RI_OCR[4]

2. Найти произвоДную первого порядка у'.

2.1. У = 3 .rclg' (4х+ 1).

2.2. s =

5+.....}25-t2

Iп --- ' - t: ----

2.3. z =y.rcsin«2y+I)/3).

-2.4. У = (1 + ctg2 3х)е-Х•

2.5. у = г-~'cos 3 (2q> +

3).

2.6. у = е--Гх/(1 +е2Х).

2.7.

У =

e-I/cosx.

2.8. у =

V(1 +

siп3 2х)2.

2.9.

у =

3 <соо'х.

2.10. У =

ехtГз arctg2 х.

2 11

_

1 +

siп 2х

2.12. У =

cos 2х· siп2 Х.

.

. у -

1 -

siп 2х .

2.14. Q = еСOS'З~.

2.13. У = siп3

5х· siп 5 3х.

2.15. У =

e lgx cos х.

2.16. у = агсsiп (tg х).

2.18. У =

1п Iп

1 -

cos х

1 +

cos х .

2.19. z = (sin у)/(1 +

tg у).

2.20. s = fI /cos t.

2.21. У = (1 +е')/(1 -

е').

2.22. У =

sin 2 3х.

2.23. У = -../1 + 1п2 Х.

41п х

2.24. у= 1

-

1 .

пх

1

1

+tgx

2.25. У =

3'tg3 Х -

ctg х + х.

2.26. у = 1п у1

-tgx -

х.

2.28. У = Iп (е' + .....}I +е2х ).

2.27. У =

Iп

l-sin х

1 +cos х'

2.29. У =

Iп х

tg2 (x3 + 1).

.fx2+I'

2.30. У =

3. Вычислить первую производиую функции при указанном зиаче· нии аргумеита или параметра либо при заданных координатах точки.

3.1.f(x)=(1-2x)/(I+~, х=4.

3.2.f(x)=-VX+2-Vx, х= 1.

3.3.'(х) = хеХ/., х = О.

3.4.f(t) = 1п(1 +а-21 ), t = О.

3.5. f(t) = .....}а2 + Ь2 - 2аЬ cos (, t = n/2.

3.6.f(x)=x/(2x-I), Х= -2.

3.7.'(х)= W. х = -8.

3.8.Нх) = (-Vx- 1)2/x, х = 0,01.

3.9.'(х) = х2 - 1/(2r), х = ±2.

3~10. f(х)=х3/з-r+х, Х= -1.

3.11.'(х) = е-х cos 3х, х = О.

3.12.{(х) = Iп (1 + х) + агсsiп (х/2), х = 1.

3.13.f(x)=tg 3 (nx/6), х=2. .

3.14.2у=l+ хуЗ, x=l, y=l.

3.15.у=(х+у?-27(х-у), х=2, у= 1.

3.16.yeY=e'+I, х=О. у= 1.

261

3.17.у2 =х + Iп(у/х), х = 1, у = 1.

3.18.х=llпl, y=(lnl)/I, 1=1.

3.19.	х =	a(1 - Siп 1),	у = a(l	- cos 1), 1 = п/2.
3.20.	х =	е' cos 1, У =	е' sin 1,	1 = п/4.

3.21. у(х)=(1 +x3 )(5_I/x2 ), Х= 1, х=о.

3.22. s(l) = 3/(5 - 1) + 12/5, 1 = О, 1 = 2.

3.23.rp(z) = z (1 + -..[z3), z = О.

3.24.p(rp) = rp/(I - rp2), rp = 2.

3.25.rp(z) = (а - z)/(I +z), z = 1.

3.26.s(l) = JfS;5 - 1) + 12/5, 1 = О, 1 = 2.

3.27.у=е IЛХ, х=е.

3.28.у = Vtg(x/2), х = п/2.

3.29.{(х)=(х2 +х+ 1)(х2 -х+ 1), х=о, х= 1.

3.30. F(x) =			1/(х + 2) + 3/(х2 +	1), х = О,	х = 1.
4. Найти вторую производную у".
4.1.	У =	х-l		4.2. у =	aгctg(x2).
		х +	1 е-Х •
4.3.	У =	к Iп х.		4.4. У =	,м - к/х.
4.5. у =		Iп ctg 4х.		4.6.y=~.
4.7. y=2ctg3x.				4.8. У =	xel(x.
4.9. у =		хе-Х •		4.10. у =	!п ln х.
4.11. y=x~.				4.12. У = х/.)I -		х2.
4.13. у=(lп х)/х.				4.14. У =	к ln хЗ •
4.15. у=;с3е 5Х•				4.16. у =	(1 + K)tg х.
4.17. y=eXcos 4 x.				4.18. У =	е-Х сos х.
4.19. у = -j;ex •				4.20. У =	хе -х'.
			2х	4.22. у =	;с3 Iп х.
4.21. у = aгctg -- 2'
			I - x
4.23. у=хе"ЛХ.				4.24. у=	1п tg (~	+ ~).
4.25. У = х aгctg х.				4.26. У =	Х/(К - 1).			Х.
4.27. у = х -			aгctg х.	4.28. У =	siп х-	+cos	3
4.29. у = aгctg-v;.				4.30. у =	Iп (х + -j;).
5. Найти вторую производную d 2y/dx2 функции.
5.1. {Х =		1 +	Iп c~s 1,	5.2. {Х =	2~ - sin 21,
	у = 1 - Iп SIП 1.			у = SIП3 1.
5.3.	х =		1 .
		1 + "2 SIП 1,		5.4. {Х = 15+ 21,
	{ У =	cos 3 1.
				У =	13 - 81 -	1.
5 5	{Х =	13/3 + 12/2 + 1,		Х =	aгcsin (/2 - 1),
.•	y=1 2/2+I/t.			5.6. {У =	arccos 2t.

262

{Х = 2 cos3 t,

5.13.у=4 sin 3 t.

{Х = 2 cos t - cos 2t,

5.15.у = 2 sin t - sin 2t.

{Х = 3t - t3•

5.17.у=3/2 .

5.19.{Х = ctg.t,

у= l/cos2 t.

{Х = t2,

5.21.у =t3 /3 _ t.

5.23.{Х = sin(t/2), y=cost.

{Х =e2t,

5.25.

y=cost.

5.27.{Х = tg / +ctg (,

у=2lп ctg t.

5.29.{Х = 3 C?S2 t,

У= 2 sIП3 /.

58 {X=ctgt,

.. у = l/cos2 t.

5.10. {Х = 2. с~з 2/,

у=slП 2t.

5.12.{Х= 3 C?s/,

у = 4 slП t.

{Х = cos t + t siп (,

5.14.У = sin t - t cos (.

5.16.{Х = 2t2+ t, y=ln (.

5.18. {Х 2/2- 3

,

= t

y=2t.

{Х= Iп t,

5.20.У = (t + l/t)/2.

5.22.{Х = t - sin (, у= 1 - cos t.

{Х = cos at,

5.24.у = siп at.

5.26.{Х = COS(/(2),

		y=t-slП (.
5.28.		X=t2+1,
	{	"
		у=е.

{Х = t cos /,

5.30.У = at sin t.

6. Решить следующие задачи.

6.1. Под какнм углом сииусоида у = sin Х пересекает прямую у =

= 1/2?

6.2. Показать, что гиперболы ху = 8 и х2 -	у2 = 12 пересекаются
под прямым углом.	.

6.3. Определить угол, под которым пересекаются кривые r +у2 = 8

ну2 =2х.

6.4.Под каким углом пересекаются гипербола у = I/x и парабола

у= ,j;?

6.5. На параболе у = х2 взяты			две точки		с абсциссами Хl = I и
Х2 = 3. Через эти точки		проведеиа	секущая. В		какой точке параболы
касательная к ней параллельиа секущей?
6.6. Канат	висячего	моста имеет		форму параболы		и	прикреплен
к вертикальиым	опорам,	отстоящим		одна от	другой	на	расстоянии

200 м. Самая нижияя точка каната находится на 40 м ниже точек под­ веса. Найти угол между канатом и опорами.

6.7.	При каком зиачении а кривая у = (ах + х")/4							пересекает		ось
Ох под углом 450 ?
6.8.	Найти	угол	пересечения	кривой	у =	Х -	х3 И	прямой У =		5х.
6.9.	Найти	угол	пересечения	линий	у =	1 + sin Х		и	у = 1.
6.10.	Найти	угол	пересечения	лииий	у = ,fisin Х			и	у = ,ficos Х.
6.11.	Найти	угол	пересечения	кривых	у =)(J		и у =	1/х2•

263

6. В? Составить у/,>авнеиия касате.льноЙ и иормали к полукубическ{)й

параболе х = t2,

у = tЗ, проведеиных в точке t = 2.

== 4х.

6.13. Найти угол пересечения кривых r

+у2 =

5

и у2

6.14. Определить, под каким углом кривая

y=(x-I)/(I +х2)

пересекает ось абсцисс.

6.15. Найти точки, в которых

касательиые к графикам

функций

((х) = r -

х -

1 и rp(x) = Зr -

4х

+ 1 параллельны.

х2 +

6.16. Записать уравнеиия

касательиых

и

иормалей к

кривой

+ у2 + 4х -

2у -

3=0 в

точках пересечеиия

ее с

осью

Оу.

6.17. Записать

уравнеиия

касательных

и

нормалей

к

кривой

у =

= 4х -

х

з

в точках пересечеиия ее с осью Ох.

6.18. Записать уравнеиие касательных к гиперболе ху = 4

в точках

с

абсциссами хl = 1, Х2 =

- 4 и найтн угол

между касательными.

6.19. На параболе у =

х2 + 5х + 3 взяты две точки

с

абсциссами

х = ~2 и

х =

3.

В

какой

точке

параболы

касательная

к ней

будет

параллельна секущей, проведеииой через эти точки?

,

6.20.

Найти

уравнеиия

касательиой

и

нормали

к

кривой

4хЗ -

-

3ху2

+

6х2 -

5ху -

3у2 +

9х + 14 = О в точке (-,2,

3).

t,

6.21. Записать

уравнеиие

нормали

к

астроиде

х =

а С05

З

у =

= а siп

З

t

в точке, для которой

t = п/4.

к кривой у = Iп (2х + 1),

6.22.

Составить

уравнение

той нормали

которая перпендикулярна к биссектрисе первого и третьего коордниат­

иых углов.

6.23. Найти расстояние от вершины параболы у = х2 -		4х + 5		до
касате.льиоЙ к ней в точке пересечения параболы с осью Оу.
6.24. В уравиении параболы у = х2 + Ьх + с	определить Ь		и	с,
если известно, что парабола касается прямой у = х в точке		х = 2.
6.25, Провести касате.льную к кривой у = (х +	9)/(х + 5) так,		чтобы

она прошла через иачало координат. Записать уравнение этой каса­

тельной.
6.26. Найти	угол, под которым		пересекаются		параболы		у = (х -
_2)2 И у= -4+6x-r.							+у2 = 1
6.27. Найти углы, под которыми пересекаются						х2
					эллипс "4
и парабола 4у =	4 -	5х2 •				у = arctg(x/2)
6.28. Составить		уравиение касательной		к линии
в точках ее пересечения с прямой х -			2 = о.	+у2 =
6.29. Найти	касательную к кривой 4х2				80,	паралле.льную
прямой х+у-6=0.
6.30. При каком значении параметра а парабола						у = ахЗ каса­
ется кривой у =	Iп х?

7. Решить следующие задачи.

7.1. Закон двнжения материальной точки по прямой задаи форму­

лой

+3t + 5.

В какие моменты

времени t

скорость

точки

равна нулю?

3t

7.2. Две точки

движутся по

прямой

по законам

SI = t

З

-

и

S2 = t3 -

5t2 +

17t -

4.

В

какой

момеит времени их

скорости

будут

равны?

1

+

7.3.

Тело,

брошенное

вверх,

движется

по закону

s = -

З

""3 t

17

+60t -

49.

В

какой момент времеии скорость тела стаиет рав-

+ "2 t 2

иой иулю? Найтн наибольшую высоту подъема те.ла.

7.4. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется фор­

мулой v = 3t +t2 • Какое ускореиие будет иметь тело через 4 с после

начала движеиия?

264

·	7.5. Тело М{lСс.ОЙ 100 кг	движется прямолинейно по	закону	S =
=	2t2 +3t + 1. Определить	кинетическую энергию mv2 /2	тела	через

5 с после начала движеннЯ.

7.&. Тело брошеио вертикально вверх с начальной скоростью а м/с. За какое время и иа каком расстояиии от поверхиостн Земли .тело до­ стигиет наивысшей точки?

7.7. Плот подтягивается к берегу с помощью каиата, который

иаматывается иа ворот со скоростью 50 м/мии. Определить скорость

движеиия плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет

равно 25 м, если ворот расположен на берегу на 6.j6м выше поверхности

воды.

7.8. Заряд, проходящий через проводиик, начиная с момеита вре­
меии t = О, определяется формулой			Q = f	- 9t2			+ 15t + 1.		В какие
моменты времеии сила тока в проводиике будет равиа нулю?
7.9. Тело массой б т движется прямолинейно по закоиу s = - 1 +
+ In(t + 1) +(t + 1)3.	Требуется	вычислить			кииетическую				энергию
mv2/2 тела через 1 с после начала движения.
7.10. Зависимость	пути от времени при			прямолинейном					движеиии
	1	5+	2 .	1t		О		пределить	скорость
точки задана уравнением s = 5" t			n SIП	8" t.

движеиия точки через 2 с после начала движения.

7.11. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в

результате некоторой реакции, и временем t	выражается уравнением
х = 7(1 - е-З/). Определить скорость реакции	через 2 с после начала
опыта (t = О).

7.12. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален кубу времеии. Первые два оборота были сделаиы колесом за 4 с. Найти

угловую скорость ю колеса через	16 с после иачала движения.			= t		/3-
7.13. Тело движется по прямой Ох		согласио закоиу х			З
- 2t2 + 3t. Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты
тело меияет направление движеиня?
7.14. По параболе у = х(8 -	х) движется точка так, что ее абсцисса
измеияется в зависимости от времени t		по закону	х = t';;: Какова
скорость изменения ординаты в точке М (1,		7)?
7.15. Точка движется по гиперболе у = IO/х так,			что ее	абсцисса

равиомерно возрастает со скоростью 1 м/с. е какой скоростью изме­

ияется ее ордииата, когда точка проходит положение (5, 2)?

7.16. Закон движения точки по оси Ох s = 5! -	t2 • Найти скорость
и ускорение точки для моментов времеии tl = О,	t2 = 1	с.
7.17. Точка движется по параболе у =.;в;так, что		ее абсцисса

возрастает со скоростью 10 см/с. Какова скорость нзменения ордииаты

в этой точке в момент, когда х = 6?

7.18. Закои движения точки по прямой задаи формулой s = 5t -

- 4/t2 + 3. Найти скорость и ускорение точкн через 1 с после начала

движеиия.

7.19. Точка движется по кривой у = ухв первом квадраите. Найти

коордииаты точки в момеит времени, когда скорость изменения абсцис­

сы этой точки в	12 раз больше скорости изменения ее ординаты.
7.20. Точка	движется по закону s = 4t3 + 2t2 - 5 (см). Найти ско­

рость и ускорение движения точки через 2 с.

7.21. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с.

екакой скоростью увеличиваются площадь поверхиости шара и его объем

вмомент, когда его радиус стаиовится равным 50 см?

7.22.Электрический заряд, проходящий через проводник, начиная

265

с момента времеии (= О, задается формулой Q = 2(2 + IOt +9. Найти

силу тока для (= 15 с.

7.23. В какой точке эллипса 16х2 +911 = 400 ордииата убывает

с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?

7.24. Сторона квадрата растет со скоростью 5 м/с. Какова СКО'

рость изменения периметра и площадн квадрата в тот момеит, когда

сторона его равиа 50 м?

7.25.Колесо вращается так, что угол поворота пропорциоиален

квадрату времеии. Первый оборот был сделаи колесом за 8 с. Найти угловую скорость (j) колеса через 32 с после начала движеиия.

7.26.Расстояние s м, пройденное телом за t с, определяется форму­

+312 + (. Найти скорость и ускорение тела при (= 10.

7.27. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое	тормозом, за
( с поворачивается на угол ер = а +Ы - ct2 , где а, Ь, с -	положитель·

иые постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращеиия

колеса. Когда колесо остановится?

7.28. Точка движется прямолинейно так, что v2 = 2Ьх, где v -

скорость точки; х - пройдеииый путь; Ь - некоторая постоянная. Опре­

делнть ускоренне двнжения точки.

7.29.В период разгона маховик вращается по закону ер = (3/10.

Через какое время после иачала двнжения угловая скорость маховика будет равна 6Оn рад/с? Чему будет равно угловое ускорение тела в этот момент?

7.30.Точка двнжется прямолинейно по закоиу s = 6О! - 5t3• Через

какой промежуток времени после начала двнжения точка остановится? Найти путь, пройденный точкой за Это время.

РЕКОМЕ НДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Учебиики и учебные пособия

1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии н линейной алгебры.- М.: Наука, 1980.- 336 с.

2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное н интеграль­ ное исчислеиие.- М.: Наука, 1980.- 432 с.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элемеиты лииейной алгебры

ианалитической геометрии.- М.: Наука, 1980.- 176 с. '

4.Воеводин В. В. Линейная алгебр1t.- М.: Наука, 1980.- 400 с.

5.Головина Л. И. Лииейная алгебра н иекоторые ее приложения.­

М.: Наука, 1975.- 408 с.

6.ГУРСкий Е. И.Основы линейной алгебры и аналитической геомет­

рии.- Мн.: Выш. шк., 1982.- 272 с.

7.Долгов Н. М. Высшая математика.- Киев: Виша шк., 1988.-

416с.

8.Жевняк Р. М., Карnук А. А. Высшая математика: В 5 '1.-Мн.:

Выш. шк., 1984-1988.- Ч. 1.- 1984.- 223 с.

9. Ильин В. А., Позняк В. Г. Линейная алгебра.- М.: Наука,

1974.- 296 с.

10_ Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей мате­

матики.- М.: Наука, 1986.- 575 с.

11.Кудрявцев Л. Д. Курс математического аиализа: В 2 т.- М.:

Высш. шк., 1981.- Т. 1.- 688 с.

12.Лихолетов И. И. Высшая математика, теории вероятностей

иматематическая статистика.- Мн.: Выш. шк" 1976,- 720 с.

13.Пискунов И. С. Дифференциальное и иитегральиое исчисление:

В2 т.- М.: Наука, 1985.- Т. 1.- 432 с.

14.Рублев А. Н. Курс лииейной 'алгебры и аиалитической геомет­

рии.- М.: Высш. шк., 1972.- 424 с.

Сбориики задач и упражиеиий

15. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анали-

за.- М.: Наука, 1985.- 416 с.			.
16.	Данко П. Е., Попов А.	Г., Кожевникова Т. Я. Высшая мате­
матика	в упражнениях и задачах:		В 3 '1.-М.: Высш. шк.,	1986, Ч.
1.- 446 с.
·17.	Задачи и упражнения	по	математическому анализу	для вту­

зов/Г. С. Баранеиков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.- М.: Наука, 1978.- 380 с.

18.Клетенuк Д. В. Сборник задач по аиалнтической геометрии.­

М.: Наука, 1983.- 244 с.

19.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типо­

вые расчеты.- М.: Высш. шк., 1983.- 176 с.

267

20.Лuxолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению за­

дач по высшей математике, теории вероятностей и математической

статистике.- Ми.: Выш. шк., 1976.- 456 с.

21.Минорекий В. П. Сборник задач по высшей математике.- М.:

Наука, 1964.- 360 с.

22. Сбориик задач по курсу высшей математики / Г. И. Кручкович,

Н. И. Гутарииа, П. Е. Дюбюк И др.; Под ред. Г. И. Кручковича.- М.:

Высш. шк., 1973.-576 с.

23. Сбориик задач по математике для втузов: Линейиая алгебра и основы математического анализа: В 2 ч./В. А. Болгов, Б. П. Демидович, В. А. Ефимеико и др.; Под ред.А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.- М.:

Наука, 1981.- Ч. 1.- 368 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .				3
Методические рекомеидации .				5
1. Опреде.лители. Матрицы. Системы лииейиых алгебраических
уравиеиий .				9
1.1. Определители и их свойства. Вычисление определителей				9
1.2. Матрицы и операЦIIИ иад ними.				15
1.3. Обратиые матрицы. Элемеитарные преобразоваиия. Ранг
1.4.	матрицы. Теорема Кронекера -	Капе.лли .		20
	Методы решения систем линейиых алr:ебраических уравне-
	ний .			27
1.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 1				32
1.6. Дополнительные задачи к гл. 1				52
2. Векториая алгебра . . .				57
2.1.	Векторы. Линейные операции	над векторами.	Проекция
2.2.	вектора иа ось. Координаты вектора .			57
	Де.леиие отрезка в да.нном отношеиии. Скаляриое произ-			61
2.3.	ведение векторов и его приложения.
	Векторное и смешанное произведения векторов и их прило-			64
	жения.
2.4.	Индивидуальные домашиие задания к гл. 2 .			67
2.5. Дополнительные задачи к гл. 2				84
3. Плоскости и прямые .				88
3.1.	Плоскость			88
3.2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость				90
3.3. Прямая на плоскости .				94
3.4.	Иидивидуальные домашиие задания к гл. 3 .			97
3.5. Дополнительные задачи к гл. 3				112
4. Лииии и поверхиости .				115
4.1.	Линии второго порядка.			115
4.2.	Поверхности второго порядка.			121
4.3.	Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и
	параметрическими уравнеииями .			125
4.4.	Индивидуальные домашние задания к гл. 4 .			131
4.5. Дополнительные задачи к гл. 4 .				146
5. Фуикции. Пределы. Непрерывиость функций				149
5.1.	Числовые множества. Определение и способы		задания
	фуикции .			149

269

5.2.	Пределы последовательностей и функций. Раскрытие прос-
	тейших неопределеиностей .				151
5.3. Замечательные пределы.					154
5.4. Сравнение бесконечио малых			функций.	Непрерывность
	фуикций .				155
5.5. Индивидуальные домашние задания к гл. 5 .					158
5.б. Дополнительные задачи к гл. 5 .					174
6. Диффереициальиое		исчислеиие фуикций одной переменной
и его приложеиия .				•	17б
6.1.	Производная, ее геометрический и физический смысл. Пра-
	вила и фОРМУJIЫ дифференцироваиия .				176
6.2.	Логарифмическое дифференцироваиие .				180
6.3. Производные высших порядков.					181
6.4. Дифференциалы первого и высшнх порядков И их прило-					184
	жения.
6.5.	Теоремы о среднем. Правило Лопиталя -			Бернулли .	187
6.6. Исследованне поведения функций и нх графиков _					190
6.7. Схема полного		исследоваиия	фуикции	и построение ее
	графика .				195
6.8.	Практические задачи на экстремум. . . .				198
6.9. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии					200
6.10. Индивидуальиые домашние задания к гл. 6 .					205
6.11. Дополиительные задачи к гл. 6.					248
Приложения .					252
Рекомендуемая литература					267