к |
прямым |
хi 2 = |
|||
= |
у-з = ~ и |
х+4 = JL = |
г-4 . |
(Отвег х-2 _ |
||||||
|
-1 |
|
1 |
|
2 |
1 |
-з |
|
. - 2 -- |
|
_ у+з _ г-4 ) |
|
|
|
|
|
|
||||
--5---З-· |
|
|
|
|
плоскость Ах + |
|||||
|
3.16. При |
каких |
значениях А |
и |
В |
|||||
+ Ву +6г - |
7 = О |
перпендикулярна |
к |
прямой |
х;- 2 = |
|||||
= |
Y~45 = |
zt l |
? (Ответ: А=4, В= -8.) |
|
||||||
Пх у-з г-I
3.17.оказать, что прямая 6" =---=8 =----=-9 парал-
лельна плоскости х + 3у - |
2г + 1 = |
О, а прямая х = t + 7, |
|||||||||
у = |
t - |
2, z = |
2t + 1 лежит в этой |
плоскости. |
|||||||
|
3.18. Составить |
|
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
||||||
через ось Ог и точку К(- |
3, 1, |
- |
2). (Ответ: |
х + 3у = о.) |
|||||||
|
3.19. |
Показать, |
что прямые |
..:.. |
= |
у- 1 = |
-=- и 3х+ |
||||
|
|
5г + 1 = |
О, 2х + 3у - |
|
1 |
|
-2 |
З |
|||
+ У - |
8г + 3 = |
О перпендикулярны. |
|||||||||
|
3.20. |
При |
каком |
значении |
D |
прямая 3х - у +2г |
|||||
- |
6 = |
О, |
х +4у - |
z |
+ D = |
О пересекает ось |
Ог? (Ответ: |
||||
D=3.)
3.21.При каком значении р прямые
х_ 2t+5,} х+3у+ г+2=0,}
у- -t+2, и х- у-3г-2=О
г= pt-7
параллельны? |
(Ответ: р = -5.) |
х-7 _ |
||
3.22. |
|
|
точку пересечения прямой |
|
Найти |
- 5 -- |
|||
= ~ = z - |
5 |
и плоскости 3х - у + 2г - 8 = |
о. (Ответ: |
|
1 |
4 |
|
|
|
М(2, О, |
1).) |
|
|
|
102
3.23. Составить |
уравнение плоскости, |
проходящей |
|
через точку |
К(2, |
-5, 3) параллельно плоскости Охг. |
|
(Ответ: у + |
5 = О.) |
|
|
3.24. Составить общие уравнения прямой, образован |
|||
ной пересечением плоскости х + 2у ....:.... z + 5 = |
О с 'плоско |
||
стью, проходящей через ось Оу и точку М(5, 3, 2). (Ответ:
х + 2у - z +5 = О, 2х - 5г = О.)
3.25. При каких значениях В и D прямая х - 2у + + z - 9 = О, 3х + Ву + z + D = О лежит в плоскости Оху?
(Ответ: В = -6, D = -27.)
3.26. Составить уравнение плоскости, 'проходящей че рез точку Мо(2, 3, 3) параллельно двум векторам а =
=(-1, -3, 1) и Ь=(4, 1,6). (Ответ: 19x-IОу-l1z+
+25 =0.)
3.27.Составить уравнения прямой, проходящей через
точку Е(3, 4, 5) параллельно оси ох. (Ответ: х ~ 3 _
= у-4 = г-5 )
Оо'
3.28. Составить уравнения прямой, проходя щей через
точку М(2, 3, 1) перпендикулярно к прямой х~ 1 =
= _У_' |
|
г - |
2 • (Ответ: |
х - 2 = |
у - 3 |
= -=-=.J....) |
|
|
|
||||||||
|
-1 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
-1 |
|
|
|
|
||
|
3.29. Составить каионическиеуравнення прямой, про |
||||||||||||||||
ходящей через точку М(1, - |
5, 3) |
перпендикулярно к пря- |
|||||||||||||||
|
|
|
х _ у - 2 _ г + |
|
- 3t + 1 |
|
- |
- |
t - 5 |
|
- |
||||||
мым "2 |
-- 3 - ----=1 |
и х- |
, |
у- |
|
, |
|
г- |
|||||||||
- |
2t |
+3. |
(о |
. х - 1 _ У + 5 |
г - 3 |
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
твет. - 5 - - |
-=г |
- --=ТГ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3.30. Найти точку, симметричную |
точке |
М(4, |
3, |
10) |
||||||||||||
относительно |
|
u |
х - |
1 |
У - 2 |
|
г - 3 |
|
(о |
твет: |
|||||||
прямои |
- 2 - = |
- 4 - |
= - 5 - · |
|
|||||||||||||
M 1(2, |
|
9, |
6).) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение типового варианта |
|
|
|
|
|
||||||
|
1. |
|
даны |
четыре |
точки |
А,(4, |
7, 8), Az(-I, |
13, |
о), |
||||||||
Аз(2, |
|
4, |
9), A 4 (I, 8, |
9). |
Составить уравнения: |
|
|
|
|
||||||||
|
а) |
|
плоскости А,АzАз; б) прямой A,A z; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
в) |
|
прямой А 4М, перпендикулярной к плоскости А 1А2Аз; |
||||||||||||||
|
г) |
|
прямой A 4 N, |
параллельной прямой A,A z. |
|
|
|
||||||||||
Вычислить:
д) синус угла между прямой А,А4 и плоскостью
А,АzАз;
103
е) косинус угла между координатной плоскостью Оху
иплоскостью А 1А2Аз.
~а) Используя формулу (3.4), составляем уравне
ние плоскости А 1А2Аз:
х-4 у-7 г-8
|
-5 |
6 |
- 8 =0,. |
|
-2 |
- 3 |
|
откуда 6х -7у - |
9г +97 = |
о; |
|
б) Учитывая |
уравнения |
прямой, проходящей через |
|
две точки (см. формулу |
(3.9», уравнения прямой А 1А2 |
||
можно записать в виде |
|
|
|
|
х-4 _ у-7 _ z - 8 . |
||
|
- 5 - - |
-=-6 - - 8 - |
|
в) Из условия перпендикулярности прямой А4М и плоскости А 1А2Аз следует, что в качестве направляющего
вектора прямой S можно взять нормальный вектор n = = (6, -7, -9) плоскости А1А~з. Тогда уравнение пря
мой |
А4М с учетом уравнений (3.8) запишется в виде |
|
х-I _ у-8 _ z - 9 . |
|
- 6 - - -:7г - -=9' |
г) |
Так как прямая A 4 N параллельна прямой А 1А2, то |
их направляющие векторы SI и S2 можно считать совпа
дающими: SI = S2 = (5, -6, 8). Следовательно, уравнение
прямой A 4N имеет вид
х-I _ у-8 _ z -9.
- 5 - - -=-6 - - 8 - '
д) По формуле (3.18)
siп <р = 16·5 + (-7)(-6) +( -9)81 -У62 + (-7/ + (_9)2 ";52 + (6)2 + 82
=34-!166 '"08', ,
-{ll
е) В соответствии с формулой |
(3.5) |
||
ПI 'П2 |
_ |
0·6+0·(-7)+ 1 ·(-9) |
|
cos <р = IПII IП21 |
- |
-YI-У62 + |
(_7)2 + (-9)" |
=~~-0,7. ~
-yl66
104
2. Составить уравнение плоскости, ПРОХОДЯLЦей через
точки М(4, 3, 1) и N( -2, О, -1) параллельно прямой, проведенной через точки A(I, 1, -1) и В( -3, 1, О).
~Согласно формуле (3.9), уравнение прямой АВ
имеет вид
х-I _у-I _ z+1 |
|
|
-=г - - 0 - - - 1 - |
|
|
Если плоскость проходит через точку М(4, 3, 1), |
то ее |
|
уравнение можно записать в |
виде А(х - 4) + В(у - |
3) + |
+ С(г - 1) = о. Так как эта |
плоскость проходит и |
через |
точку N( -2, О, -1), то выполняется условие
A(-2-4)+B(0-3)+C(-I-I)=0 или
6А + 3В +2С = о.
Поскольку искомая плоскость параллельна найден
ной прямой АВ, то с учетом условия параллельности
(3.16) имеем:
-4А +ОВ + lC=O или 4А - с=о.
Решая систему
6А +3В +2С=О,}
4А -С=О,
находим, что С = 4А, В = - 1з4 А. Подставив получен
ные значения С и В в уравнение искомой плоскости, имеем
А(х-4)- 1; A(y-3)+4A(z-I)=O.
Так как А =1= О, то полученное уравнение эквивалентно
уравнению
3(x-4)-14(y-3)+12(z-1)=O. ~
3. Найти координаты Х2, У2, г2 точки М2, симметричной
точке м,(6, -4, -2) относительно плоскости х +у +
+г-3=О.
~ Запишем параметрические уравнения прямой M,M z, |
|
перпендикулярной |
к данной плоскости: х = 6 + t, у = |
= - 4 + t, z = - |
2 + {. Решив их совместно с уравнением |
данной плоскости, найдем t = 1 и, следовательно, точку М
пересечения прямой М,М2 с данной плоскостью: М(7,
-3, -1). Так как точка М является серединой отрезка
М ,М2, то верны |
равенства |
(см. пример 1 из § 2.2): |
|
7 = 6 + Х2 |
_ 3 = - 4 + У2 |
_ 1= - 2 + Z2 |
|
2 |
' |
2' |
2 |
105
из которых иаходим координаты точки |
Mz: Xz = 8, |
У2 = |
||||||
= -2, г2=0. ~ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ИДЗ-3.2 |
|
|
|
|
|
1. даны вершины треугольника АВС: A(XI, YI), |
В (xz, |
|||||||
У2), С(хз, Уз). Найти: |
|
|
|
|
|
|
||
а) |
уравнение стороны АВ; |
|
|
|
|
|||
б) |
уравнение высоты СН; |
|
|
|
|
|||
в) |
уравнение медианы АМ; |
|
|
|
|
|||
г) |
точку N пересечения медианы АМ и |
высоты |
СН; |
|||||
д) |
уравнение прямой, проходящей через |
вершину С |
||||||
параллельно стороне АВ; |
|
|
|
|
|
|||
е) |
расстояние от точки |
С до прямой АВ. |
|
|
||||
1.1. А( -2, 4), |
В(3, |
1), |
C(IO, |
7), |
|
|
||
1.2. А( -3, -2), |
B(14, |
4), |
С(6, |
8), |
|
|
||
1.3. |
A(I, |
7), |
В( -3, -1), |
C(II, |
-3), |
|
||
1.4. A(I, |
О), |
В( -1, 4), |
С(9, |
5), |
|
|
||
1.5. A(I, |
-2), |
В(7, |
1), |
С(3, |
7), |
|
|
|
1.6. А(-2, -3), |
B(I, |
6), |
С(б, 1), |
|
|
|||
1.7. А( -4, 2), |
В( -б, 6), |
С(6, |
2), |
|
|
|||
1.8. А(4, -3)' |
В(7, |
3), |
C(I, |
10), |
|
|
||
1.9. А(4, -4), |
В(8, |
2), |
С(3, |
8), |
|
|
||
1.10. А(-3, -3), В(5, -7), |
С(7, |
7), |
|
|
||||
1.11. A(I, |
-6), |
В(3, |
4), |
С(-3, 3), |
|
|
||
1.12. А( -4, 2), |
В(8, -б), |
С(2, 6), |
|
|
||||
1.13. А( -5, 2), |
В(О, -4), |
С(5, |
7), |
|
|
|||
1.14. А(4, -4), |
В(6, |
2), |
С( -1, 8), |
|
|
|||
1.15. А( -3, 8), |
В( -б, 2), |
С(О, -5), |
|
|
||||
1.16. А(6, -9), |
B(IO, |
-1), |
С( -4, 1), |
|
||||
1.17. А(4, |
1), |
В( -3, -1), |
С(7, |
-3), |
|
|
||
1.18. А( -4, 2), |
В(б, -4), |
С(4, |
10), |
|
|
|||
1.19. А(3, -1), |
В(II,3), |
С(-б,2), |
|
|
||||
1.20.А(-7, -2),В(-7, 4), |
С(5, |
-5), |
|
|
||||
1.21. А(-I, -4), В(9, |
б), |
С(-5,4), |
|
|
||||
1.22. A(IO, -2), |
В(4, |
-5), |
С( -3, 1), |
|
|
|||
1.23. А( -3, -1), В( -4, -5), С(8, 1), |
|
|
||||||
1.24. А( -2, -6), В( -3,5), |
С(4, |
О), |
|
|
||||
1.25. А( -7, -2), В(3, -8), |
С( -4, 6), |
|
|
|||||
1.26. А(О, 2), |
В( -7, -4), |
С(3, |
2), |
|
|
|||
1.27. А(7, О), |
B(I, 4), |
С( -8, -4), |
|
|||||
1.28. A(I, |
-3)' |
В(О, |
7), |
С(-2,4), |
|
|
||
106
1.29. А( -5, 1), |
В(8, -2), |
С(I, |
4), |
1.30. А (2, 5), |
В( ,-3, 1), |
С(О, |
4). |
2. Решить следующие задачи.
2.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых 3х - 2у - 7 = О и х + 3у - 6 = О
и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. (Ответ:
х=3.)
2.2. Найти проекцию точки А ( - 8, 12) на прямую, проходящую через точки В (2, - 3) и С( - 5, 1). (Ответ:
At (-12,5).)
2.3.Даны две вершины треугольника АВС: А( -4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти
вершину С. (Ответ: С(8, 4).)
2.4.Найти уравнение прямой, отсекающей на оси орди
нат отрезок, равный 2, и проходя щей параллельно прямой
2у-х=3. (Ответ: х-2у+4=0.)
2.5.Найти уравнение прямой, проходящей через точку
А(2, -3) и точку пересечения прямых 2х - у = 5 и х +
+У= 1. (Ответ: х=2.)
2.6.Доказать, что четырехугольник ABCD - трапе
ция, если А(3, 6), В(5, 2), С( -1, -3), D( -5, 5).
2.7.Записать уравнение прямой, проходящей 'через
точку А(3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2, 5),
+5у - 8 = о.)
2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
А( -2, 1) параллельно прямой |
MN, если М( -3, -2), |
N(l, 6). (Ответ: 2х - у + 5 = о.) |
|
2.9.Найти точку, симметричную точке М(2, -1) отно сительно прямой х - 2у + 3=0. (Ответ: M t ( -4/5,23/5).)
2.10.Найти точку О пересечения диагоналей четырех
угольника ABCD, |
если A(-I, -3), В(3, 5), |
С(5, 2), |
D(3, |
|
-5). (Ответ: 0(3, |
1/3).) |
4у +5 = О, |
||
2.11. Через точку пересечения прямых 6х - |
||||
2х + 5у +8 = О |
|
провести прямую, параллельную |
оси |
|
абсцисс. (Ответ: |
у = -1.) |
|
|
|
2.12. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х+у= 12, его высот ВН 5х-4у= 12 и АМ х+ + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треуголь ника АВС. (Ответ: 7х -7y-16 = О, 4х +5у - 28 = о.)
2.13. Даны две вершины треугольника АВС: А( -6,2),
В(2, -2) и точка пересечения его высот H(I, 2). Найти
координаты точки М пересечения стороны АС и высоты
ВН. (Ответ: M(IO/17, 62/17).)
107
2.14. Найти уравнения высот треугольника АВС, про·
ходящих через вершины А и В, если А( -4, 2), В(3, |
-5), |
||
С(5, О). |
(Ответ: 3х +5у + 2 = О, |
9х +2у - 28 = О.) |
|
2.15. |
Вычислить координаты |
точки пересечения |
пер |
пендикуляров, проведенных через середины сторон тре
угольника, вершинами которого служат точки А(2, 3),
В(О, -3), С(6, -3). (Ответ: М(3, -2/3).)
2.16. Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон:
АВ - 2х --'- у - 3 = О, АС - х + 5у - 7 = О, ВС - 3х
-2у+ 13=0. (Ответ: 2х+3у-7=0.)
2.17.ДантреугольниксвершинамиА(3,1),В(-3, -1)
иС(5, - 12). Найти уравнение и вычислить длину его
медианы, проведенной из вершины С. (Ответ: 2х +у +
+2=0, d=54/.jI7~ 13,1.)
2.18. |
Составить уравнение прямой, проходящей через |
|
начало |
координат и точку пересечения прямых 2х + |
|
+5у-8=0 и 2х+3у+4=0. (Ответ: 6х+ Ily=O.) |
||
2.19. Найти уравнения перпендикуляров |
к прямой |
|
3х +5у - 15 = О, проведенных через точки |
пересечения |
|
данной прямой с осями |
координат. |
(Ответ: 5х - 3у - |
|||
- 25 = О, 5х - 3у +9 = О.) |
|
|
|
, |
|
2.20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х |
|||||
- у = О, х +3у = О, х - у - |
4 -:- О, 3х |
+у - |
12 = |
О. Найти |
|
уравнения его диагоналей. (Ответ: |
у = О, |
х = |
3.) |
||
2.21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК |
|||||
треугольника АВС, если А(4, |
6), В( -4, О), |
С( -1, --:-4). |
|||
(Ответ: 7х - У +3 = О (СМ), |
4х +3у + 16 = О |
(СК).) |
|||
2.22.Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекаю
щую равные отрезки на осях координат; б) параллель ную оси Ох; в) параллельную оси Оу. (Ответ: х +у - 7 =
=0, у=2, х=5.)
2.23.Записать уравнение прямой, проходящей через
точку А( -2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 450,
б) 900, в) 00. (Ответ: x-у+5=О, х+2=О, у-3=о.)
2.24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на
одной прямой с точками А( - 6, - 6) и В( -3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3? (Ответ: у = 9.)
2.25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - |
1 = |
||||||
=..;: О и х +4у :...- 7 = О провести прямую, делящую отрезок |
|||||||
между точками А(4, |
-3) |
и |
В( -1, 2) в отношении л = |
||||
= 2/3. (Ответ: 2х - |
у - 5 = |
О.) |
|
|
|||
2.26. |
Известны уравнения |
двух |
сторон ромба 2х |
||||
- 5у - |
1 = О и. 2х - |
5у - |
34 = |
О и |
уравнение одной |
из |
|
108
его диагоналей х + 3у - 6 = о. Найти уравнение второй
диагонали. (Ответ: 3х - у - 23 = о.)
2.27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А( -3, 1), В(7, 5)
иС(5, -3). (Ответ: Е(3, 1).)
2.28.Записать уравнения прямых, проходящих через
+3у = 6.точку
(Ответ: х-5у+6=0, 5х+у+4=0.)
2.29. Даны уравнения высот треугольника АВС 2х - 3у + 1 = о, х + 2у + 1 = О и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.
(Ответ: 2х - у - 1 = О (АВ), 3х +2у - 12 = О (АС).)
2.30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
х - 2у = о, х - у - 1 = О и точка пересечения его диаго налей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон. (Ответ: х-у-7=0, х-2у- 10=0.)
Решение типового варианта
1. Даны вершины треугольника АВС: А(4, 3), В( -3, -3), С(2, 7). Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ;
г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.'
~ а) Воспользовавшись уравнением прямой, прохо дящей через две точки (см. формулу (3.9», получим
уравнение стороны АВ:
х-4 |
у-3 |
- 3 - 4 - 3 - 3 ' |
|
откуда |
|
6(х-4)=7(у-3) или 6х-7у-3=0; |
|
б) Согласно уравнению |
(3.20), угловой коэффициент |
прямой АВ k, = 6/7. С учетом условия перпендикуляр ности прямых АВ и СН (см. формулу (3.28» угловой коЭффициент высоты СН kz = -7/6 (k,k z = -1). По точке
С(2, 7) и угловому коЭффициенту k z = - |
7/6 составляем |
|
уравнение высоты СН (см. уравнение (3.21»: |
||
7 |
2) ИЛи 7х +6у - |
56 = О; |
у - 7 = - "6 (х - |
||
109
в) По известным формулам (см. § 2.2) находим ко ординаты х, у середины М отрезка ВС:
х = (- 3 +2)/2 = - 1/2, у = (- 3 + 7)/2 = 2.
Теперь по двум известным точкам А и М составляем
уравнение медианы АМ:
х-4 _ у-3 |
или |
2 |
9 + 19-0· |
|
-1/2-4 - 2-3 |
|
х- У |
- , |
|
г) Для нахождения координат точки N пересечения
медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений
7х+6у- 56 =о,}
2х-9у + 19 =0.
Решая ее, получаем N(26/5, 49/15);
д) Так как прямая, проходящая через вершину С,
параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны k, = 617. Тогда, согласно уравнению (3.21), по
точке С и угловому коэффициенту k, составляем уравне ние прямой CD:
у-7= ~ (х-2) или 6х-7у+37=0;
е) Расстояние от точки С до |
прямой АВ |
вычисляем |
по формуле (3.29): |
|
|
d= jCНI = 16·2-7·7-31 |
=~ ~4 4. |
|
';62 +( - 7? |
,f85 |
, |
Решение данной задачипроиллюстрировано на рис.
3.4.~
2.Известны вершины 0(0, о), А( -2, О) параллело
грамма OACD и точка пересечения его диагоналей 8(2,
-2). Записать уравнения сторон параллелограмма.
•Уравнение стороны ОА можно записать сразу: у =
= о. Далее, так как точка В является серединой диагонали
AD (рис. |
3.5), то по формулам деления отрезка пополам |
|
(см. § 2.2) |
можно вычислить координаты вершины D(x, у): |
|
|
2= -2+х |
-2= О+у |
|
2' |
2 • |
откуда х = |
6, у = -4. |
|
Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон.
Учитывая параллельность сторон ОА и CD, составляем уравнение стороны CD: у = -4. Уравнение стороны OD
составляем по двум известным точкам:
110