RI_OCR[4]

3.3. F = (2, 19, -4), А(5, 3. 4), 8(6, -4, - 1). (Ответ:

а) 111;б)-..)16254.)

3.4. F =

(-4,

5, -7), А(4,

-2, 3),

В(7,

О, -

3). (ОТ-

вет: а) 40; б) ~)

3.5.

F =

(4, 11,

-6), А(3, 5,

1), В(4,

-2,

-3). (Ответ:

а) 49; б) -..)9017.)

3.6.

F =

(3, -

5, 7), А (2,

3,

-

5),

В(О,

4, 3).

(Ответ:

а) 45; б)~)

3.7.

F =

(5, 4,

11), А(6, 1, -5),

В(4,

2,

-6). (Ответ:

а)

17;

б) -..)683.)

3.8.

F=(-9, 5, 7), A(I, 6,

-3)' В(4,

-3,5). (Ответ:

а)

16;

б) -..)23614.)

3.9. F =

(6, 5,

-7), А(7,

-6, 4), В(4,

9,

-6). (Ответ:

а)

127; б)

-..)20611.)

3.10. F = (-5,4,4), А(3, 7,

-5), В(2,

-4, 1). (Ответ:

а) 15; б) ~)

3.11. F = (4, 7,

-3), А(5,

-4, 2), В(8, 5,

-4). (Ответ:

а) 93; б) 15.j3.)

3.12.

F = (2, 2, 9), А(4,

2,

-3), В(2, 4, О).

(Ответ:

а)

27;

б)

28.)

Даны три силы Р, Q, R, приложенные к точке А. Вычислить: а) работу, производимую равнодействующей

этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямо­

линейно, перемещается в точку В; б) величину момента

равнодействующей этих сил относительно точки В.

3.13. Р = (9, -3, 4), Q = (5,6, -2), R = (-4, -2, 7),

А(-5, 4, -2), В(4, 6, -5). (Ответ: а) 65; б) -..)12883.) 3.14. Р=(5, -2,3), Q=(4, 5, -3), R=(-I, -3,6), А(7, 1, -5), В(2, -3, -6). (Ответ: а) 46; б) 2-J52l.)

3.15. Р =	(3, -5, 4), Q = (5, 6, -3), R = (-7, -1, 8),
А(-3, 5, 9),	В(5, 6, -3). (Ответ: а) 100; б) -..)1306.)
3.16. Р=(-10, 6, 5), Q=(4, -9,7), R=(5, 3, -3),
А(4, -5, 9),	В(4, 7, -5). (Ответ: а) 126; б) 2-..)3001.)
3.17.Р=(5, -3, 1), Q=(4, 2, -6), R=(-5, -3,7),
А(-5, 3, 7),	В(3, 8, -5). (Ответ: а) 4; б) -..)12389.)

81

3.18. Р=(-5, 8,4).						Q=(6, -7,3),					R=(3, 1, -5),
А(2, -4, 7),		В(О, 7, 4).				(Ответ: а) 8; б) 4-{I97.)
3.19. Р =		(7,	-5,2), Q =					(3, 4, -8), R =				(-2, -4,3),
А(-3, 2, О),		В(6, 4, -3). (Ответ: а) 71; б) -Y'4Т7I.)
3.20. Р=(3, -4,2), Q=(2, 3, -5), R=(-3, -2,4),
А(5, 3, -7),		В(4,		- 1, -4).				(Ответ: а) 13;				б)		-fl95.)
3.21. Р=(4, -2, -5), Q=(5, 1,									-3), R=(-6, 2, 5),
А(-3, 2, ~6), В(4, 5,						-3). (Ответ: а)					15; б) 2..)262.)
3.22.	Р =	(7,	3,	-4),		Q = (9, -4,				2),	R = (-6, 1, 4),
А(~7,	2, 5),	В(4,		-2,		11). (Ответ: а)					122; б) ..)3108.)
3.23.	р =	(9,	-	4,	4),	Q =		( - 4, 6,		-	3),	R = (3, 4, 2),
А(5, -4, 3),		В(4, -5, 9). (Ответ: а) 4; б)											..)4126.)
3.24.	р =	(6,	-4,		5),	Q =		(-4, 7, 8),			R =		(5, 1, -3),
А(-5, -4,2), В(7, -3, 6).								(Ответ: а)		128; б)				..)10181.)
3.25.	р =	(5,	5,	-6),		Q = (7, -6,				6),	R =		(-4, 3, 4),
А(-9, 4, 7),		В(8,		-	1,	7). (Ответ: а) 126;						б) 10-{i05.)
3.26. Р =		(7,	-6,		2),	Q = (-6, 2,				-1),		R = (1, 6, 4),
А(3, -6, 1),		В(6,		-2,		7). (Ответ: а) 44;						б)		.fi7.)
3.27. Р=(4, -2,3),						Q=(-2, 5, 6),					R=(7, 3, -1),
А(-3, -2, 5), В(9, -5, 4). (Ответ: а)											82; б) ..)21 150.)
3.28.	Р =	(7,	3,	-4),		Q =		(3, -2, 2),			R =		(-5, 4, 3),
А(-5, О, 4),		В(4, -3, 5). (Ответ: а) 31; б) 4,)230.)
3.29. Р=(3, -2,4), Q=(-4, 4, -3), R=(3, 4,2),
A(l, -4, 3), В(4, О, -2).							(Ответ: а)		15;		б) 5-{89.)
3.30.	Р =	(2,	-	1,	-3),		Q = (3,2,		-1), R =					(-4, 1,3),
А(- 1, 4, -2),			В(2,		3,	-1). (Ответ: а)					О;	б)		..)66.)

Решение типового варианта

1.даны векторы a=4i+4k, Ь= -i+3j+2k и с=

=3i +5j. Необходимо: а) вычислить произведение векто­

ров а, Ь и 5с; б) найти модуль векторного произведения

3с и Ь; в) вычислить скалярное произведение векторов

а и 3Ь; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортого­

нальны векторы а и Ь; д) проверить, будут ли ком'планарны

векторы а, Ь и с.

82

~	а) Так как 5с =			15i + 25j, то
		4	О	4
(аХЬ)·5с=		-1	3	2	= -100- 180-200= -480;
		15	25	О
б)	Поскольку 3с =			9i +		15j, то
		i	j	k
3сХЬ=		9	15	О		=30i+27k+15k-18j=
		-1	3	2

= 30i - 18j + 42k,

13с xbl =-.j302 + ( - 18)2 + 422 =-.j2988;

в) Находим: 3Ь = -3i + 9j + 6k,	а· 3Ь =		4( -3) +
+0·9+4·6= 12;
.		4	О
г) Так как а=(4, О, 4), b=(-I, 3, 2) и		-1	~3~

~ ~ , то векторы			а и Ь не коллинеарны. Поскольку
	а· Ь =		4( -	1) + 0·3 + 4·2 =1= О,
то векторы а и Ь не ортогональны;
д) векторы а, Ь, с				компланарны, если аЬс = О.		Вы­
числяем
		4	О	4
	аЬс=	-1 3		2	= -20-36-40~0,
		350
т. е.	векторы а, Ь и			с не компланарны. ~
2.	Вершины пирамиды находятся в точках А (2,					3, 4),
В(4,	7, 3), C(I, 2, 2) и D( -2, О, - 1). Вычислить: а)					пло­

щадь грани АВС; б) площадь сечения, проходящего через

середину ребер АВ, АС, AD; в)					объем пирамиды ABCD.
-		-			1 - -+
				SABC =	"2 !АВ Х АС 1. Находим:
	~ а) Известно, что
АВ=(2,4, -1), AC=(-I, -1,						-2),
	-АВХАС-=		i	j	k		= - 9i + 5j +2k.
			2	4 -	1
			-1 -1 -2
Окончательно имеем:

83

б)	Середины ребер АВ,						ВС и AD находятся в точках
К(3; 5; 3,5), M(I,5;				2,5; 3), N(O; 1,5; 1,5). Далее имеем:
	l --- + -								1,5;		-2,5; -0,5),
Sсеч = "2IКМХ KNI, КМ =( -
		-					-3,5;		-2);
			KN=(-3;
-+-	-		i		j			k
			-1,5		-2,5		-	0,5		= 3,25i -			1,5j - 2,25k,
KMXKN=
			- 3		-3,5		-2
	Sсеч =		-} -.JЗ,252 + 1,52 + 2;252 =								-}-.J
												17,875;
в)	Поскольку			Vпир = б I(AB ХАС). ADI,									AD = (-4,
					1		--		--		---		--
-3,	-5),
	-+	-+		-			2		4		-1
						-1		-1			-2	=11,
	(АВ XAC).AD=
						- 4		-3			- 5
то V= 11/6.		~
3.	Сила F = (2,			3,	- 5) приложена к точке А (1, - 2, 2).

Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее при­

ложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из по­

ложения А в положение В О, 4,

О); б)

модуль

момента

силы

F относительно точки

В.

_ F·s,

- +

-2), то

~

а)

Так как А

s=AB =(0,6,

-+

О +

3 . 6 +

(- 5) ( -

2) =

28,

А =

28;

F . АВ = 2 .

б)

Момент

силы М =

-+

F,

-+

= (О, -

6, 2),

ВА Х

ВА

-+

i

j

k

О

- 6

2

=24i+4j+12k.

BAXF=

2

3

- 5

Следовательно, IMI =vf242 +42+ 122 = 4-{46. ~

2.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 2

1.

Даны три вектора: а= 2i -

j + 3k, Ь = i -

3j +

2k,

с = 3i

+

2j - 4k.

Найти вектор х,

удовлетворяющий

сле­

дующим

условиям:

Х· а= -5,

х· Ь =

-11, х· с =

20.

(Ответ:

х = 2i +

3j -

2k.)

84

2. Вектор х,		перпендикулярный к оси Oz и вектору
а = (8, -	15, 3),	образует острый угол с осью Ох. Зная, что
'х' = 51,	найти	координаты х. (Ответ: х = (45, 24, О).)

3. Два трактора, идущие с постоянной скоростью по

берегам прямого канала, тянут барку при помощи двух

канатов. Силы натяжения канатов 1F 11 = 800 Н и 1F 21 =

= 960 Н, угол между канатами равен 600. Определить

сопротивление воды, испытываемое баркой, если она дви­ жется параллельно берегам, и углы а, f3 между канатами

и направлением движения.		(Ответ:		Isl ::::::	1530 Н,		а:::::: 330, .
f3 :::::: 270.)			1,	-3),	Q =	(3,		- 1)
4.	Даны три силы F =	(2, -					2,
иР =	(-4, 1, 3), приложенные		к точке		С( -	1,	4,	-2).

Определить величину и направляющие косинусы момента

равнодействующей этих сил относительно ТОчки А (2, 3,

- 1).	(Ответ:	..j66;	cos а = Ij.y66,	cos f3 = -4j.y66,
cos У =	- 7j.j66.)
5. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся
в точках А(2,		1, - 1),	В(3, О, 1), С(2,	-1, 3). Найти ко­
ординаты четвертой вершины D, если известно, что она
лежит	на оси	Оу. (OTBeT:D 1 (O, 8, О),		D2 (0, -7, О).)

6.Стороны ромба лежат на векторах а и Ь, выходя­

щих .из общей вершины. Доказать, что диагона.'IИ ромба

взаимно" перпендикулярны.

7.Даны разложения векторов, служащих сторонами

треугольника, по двум взаимно перпендикулярным						ортам:
- +	-+			- +	-7а+2Ь. Вычис-
АВ=5а+2Ь, BC=2a-4Ь и СА =
			-+-	-+-
лить длины медианы АМ и высоты AD треугольника АВС.
~		6,	-+-	- {;
(Ответ: ,АМ 1 =			IAD 1	= 12 y5j5.)
8. Доказать компланарность векторов а, Ь, С, зная,
что а Х Ь + Ь Х с +			с Х а = о.			-+-
9. В трапеции ABCD отношение					основания	IAD 1 к
основанию	- +	равно		л. Полагая	- +	-+-	= Ь,
	'ВС'				АС = а,	BD
				-+- -+- -+-			-+-
выразить через		а	и ь	векторы AD, ВС, CD		и	DA.
- + ла-Ь			вс = а + Ь сп = лЬ- а DA =
( Ответ: АВ	= чт		'	1+л '	1+л '
= _ А(а+ь).)
l+л							-..
10. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА,
- + - +	-+						-+ .

ОВ, ОС вектор EF с началом в середине Е ребра ОА

85

и концом в		точке	F пересечения медиан		треугольника
АВС. (Ответ:		-+	-+-	-+- -+-
		EF =	(20В +20СОА)/6.)
11.	Даны четыре вектора а = (1, 2, 3), ь = (2, - 2, 1),
с = (4,	О, 3), d = (16,		10, 18). Найти вектор х,		являющийся

проекцией вектора d на плоскость, опредеJlяемую векто­

рами а и Ь, при направлении проектирования, параллель­ ном вектору с. (Ответ: х=(-4, 10,3).)

12.	В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу
-+			-+	-+-
АВ опущен псрпендикуляр			СН. Выразить вектор СН
	-+ -+		- + -- + -	I =
через векторы СА, СВ и длины катетов IВС I = а, IСА
.	-+-	-+-	-+-
=Ь. (Ответ: СН=(а2		СА + Ь2СВ)/(а2 + Ь2).)
13.	Даны две точки А(I,		2, 3) и В(7, 2, 5). На прямой

АВ найти такую точку М, чтобы точки В и М были распо­ ложены по разные стороны от точки А и отрезок АМ был в два раза длиннее отрезка АВ. (Ответ: М( - 11,2, - 1).)

14. Векторы а . (-3, О, 4) и Ь = (5, -2, - 14) отло­

жены из одной точки. Найти координаты единичного

вектора е, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами а и Ь. (Ответ: е =

. (-2/-{6, 1/-{6, - 1/-{6).)

15. Три последовательные вершины трапеции находят­

ся в точках А( -3, -2, - 1), B(I, 2, 3), С(9, 6, 4). Найти

четвертую вершину D этой трапеции, точку М пересече­

ния ее диагоналей и точку N пересечения боковых сторон,

зная, что длина основания AD равна 15. (Ответ: D(31/3,

14/3, 2/3), М(9/2, 3, 17/8), N(7, 8, 9).)

16. К вершине куба приложены три силы, равные по величине соответственно 1, 2, 3 и направленные по диаго­ налям граней куба, выходящих из данной вершины. Найти

величину равнодействующей этих трех сил и углы, обра-

зуемые ею с составляющими силами. (Ответ: 5; arccos l~'

arccos 8 arccos 9 )

ТО' то·

17. Даны два вектора а=(8, 4, 1), Ь=(2, -2, 1). Найти вектор с, комплаНi:lРНЫЙ векторам а и Ь, перпендику­

лярный к вектору а, равный ему 'по длине и образующий с

вектором Ь тупой угол. (Ответ: с=(-5/-{2, 11/-12.

-4/-{2).)

18. Убедившись, что векторы а = 7i +6j - 6k и Ь =

86

= 6i + 2j +9k можно рассматривать				как		ребра куба,
найти его третье	ребро.	(Ответ.:	+ (6i -		9j - 2k).)
19. Даны три	вектора	а = (8,	4,	1),	Ь =	(2, -2, 1),

с= (4, О, 3). Найти единичный вектор d, перпендикулярный

квекторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядочен­

ные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, d имели одинаковую

ориентацию. (Ответ: d =( -		3~, з~' 3~))
20.		-	-
	Даны три некомпланарных вектора ОА =		а, ОВ =
-
= Ь, -ОС = с, отложенные от одной точки О. Найти вектор
OD =	---
	d, отложенный от той	же точки и образующий с

векторами ОА, ОВ, ОС равные между собой острые углы.

(Ответ: d= +(lal(bXc)+ IЫ(сХа)+ Icl(aXb».)

3. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМblЕ

3.1. ПЛОСКОСТЬ

,Основная теорема. В декартовых прямоугольных координатах урав­ нение любой плоскости приводится к виду

Ах + Ву + Cz + D = О,

(3.1)

где А, В, С, D - заданные числа, причем А2 +В2 + С2 > О, и обратно,

уравнение (3.1) всегда 'является уравнением некоторой плоскости. Уравнение (3.1) называется общим уравнением плоскости. Коэф­

фициенты А, В, С являются координатами вектора п, перпендикуляр­ ного I{ плоскости, заданной уравнением (3.1). Он называется нормаль­

ным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в

пространстве относнтельно системы координат.

Существуют различные способы задания плоскости и соответст­

вующие им виды ее уравнения.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, Если плоскость проходит через точку Мо(Хо, Уо, zo) и перпендикулярна к вектору

п = (А, В, С), то ее уравнение записывается в	виде
А (х - хо) + В(у - уо) + C(z -	zo) = О.	(3.2)

2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат Ох, Оу, Oz в точках МI (а, О, О), М2(0, Ь, О), Мз(О, О, с)

соответственно, то ее уравнение можно записать в виде

~ + J!.... +!	...= 1,	(3.3)
а Ь	с

где а*О; Ь*О; с*О.

3. Уравнение плоскости по трем точкам, Если плоскость проходит

через точки Mi(Xi, Yi, z,) (i = т.з), не лежащие на одной прямой, то ее

уравнение можно записать в виде

z -Zll	=	О.	(3.4)
Z2-ZI

ZЗ-Zl

Раскрыв данный определитель по элементам первой строки, придем к

уравнению вида Уравнения

(3.2).

(3.2) - (3.4) всегда можно привести к виду (3.1).

Рассмотрим простейшие задачи.
1°. Величина угла <р между плоскостями Alx + Bly + CIZ + D I = О
И А 2х + В2У + C2Z + D 2 = О		вычисляется на основании формулы
. /' -	пl . П2	21	г	A I A	2+ B I B2 + CIC2	, (3.5)
С05 <р = СОS(ПI, П2) =	IПII IП				_/	+ C~
			-уА1+ В1		+ С! yA~ + B~

88

где ПI = (AI,	81, C 1), П2 = (А2, 82,			С2) -	нормальные векторы данных
плоскостей. С помощью формулы (3.5) можно получить условие nерnен­
дикулярности данных плоскостей:
	ПI • П2 = О	нлн	A 1A2 + 8182 + C 1C2 = о.
Условие	nараллельности		рассматриваемых плоскостей имеет вид
	A 1		81	C 1	D 1
	----- =1= -
	А 2	-	82 -	С2	D2 •
20. Расстояние d от точки Мо(Хо, уо, го) до плоскости, заданной
уравнением (3.1).• вычисляется по формуле
	d =	IAxo + 8уо + СгО +DI
			-УА2 + 82 + С2

			АЗ-3.!
1. Записать уравнение и построить плоскость:
а)	параллельную плоскости Охг и проходящую через
точку Мо(7, -3, 5);
б)	проходящую через ось Ог и точку А ( - 3, 1, - 2);
в) параллельную оси Ох и проходящую через две точки
M 1(4,	О, -2) и М2(5, 1, 7);				.
г)	проходящую через точку В(2, 1,				- 1) и имеющую
нормальный вектор n =		(1, -		2, 3);	-5) параллельно
д)	проходящую через точку С(3, 4,
двум	векторам а = (3,	1,	-	1) и Ь = (1,	-2, 1).
(Ответ: а) у +3 = О;		б)	х	+ 3у. О; в) 9у-г-2 = О;

г) x-2у+3г+3=0; д) х+4у+7г+ 16=0.)

2. Составить уравнение одной из граней тетраэдра,

заданного вершинами А(5, 4, 3), В(2, 3, -2), С(3, 4, 2),

D( - 1,	2, 1). Проверить правильность полученного урав­
нения.
3. Составить уравнение плоскости:
а)	проходящей через точки М1 (1,	1, 1)	и М2(2, 3, 4)
перпендикулярно к плоскости 2х - 7у		+ 5г	+9 =	О;
б)	проходящей через точку Мо(7,	-5,	1) и	отсекаю­

щей на осях координат равные положительные отрезки.

(Ответ: а) 3Iх+у- Ilz-21 =0; б) х+у+г-3=О.)

4. Вычислить угол между плоскостями х - 2у +2г - - 3 = О и 3х - 4у +5 = О. (Ответ: cos ер = 11/15, ер ~

~42°51 '.)

5.Вычислить расстояние между параллельными пло­

+6у + 2г - 15 = О и 3х + 6у + 2г + 13 = О.скостями

(Ответ: 4.)

89

	6. Записать уравнения плоскостей, делящих пополам
двугранные углы между плоскостями 3х -									у + 7г -	4 = О
и	5х + 3у - 5г + 2 = О.				(Ответ:		х	+	2у - 6г +	3 = О,
4х+у+г-l =0.)
			Самостоятельная работа
	1. Составить уравнение плоскости,							проходя щей через
точку P(I, О,			2)	перпендикулярно			к	двум плоскостям
2х -		у + 3г -	1 =	О и 3х +	6у + 3г -		5 =		О. (Ответ: 7х ~
-	у -	5г +3 =	О.)
	2.	Составить		уравнение		плоскости,			параллельной
вектору s = (2,			1,	- 1) и отсекающей на осях Ох и Оу от­
резки а=3, Ь= -2. (Ответ: 2х-3у+г-6=О.)
	3. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
к плоскости 2х -				2у + 4г -	5 =	О и	отсекающей на осях

Ох и Оу отрезки а = -2, Ь = 2/3 соответственно. (Ответ:

х - 3у2г+2 = О.)

4. Найти координаты точки Q, симметричной точке

Р( - 3, 1, - 9) относительно плоскости 4х - 3у - z - 7 =

= О. (Ответ: Q(l, -2, -10).)

3.2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

в зависимости от способа задания прямой в пространстве можно

рассматривал; различные ее уравнения. .

1. Векторно-nараметрическое уравнение прямой. Пусть прямая про­ ходит через точку Мо(Хо, Уо, го) параллельио вектору s = (т, n, р),

z

O~~____________

у

хРис. 3.1

аМ(х, У, г) - любая точка этой прямой. Если ro и'г - радиусы-векторы

точек МО и М (рис. 3.1), то справедливо векторное	равенство
r = ro +ts ( - 00 < t < + 00 ),	(3.6)

которое получается по правилу сложения векторов. Уравнение (3.6) на­ зывается векторно-nараметрическим уравнением прямой, s - направ­

ляющим вектором прямой (З.б), t - параметром.

90