RI_OCR[4]

полненный невязкой жидкостью, стоит на горизонтальной

плоскости. Определить местоположение отверстия, при ко­ тором дальность струи будет наибольшей, если скорость вытекающей жидк~сти по закону Торричелли равна

-J2gx, где х - расстояние от отверстия до поверхности

жидкости; g - ускорение свободного падения. (Ответ: на

середине высоты Н.)

1.28.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 15 м. При каком радиусе полукруга окно будет пропускать наибольшее количество

света? (Ответ: 2,1 м.)

1.29.На странице книги печатный текст занимает

площадь S; ширина верхнего и нижнего полей равна а,

а правого и левого - Ь. При· каком отношении ширины

к высоте текста площадь всей страницы будет наимень­

шей? (Ответ: Ь/а.)

1.30. Из круглого бревна, диаметр которого d, требует­ ся вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения,

чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на

изгиб? Сопротивление балки на изгиб Q пропорционально

произведению ширины х ее поперечного сечения и квад­

рата его высоты у, т. е. Q = kxy2, k = const. (Ответ:

х= d..{3/3, у = d-{6/з.)

2.Провести полное нсследование указанных функций

ипостроить их графики.

2.1. у= х2 -2х+2.

х-I

2.3. У = е'/(5+Х).

2.5. у= 4х-х2 - 4 .

х

2.7.у= ~.

2.9.у=х-lп (1 +r).

2.11.y=r-21nx.

х2_х_1

213.. у= 2 •

Х -2х

2	У =	х+1
2..		(x-I? .
2.4.	у =	х/(9 - х).
2.6.	у =	х2
		--:-;;2:---:-
		4х - 1

2.8. y=x+~;

	х
2.10. У =	>?
	---;;---
	r - x+1
2.12. у=х3е-х'/2.
2.14. у =	(х-2)2
	х+1

2.15. у= -ln~.	2	+ 1).
I - x	2.16. у = 1п (х

241

2.17. у =	х2	+ 6
	- 2 -- '
	Х	+ 1

2.19. у=(х_l)еЗХ +'.

2.21. У=	2х-I
	2'
	(x-I)
2.23. У =	(хз +4)/х2 •
2.25. У =	~/(х4 - 1).
2.27. У =	r + l/r.

4-2х

2.29.У = -- 2 .

'-х

2.18. y=xlnx.

2	•	20	У	= х2 -	3х + 2
		•			х+'

х5

2.22.У = -.--.

. х-I

2.24.У = +~(х - 5).

2.26.У = (е2Х + l)/ex •

2.28.у = (5х4 + 3) / х.

5х

2.30. У= --.-.2.

4-х

3. Провести полное исследование данных функций и

построить их графики.

3.1. у=е2х -х'.

33	У =	2(х+ '?
. .		х-2'
3.5.	У =	(4еХ' _ I)/ex'.

3.7.у = хе'/х.

3.9.У= (1-4.

(х - 2)2

3.11. У = re'/x.

3.13. y=(X+2)e'-Х.

3.2. У = х + In (х2 -4).

3.4.у=х ,п2 х.

3.6.у = х2е-Х'/2.

38	у-	2+х
. •	-	(х+ 1)2 •

3.10.у=хе.

3.12.у=х2/(х+2?

3.14. y=~.

х

3.15. y=(X-2)2.			3.16. у= -- 3'
				х3
3@ У =	х+'			9-х
	(х+ l)e2x •		3.18. у = 4х/(4 + х2).
3.19. y=x4/(~_I).			3.20. У =	In (х2 -	2х + 6).
3.21. У =	In (1- l/r).		3.22. У = х3еХ +'.
3.23. у =	х -	In (1 +r).	3.24. у =	1 - In3	х.
3.25. у =	(х -	l)е4Х +2•	3.26. у =	2к + 2 + 4х •
	-х In 2 х.			2-х
3.27. у =			3.28. у =	х2 - 2 In х.
3.29. у =	е'/(2-х).		3.30. у =	In (4 -	х2).

4.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

у= {(х) на отрезке [а; Ь].

4.1.y=ln(x2 -2x+2), [О; 3].

4.2.У = зх/(х2 + 1), [О; 5].

4.3.у = (2х - I)/(x - I?, [-1/2; О].

242

4.4.	У =	(х + 2)e l - X , [ - 2; 2].
4.5.	У =	In (х2 - 2х + 4), [ - 1;3/2].

4.6.у=хЗ /(х2 -х+ 1), [-1; 1].

4.7.У = ((х + 1)/х)З, [1; 2].

4.8.y='-.jx х3, [-2; 2].

4.9.у=4-е-Х', [О; 1].

4.10.у=(х3 +4)/х2, [1; 2].

4.11.у=хеХ , [-2; О].

4.12.y=(x-2)еХ , [-2; 1].

4.13.у=(х-l)е-Х, [О; 3]..

4.14.у=х/(9-х2), [-2; 2].

4.15.у=о +Inx)/x, [I/e; е].

4.16.у = е4х -х', [1; 3].

4.17.у=(х5 _8)/х4, [-3; -1].

4.18. у_- е2Х + I , [-1,2]. .

еХ

4.19.у = х In х, [1/е2 ; 1].

4.20.у = х3еХ + 1, [-4; О].

4.21.y=r-2x+2/(x-I), [-1; 3].

4.22.у=(х+ 1)~, [-4/5; 3].

4.23.у = e6X -Х', [-3; 3].

4.24.у = (lп х)/х, [1; 4].

4.25.У = Зх4 - 16х3 + 2, [-3; 1].

4.26.У = х5 - 5х4 +5х3 + 1, [-1; 2].

4.27.у = (3 - х)е-Х , [О; 5].

4.28.У =-/3/2 + cos х, [О; л/2].

4.29.у= 108х-х\ [-1; 4].

4.30.у=х4 /4-6х3 +7, [16; 20].

Решение типового варианта

1. От канала шириной 32 м отходит под прямым углом

другой канал шириной 4 м. Определить наибольшую длину бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов. (Толщину бревна не учитывать.)

•Обозначим длину бревна через [. Тогда:

l=IACI=IABI+IBCI	,	IABI=~=~
		cos q>	cos q> ,
IBCI= ICDI =_4_		[=~+_4_
sin q> sin q> ,		cos q>	sin <р

(рис. 6.16).

243

А							Рис. 6.16
Исследуем функцию l на экстремум:
=	-	dl	=	32 .		4		32sin	3	q>-4cos	3 q>
				--slП 'Р- - .-cos				'Р= --.".....:-----::--"'-
"	dq>			cos 2 IP		s\П2	q>	sin	2 q>. cos 2 q>
Если			"	= О,	то	32 sin 3 'Р - 4 cos3 'Р = о.				Так	как
cos 'Р =1= О, то из последнего уравнения имеем:										tg3 'Р =	1/8,
tg 'Р	= 1/2,			sin 'Р	=	1/-{5,	cos 'Р	= 2/-{5,		'Р ~ 26°34'.

В окрестности этого значения 'Р знак производной " определяется знаком ее числителя, т. е. выражения и('Р) =

=	32 sin 3 'Р - 4 cos 3 'Р. Имеем:		2,904 < О,
	U('P)I'I'~260	~ 32·0,4383 - 4· 0,8993 ~ 2,696 -
	u(~)I'I'~270	~ 32·0,4543 - 4·0,891 3 ~ 2,994 -	2,829> О,
т.	е.
		l('P)1'I'~26°34' = 'тах.
	Следовательно, при 'Р ~ 26°34' расстояние		IACI будет

минимальным, поэтому наибольшая длина 'тах бревна,

сплавляемого из одного канала в другой, не может быть

больше этого расстояния. Окончательно получаем:

[тах = 20-{5 ~ 44,72 м....

2.	Провести	полное исследование функции у =	(х.+
+ 3)2/ (х - 4) и		построить ее график.
•	Исследуем данную функцию, придерживаясь в
основном схемы, предложенной в § 6.7.
1. Облc:lстью определения функции является множество
xE(-оо; 4)U(4; +00).			У < О
2.	Ордината	точки графика у> О при х> 4,
при х<4.
3.	Точки пересечения графика данной функции с осями
координат: (О, -9/4) и (-3, О).

244

4. Легко находим, что х = 4 -			вертикальная асимпто­
та, причем:
lim у =	lim	(х+ з)2 = -	00, lim у =
х_4-0	х_4-0	х-4	х_4+0

=lim (х+3? = + 00.

Х_4+0 х- 4

Находим наклонные асимптоты:

k =

lim

{(х)

=

lim

(х+зi

= 1,

X~± 00

х

х_± 00

х(х - 4)

Ь =

lim

(((х) -

kx) =

lim

((х+ з)2

- х) =

х-+±оо

х__ ±оо

х-4

=

lim

х2 +6х+9-.х2+4х

=

lim

'Ох+9

= 10.

х__ ±оо

х-4

х-+±оо х-4

Таким образом, существует единственная наклонная

асимптота у =

х + 10.

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло­

кальный экстремум:

у' = 2(х + 3) (х - 4) - (х + 3? _

2х2 - 2х - 24 - х2 - 6х - 9

(х_4)2

-

(Х_4)2

х2 - 8х-33

(х -

4)2

Из

у' =

О

следует

х2

- 8х -

33 = О,

откуда

х, = 11,

Х2 =

-

3.

В интервале ( -

00;

- 3)

у' > О, следовательно,

функция

возрастает

в

этом

интервале;

в

(-3;

4) у' < О,

т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х =

- 3

имеет локальный максимум: у( -3) = о. в интервале (4;

11)

у' < О, следовательно, функция убывает на этом интер­
вале;	в	(11;	+ 00) у' > О,	т. е.	функция возрастает.
В точке		х =	11 имеем локальный		минимум: уОI) = 28.
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогну­
тость	и	определим точки перегиба. Для				этого найдем
	У	" _ (2х-8)(Х-4)2_(х2		-8х-33) ·2(х-4)			_
		-	(х_4)4				-
	_ 2х2 - 8х - 8х + 32 - 2х2 + 16х +66					98
			(х - 4)3			(х _	4)3 .

Очевидно, что в интервале ( - 00; 4) у" < О, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; + 00) у" > О, т. е. в этом

интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не

определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис. 6.17.....

245

у

?8 г--r---",....../

10

11 х

Рис. 6.17

3. Провести полное исследование функции у = хе-х'/2 и

построить ее график.
~ Воспользуемся		общей	схемой	исследования
функции.				+ 00 ).
1.	Область определения функции ( - 00;
2.	Так как у = О	при х = О,	то график функции про­
ходит через начало координат.
3.	Функция принимает положительные значения в ин­

тервале (О; + 00) и отрицательные в интервале ( - 00; О).

4.Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные

асимптоты:

		k =	\im '(х)	=	\im	- ',- = О,
			Х-+±ОО Х	х-+±оо ех /2
ь =	\im	(((х) - kx) =		\im	:'/2	= \im		-ь- = О.
	Х-+± 00			Х-+± 00	е	х__ ±	00	е
Получаем горизонтальную асимптоту у =							О.
5.	Так	как	у(-х)= _х/ех'/2 = -у(х),					то функция

нечетна и ее график симметричен относительно начала

координат.

6. Исследуем функцию на монотонность:

у'=

246

Если у' = О, то 1 - х2 = О, откуда х, = -1, Х2 = 1. Эти

точки разбивают числовую ось на три интервала:

в ( - 00; -1) у' <	О,и функция в этом интервале убывает;
в (-1; 1) у' > О и функция возрастает; в О;		+ 00) у' <	О,
и функция в этом	интервале убывает. В точке х = -		1
имеем минимум:
у(-I)= --k- ~ -0,6,
	е
а в точке х = 1 -	максимум:
	1
	у(I)= ~ ~ 0,6.

е

7. Исследуем свойства функции, связанные со второй

произ водной:

,	=	I - r		"	=	_2хех'/2 -		(1 -	хг) хех'/2
у		---;"f2' У						х'
		е						е
		_	хех'/2(-2-1 +хг) _					х(r-З)
		-			ех'		-		ех'/2
Если у" = О,		то	х(х2	-	3) = О,		откуда		х, = О, Х2 = --{3,

хз=-{3. В интервале (-00; --{3) у" <О, т. е. кривая выпукла в этом интервале; в ( --{3; о) у" > О, т. е. кривая

вогнута; в (О; -{3) у" < О, кривая выпукла;	в (-{3; + 00 )
у" > О, кривая вогнута. Так как в точках х=	±-{3, х= О

вторая производная у" меняет знак, то при этих значе­ ниях х на графике функции получаем точки перегиба,

ординаты которых:

у( +-{3) = +-{3/еЗ/2 ~ ±0,4, у(О)=О.

8. Полученные данные позволяют построить график

функции (рис. 6.18).

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

у = 2 siп х +cos 2х на отрезке [О; л/2].

~Находим критические точки:

у' = 2 cos х - 2 siп 2х,

Если у' = О, то

2 cos х - 4 siп х cos х = О, 2 cos х (1 -				2 siп х) = О.
Если	cos х = О,	то х =	л/2 + 2kл; если	же sin х = 1/2,
то х =	( -1)" ~	+ лn, k,	n Е Z.

247

у

х

Рис. 6.18

Из всех найденных критических точек только х = л/6

и х = л/2 принадлежат отрезку [О; л/2]. Вычислим значе­

ния

данной функции

при х =

О, х = л/6, х = л/2:

у(О) = 1, у(~)

=

2 siп

~

+cos

;

= 1 + {- =

1,5,

у( ; )=

2 sin ;

+ cos л =

2 -

1 =

1.

Следовательно,

наибольшего

значения

на

отрезке

[О;

л/2]

данная функция

достигает в

точке

х =

л/6:

у(л/б) =

1,5, а наименьшего -

в точках х =

О и х =

л/2:

у(О) = у(л/2) = 1.

<l1li

6.11.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 6

1.Определить, в каких точках и под каким углом пере­

секаются графики следующих функций:

а) {(х)=х3 , g(x) = l/х2 ; б) {(х)=х2 -4х+4, g(x)=

= _х2 + 6х - 4. (Ответ: а) (1,2), ер = л/4; б) (1, 1), (4, 4),

ер = arctg (6/7).)

2. Записать в декартовых и полярных координатах
уравнение нормали к кардиоиде р = а(l + cos ер) в точке
с полярны M	углом	ер = л/6.		(Ответ:	х - у - (1 +
+ 2.f3)a/4 = О, р =( 1+2-{3) a/(4(cos ер -					sin ер».)
3. Тело массой т = 1,5			кг	движется	прямолинейно
по закону s(t) =	t 2 + t	+ 1 (s -	в метрах, t -		в секундах).

Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала

движения. (Ответ: 90,75 Дж.)

4. Материальная точка движется по спирали Архимеда

р = аер так, что угловая скорость вращения ее полярного

радиуса постоянна и равна л/30 рад/с. Определить ско­ рость удлинения полярного радиуса р, если а = 10 м.

(Ответ: л/3 м/с.)

5. Количество теплоты Q Дж, необходимое для нагре­

вания 1 кг воды от О до ·t ОС, определяется формулой

248

Q = t +2· 10-5 t2 +3· 10-7 t 3 • Определить теплоемкость

воды при t = 100 ос. (Ответ: 1,0 13 Дж/ (кг· град).)

6. Камень брошен с заданной начальной скоростью под углом а к горизонту. Пренебрегая сопротивлением

воздуха, определить, при каком значении а дальность

полета камня будет наибольшей. (Ответ: л/4.)

7.Внутреннее сопротивление гальванического элемента

равно R Ом. При каком внешнем сопротивлении мощность

тока, получаемого от этого элемента во внешней цепи,

будет наибольшей? (Ответ: R Ом.)

8.Исследовать данные функции и построить их

графики:				.
а)	x=t3 +2t2 +t, У= -3t3 +3t-2;
б)	х = (t -		1)2 (t -		2),	У = (t -		1/ (t - 3);
в) Х3 _У3 = 1;							г) У (2-х)=х3 •
9.	Найти пределы:
а)	lim	(tgxYg2x ;					б)	Iim(2_х/а)tg (лХj (2Q»;
	х-+л/4						Х-+а
в)	lim (			1	_	1	v;)	) .
	х-I	2 (1	-	-Гх)		3 (1 -		,
г)	lim x sin х.
	х.....о
(Ответ: а)		е- 1	;	б) еЛ; в)		1/12; г)		1.)

10. Использовав разложение функций по формуле

Маклорена, найти предел

.	cos х -	•	е -Х'/2	(Ответ: -1/12.)
11т			.
х-+О	х

11. Для осушения болот надо вырыть открытый канал, поперечное сечение которого - равнобедренная трапеция. I\анал должен быть устроен так, чтобы при движении воды потери на трение были наименьшими. Определить величину угла откоса а, при котором эти потери будут

наименьшими, если площадь поперечного сечения кана­

ла S, а глубина h. (Ответ: а = л/б.)

12. Сечение шлюзового канала имеет форму прямо­

угольника, заканчивающегося полукругом. Периметр се­ чения равен 45 М. При каком радиусе полукруга сечение

будет иметь наибольшую площадь? (Ответ: 4 ~n м.)

13. Вода вытекает через отверстие в толстой стене. При этом секундный расход воды определяется по формуле

Q = СУ";h У, где с - некоторая положительная постоян-

249

ная; у - диаметр отверстия; h - глубина его низшей

точки. Определить, при каком диаметре отверстия у се-

кундный расход воды Q будет наиБОЛ~ШИМ. (Ответ: ~ h)

14. Найти наименьшую длину стрелы крана, необхо­ димую для монтажа плит перекрытия здания высотой Н и шириной а, при условии, что кран может двигаться

вдоль фасада здания параллельно ему, высота основания

стрелы крана над землей h, зазор между стеной здания и стрелой крана всегда не менее m. Кран должен подавать

детали так, чтобы крюк его приходился точно над сере­

диной здания. Решить задачу в общем виде, сделать

расчет при H=125 м, m=15 м.' a=IO м, h=116 м.

(Ответ: 23,3 м.)

15. По трубе круглого сечения радиусом r течет вода. Известно, что скорость течения прямо пропорциональна

так называемому гидравлическому радиусу R, вычис­

ляемому по формуле R = S / р, где S - площадь сечения потока воды по трубе; р - смоченный (подводный) пери­

метр сечения трубы. При каком центральном угле запол­

нения трубы водой скорость течения воды будет наиболь­ шей? (Ответ: 2580.)

16. Показать, что точка максимума момента изгиба равномерно нагруженного бруса длиной l находится в

центре бруса. (Момент изгиба бруса в точке М задается

UM',		'	2	удельная нагрузка;
Формулои	= "2 Х -	"2	ООХ , где {t) -

Jf - расстояние от точки до начала бруса.)

17. Однородный стержень АВ, который может вра­ щаться около точки А, несет груз Q на расстоянии s

от точки А и удерживается в равновесии вертикальной силой Р, приложенной к свободному концу В стержня. Вес погонного сантиметра стержня q. Определить длину

стержня, при которой вертикальная сила Р будет наи-

меньшей. (Ответ: IABI =..;2sQ/q, Рнаим =..;2sqQ.)

18.Определить приблизительно (с точностью до целого

числа) относительную погрешность при вычислении по­

верхности сферы, если при определении ее радиуса отно­

сительная погрешность составила 1 %. (Ответ: 2 %.)

19.Определить приблизительно (в процентах, с точ­

ностью до целого числа) изменение силы тока провод­

ника, если его сопротивление увеличивается на 1 %.

(Ответ: уменьшится на 1 %.)

20.Как следует изменить длину маятника l = 20 см,

250