RI_OCR[4]

2.28.	lim	л/х
	х-о	ctg (5х/2)
2.29.	lim (1 -		cos 2х) ctg 4х.
	х_О
2.30.	lim	(х2	sin bjx).

х_оо

3

3.1.	lim		arcsin 4х
	Х_О		5 -5е 3х
	.		eX'-1
3.3. 11т--­
	х-О	cos х- I
3.5.	·	e'gx_1		.
	11т
	х-О tg х-х
3.7.	.	cos х .1п·(х -					а)	.
	11т		lп (гХ - е")
	х-а
3.9.	·	cos (ех' -			1)		.
	11т		cosx-I
	х-О
3•11 •	·		х!"-а"		.
	11т		х!' - d'
	х_а
3.13.	1.		3 tg 4х -			12 tg х
	1т	--=------=--
	Х_О		3 sin 4х		-	12 sin			х
3•15•	·		х(гХ + 1) -				2(гХ -
	11т				..3
	X_O~·
3.17.	.		аХ _a sinx
	11т		~
	х-О
3.19.	lim lп (cos ах) ..
	х-О		lп (cos Ьх)
3.21.	.	(1			1)
	11т		---- .
	х-О		Х		гХ	-	1
3.23.	lim		lп (1 + хе')						•
	х-О		lп (х + .../1 +r)
3.25.	·		е4/х'_1			"
	11т
	х_оо 2 arctg r-л

3..2		·	lп cos х			.
		11т
	Х_О		х
3.4.	lim гХ-r/2-х-1
	х-о		cos х -			r /2 - 1
3.6.		lim	In (1	-		х) +tg (лх/2) •
		х_1				ctg лх
3.8.		lim				1	•
		х_1	cos (лх/2). 1п (1 -				х)
3.10•		·	ea.r -cos ах
		11т	р			•
		Х_О	е х	-	cos j}x
3.12.		lim х		sin.!!... .
		х_оо				6х
3.14.		· -.Jtg;-I
		11m				•
		х_п/4 2 sin2 х - 1

1)3 16 11'т arcsin 2х-2 arcsin х•

••• Х_О

~

3.18.lim (tg X)t g 2x.

r_,./4

320. .	'	Vtgx-1
	11т	2 sin		2	х-	1	•
	х_,./4
3.22.	lim х2		e- 0•01x •
	х_оо
3.24.	liт (1 -		X)log, х.
	r_1

3.26.lim 'П 2x·ln (2х-l).

x_I/2

3.27.	lim (_х_ __1_).	3.28. lim arcsin Х· tg х.
	x_I/2 3х- 1 In 3х	х-о
3.29.	liт (~e-X).	3.30. lim (x-ly- I •
	<_00	х-I

231

4

4.1'.

lim(l-sin 2x)ctg x.

4.2.

liт (ln (ljx»".

х-+О

х-+О

4.3.

liт (cos x)<tg2 "',

4.4.

Iim х",

",-+о

х-+О .

4.5.

liт

(In 2х)Ifln х,

4.6.

lim (1 +sin 2 X)I/tg ' "'.

х-оо.

",-+0

4.7.

lim (1 _

x)lnx,

4.8.

lim (ln (х +е»

1/",,

",-+1

х-+О

4.9.

Нт" (sin x)tg.t,

4.10.

liт :r;.

",-+0

"'-+00

4;11.

liт xSi~"',

4.12.

liт (1 _

х)соs (11"'/2)•

",-+0

x--l

'

4.13.

liт (1 +x2)I/"',

4.14.

lim Xl/(",-I),

",-+о

х-+I

Ig (IIx;il)

4.15.

.

(

лх ) tg ("х/2}

,

4.16.

.

. (

лх)

.

11Ш

tg -

11т

ctg-

х-+I

4

х-+I

4

11т

С ),gX

l'1т

(Х-4)

3z

4.17.

-

.

4.18.

.

х-+оо

--

.

",-+о Х

Х+ 3

4.19.

li~(ctg х)Оin"',

4.20.

lim

(In X)I/X,

",-+0

"'-+00

4.21.

lim x6/(1+21n"').

4.22.

Нт (1 - e")I/X,

"'..... ""

"'-+00

4.23.

liт (х- 1)1/ln(2(x-I»,

4.24.

liт (cos туК.

"'..... 00

%__ 00

Х

4.25. Вт

(ctg 2X)li

1n

"'.

4.26.

lim

(

1

5 . )

,

---

Х-+-О

",-+б х-5

r-x-20

4.27.

lim

х2

sin~.

X-+QO

. Х

4.28.

lim(

1

_

1

).

нI

2(1--";;)

3(1- V;)

4.29.

liт (1 -

x)COS (""'/2).

.4.30.

liт (ctg x)sin х,

",-+1

",-+о

5

5.1.liт x(ln (2 +х) -In (х + 1».

	"'-+-ОО
5.2.	lim (cos т +Л sin ~)"',
	%-+-00	+	_х	Х
5.3.	lim (х		2"')1/"', .	5.4.	'iш (1	3 tg2	x)ctg	' х.
	х __ оо				%_0	+
5.5.	liт (cos (т/-..Гх)у			5.6.	lim (cos 2х)3/"".

"'-+00

",-+о

5.7.liт (In ctg x)tg ".

,,-+Q

5.9.limxl / 1n (e'-I).

5.11.Нт (1 +3/х)".

"-+00

,5.В.	Нт (2 -		x/a)tg (n"/(2a».
	Х......
5.10.	.	(	5	)I/sinx	.
	11т		~~

,,-+0 2+-V 9 + x

5.12.Нт (е-' + X)I/X.

,,-+0

			5.14.	Нт (1. arctg х)Х.
		,		%-+00	n
5.15.	liт (	, 1/'"	5.1 6.	lim (	1 +tgx)
		cos х).
	Х-+О	cos2x		Х-+90 ,	1 +sin х .
5.17.	Нт (cos (l/x) +sin (I/x»)".

"-+00

5.1В. Iim(x_l)el/(Z~I) .

,,-+1

5.20. ,Iim ( r+ 1 )'"

- ,,2 -- •

""-'00 х'-2

5.22. Нт (Sin1. + cos 1.)".

%........ 00

Х

Х

5.23. Нт-vcos v.

,,-+Q- ,',' -

5.25.' Нт (х+а)Х.

·( tg х)1/х'

5.19.11т -- •

	Х-+О	Х	, '
	5.21. lim -v1 -
			2х.
	х-.-о		'

5.24. lim (1 +sin лх)сtg ПХ.

'x_l

:.

5.26. lim Xl/~.

%-+00' Х:- а

5.27.	ljm x3/(4+ln ,,).			5.2В.	Iim x·in х.
					,,-'>1)
,5.29.	,	Ig"	.	5.30.	r
	lim(..!...)				Нт хЗ-2 -х+2.
	Х-+О х _				х-+l iё -7х + 6

'с помощью дифференциала приближенно вычислить

данные величины и оценить допущенную относительную

погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).

		6
6.1.	;j34.	6.2. i/26,19.
6.3.	i/ 16,64.	6.4. ";В,76.
6.5.	VЗl,	6.6.	V1O.
6.7.	(2,01)3 + (2,01)2.	6.В.	ij65.

6.9. 2,9/";(2,9)2 + 16.	6 10	, ... ----
		4-3;02
	••	1 +3,02 .
6.11. i/ 15,В.	6.12.	-vw.
6.13. -v200.-	6.14.	(3,03)5.

23):1,

6.1 5.			(2,037)2 - 3		.	6.16. V130.
			(2,037)2 +5
6.17. -127,5.						6.18. -{17.
6.19. -..)640.						6.20. --{l:2.
6.21.	IJJ~					6.22. (3,02)4 +(3,02)3.
	~		1025.
6.23. (5,07)3.						6.24. (4,01)1.5.
6.25. -11,02.						6.26. cos 151 о.
6.27. arctg 1,05.						6.28. cos 61 о.
6.29. tg 440.						6.30. arctg 0,98.
						7
7.1.	arcsin 0,6.			7.2.		arctg 0,95.	7.3. еО•2•.
7.4.	Ig 11.			7.5.		arcsin 0,54.	7.6. cos 59°.
7.7.	е2•О1 •			7.8.		'П tg 46°.	7.9. агсtg-Jl,02.
7.10. arctg-..)0,97.				7.11.		arctg 1,01.	7.12.ln(e2 +O,2).
7.13. arctg 1,03.				7.14.		'П tg 47°15'.	7.15. Ig9,5.
7.16. arctg-{3.i.				7.17.		22.1.	7.18. 41,2.
7.19. tg 59°.				. 7.20.		IOg2 1,9.	7.21. arctg-,f3:2.
7.22. ctg 29°.				7.23.		sin 93°.	7.24. Ig 1,5.
7.25. sin 29°.				.7.26.		Ig 101.	7.27. sin 31°.
7.28. Ig 0,9.				7.29.		еО•25 •	7.30. -{l5.

Решение типового варианта Найти указанные пределы, используя правило Ло·

питаля.

1. lim In (x2 +1).

х_оо !!.J3x-l

~ Так как под знаком предела числитель и знаме: натель дроби' стремятсSl к бесконечности при х-- 00, то

00

приходим к неопределенности вида _е. Следовательно,

00

можно применить правило Лопиталя. Имеем:

* При нахождении пределов условимся использовать следующие символические записи. Если функции и(х) и v(x) при х-хо или х- ± 00

стремятся соответственио к О и	О,	или к	00 и	00·; или к О и 00,		или
к 1 и 00 и т. д., будем писать:	lim (.!:.)		= 00'	или lim.!:. = ~,		или
..		v		v	00
Iim(uv)=O.oo, или limu'=l"" и		т. д.

2:14

liт

lп (r+ 1) = ~ =

liт

2х/(х2 + 1)

х_оо

J..!Зх-1

00

х_оо з/J..!(Зх-1)4

= ~

lim

х J..!(ЗХ-1)4

= ~ =

з

х_оо

r

+

1

00

5

4

(Зх~ 1) -1/5. 3'\

_

2

"(Зх-:.О~ + Х· -

5

,

" .

- 3

2х

-

=

2

,.

Щх-5,

12х

=

• I ,.

27х-5

---1

1т

.

-

1т

----- ' - , --

з

х_оо

!ох s Зх ~ 1

15. х_оо

.f

VЗх -

1

'. .

= 2- lim 27-5/х =0. ~

15 х_оо

J..!ЗХ _

1

2.

1- sin х

tlf 2х

~ При х-+л/2 получаем

неопределенность

о

вида о'

Применяем правило Лопиталя:

, .

1 - sin х

О

,.

- cos х

1т

2

2х

= - =Im -------

х_п/2

tg

О

x""'''f2

2х

2

2 tg

2

cos 2х

=

lim

-cos3 2x·cosx"

1 ,.

(

з 2 )

х_,,/2

4 sin 2х

,

4'X-!.~2

-

cos

х Х

liт

.cos х

=

1- .1

liт

__1_ =

Х х_п/2 2 slП ХCOS Х

4

х.....,,/2

2 sin

х

1

l'

1

~

=4·1·"2=8'

3.

liт

arctg 4х .

х.....о

е5х -

1

~

Имеем неопределенность вида

~, которую раскры­

ваем с помощью правила Лопиталя:

liт

arctg 4х

= liт (4/(1 + 16х2») = ..!.

~

х_О е5х -

1

х_О

5е Бх

5

4.

liт (

1

_

3

)

х-О

2- "";4+r

"";16 +х-4 .

~Имеем неопределенность вида 00 - 00. Преобра-

зуем ее к виду ~ :

235

11·	т (1	-	3) = 00	- 00 =
,,-+-О 2 - .y4+r		-V16	+х - 4
	= liт ~-4-6+3....		f4+j =.Q. =
	нО (2-...	j4+r)(.y16+x-4)		.о
= lim ____1..:../...:....(2--.:.y~1_6...:...+_x...:....			)+-'---3X...:.../~.y~4...;+~r___----"'=
,,-+-о _	_ ~(.y16+x-4) +		_~(2- .y4+r) .
	-y4+r		2 -у 16+х
	=	1/8 =	00 ....
		О·	......

5.liт (r2+ЗХ-4)".

х..... "" x-х+З

~Имеем"неопределенность вида 100. Введем обозна-

чение у =( r 2+ 3х- 4)". Тогда
х -х-З
		In r+Зх-4
. liт ln у =	liт	. r-х-З =		.Q. =
х..... ""	х..... ""	I/x		О
r - х - 3 (2х -+ З) (r - х - З) - (2х - 1) (х2 + 3х - 4)
= lim r+Зх-4		(r -х-З)2
х..... ""		_1/x2
= liт (( _х2 (2х3 - 2х2 -6х+зх2 -			3х - 9 - 2х3 - 6х2 +
х..... ""	4)j«(x2 +3х -
+ 8х +х2 + 3х -			4) (х2 -	х- 3))-1 =
=lim	-r(-4r +2x~ JЗ)			= 4.

х"-+"" (r+Зх-4)(r-х-З)

. Так как

Inlim (r+ЗХ-4)"=4,'

х..... оо r- х-З

то

с помощью дифференциала приближенно вычисл):{'Гь

данные величины и оценить допущенную относительную

погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).

6. -vs4.

236

~ Представим данную величину в виде {f84 =

=i/43 +20 и введем функцию y=Vx, где x=xo+L\x;
хо = 64;	Ах= 20. Воспользуемся формулой у(хо +L\x)~
~ у(хо)	+y'(Xo)L\x. Получим:
y(xo)=i!64=4, у'= зW' у'(64)= 3\6 = 4~·
Вычисляем
	.}Г;;-;	20
	-v 84 ~ 4	+ 48 =4,42.

Относительная погрешность

(, = 4,42-4,3 4,42

7. arctg 0,98.

.100 % =2,7 %. ~

~Воспользуемся той же схемой:

У = arctg х,	хо = 1,		L\x = 0,98 -	1 = -0,02,
у(хо) = arctg 1 = :тtj4,
у'= l~r' у'(I) =0,5,		агсtgО,98~:тtj4-0,5.0,02=О,77,
{, _I0,77 -		0,78/	• 100 %-	13 % .....
-	0,77		0 -	о· .....

НД3-6.4

1. Решить следующие задачи.

1.1. Полотняный шатер объемом V имеет форму пря­

мого конуса. Каково должно быть отношение высоты

конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло

наим~ньшее количество полотна? (Ответ: -(2.)

1.2. В равнобедренный треугольник с основанием а

иуглом при основании а вписать параллелограмм

наибольшей площадью так, чтобы одна из его сторон

лежала на основании, а другая на боковой стороне

треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.

(Ответ: а/2 и aj(4 COS а).)

1.3.Найти соотношение между радиусом R и высотой

Нцилнндра, имеющего при данном объеме V наимеиь­

шую полную поверхность. (Ответ: Н = 2R.)

1.4. Требуется сделать коническую воронку с обра-

237

зующей, равной 20 см. Какой должна быть высота ворон­

ки, чтобы ее объем был наименьшим? (Ответ: 20-/3/3 см.)

1.5. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.

Каково должно быть его основание, чтобы объем тела,

образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим? (Ответ: р/2.)

1.6. Найти высоту конуса наибольшего объема, кото­ рый можно вписать в шар радиусом R. (Ответ: 4R/3.)

1.7. Проволокой, длина которой 1 м, необходимо ого­

родить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Ка­ ким должен быть радиус круга, чтобы площадь клумбы

была наибольшей? (Ответ: 1/4 м.)

1.8.Определить наибольшую площадь прямоугольни­

,{а, вписанного в полукруг радиусом а. (Ответ: а2.)

1.9.Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного ко­

нуса, диаметры оснований которого равны 2 м и I м.

Требуется вырубить из бревна балку с квадратным попе­

речным сечением, ось которой совпадала бы с осью

бревна, а объем был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки? (Ответ: длина балки 40/3 м, сторона

поперечного сечения 2-{2/з м.)

1.10. С корабля, который стоит на якоре в 9 км от бере­ га, нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км

от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость по­ сыльного при движении пешком - 5 км/ч, а на лодке - 4· км/ч. в каком месте он должен пристать к берегу, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? (Ответ: в 3 км

от лагеря.)

1.11. Полоса жести шириной а, имеющая прямо­ угольную форму, должна быть согнута в виде открытого кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение

имело форму сегмента. Каким должен быть центральный

угол <р, опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы

вместимость желоба была наибольшей? (Ответ: <р = :n.) 1.12. Из круглого бревна диаметром d надо вырезать

балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ши­ рина Ь и высота h этого сечения, чтобы балка, будуч'И горизонтально расположенной и равномерно нагруженной,

имела наименьший прогиб? (Величина прогиба обратио

пропорциональна произведению ШИРИНf:tI Ь поперечного

сечения и куба высоты h.)	(Ответ: Ь = d/2, h = d-УЗ/2.)
1.13. Стоимость железнодорожной перевозки груза на
I км (АВ) равна k 1 р., а	автомобильной (Ре) - k 2 р.

238

(k. <:: k2 ). В каком месте Р надо иачать строительство

шоссе, чтобы возможно дешевле доставлять груз из

пункта А в С? Известно, что 'АВ' = а, ,ВС, = Ь

(рис. 6.15). (Ответ: на расстоянии а -	k.b	от точ-
	. -Vk~-k~

ки А.)

А

Рис. 6.15

1.14. Человеку нужно добраться из пункта А, находя­

щегося на одном берегу реки, в пункт В на другом ее

берегу. Зная, что скорость движения по берегу в k раз

больше скорости движения по воде, определить, под каким

углом человек должен пересечь реку, чтобы достнчь пунк­

та В в кратчайшее время. Ширина реки h, расстояние

между пуиктами А и В (вдоль берега) равно а. (Ответ:

тах (arccos (l/k), arctg (h/a».)

1.15. На прямолинейном отрезке АВ, соедиияющем два источника света: А (силой р) и В (силой q), найтн точf<y

М, освещаемую слабее всего, если 'АВ' = а. (Освещен­

ность обратно пропорциональна квадрату расстояния от

источника света.) (Ответ: на расстоянии аVP от тоЧ-

W+~

ки А.)

1.16. Лампа висит над центром круглого стола ра­ диусом г. При какой высоте лампы над столом освещен­ ность предмета, лежащего на его крае, будет наилучшей? (Освещениость прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату

расстояния от источника света.) (Ответ: r/-{i.)

1.17.Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тоТ, у которого боковая поверхность наибольшая. Высота конуса Н, радиус основания R. (Ответ: радиус

основания цилиндра R/2. высота Н/2.)

1.18.Из бумажного круга вырезан сектор. а изостав­

шейся его части склеена коническая воронка. Какой угол

2э9

должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем ВОРОНКИ

был наибольшим? (Ответ: 2л-.J2/3.)

1.19. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, у которого объем наибольший. (Ответ: радиус

основания конуса -у S	,высота _ /s(зл-l) .)
л-ГЗ	v	л-ГЗ

1.20. Пункт В находится на расстоянии 60 км от же­

лезной дороги. Расстояние по железной дороге от пунк­

та А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию,

от которой проложат шоссе к пункту В, чтобы затрачивать

наименьшее время на передвижения между пунктами

А и В, если скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе - 20 км/ч. (От­

вет: 25 км.)

1.21. Канал, ширина которого а м, под прямым углом впадает в другой канал шириной Ь м. Определить наиболь­

шую длину бревен, которые можно сплавлять по этой

системе каналов. (Ответ: (а2/З + Ь2/З)З/2 м.)

1.22.Найти высоту прямого кругового конуса наимень­ шего объема, описанного около шара радиусом R.

(Ответ: 8R.)

1.23.При каком наклоне боковых сторон равнобедрен­

ной трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые

стороны равны Ь, а меньшее основание а. ( Ответ: cos qJ =

=(-.Ja2 +8b 2 -а)/(4Ь).)

1.24. Из фигуры, ограниченной кривой у = з-..г;с и пря­

мыми х = 4, У = О, вырезать прямоугольник наибольшей площадью. (Ответ: S = 9,22.)

1.25. Равнобедренный треугольник, вписанный в

окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, кото­

рая проходит через его вершину параллельно основанию.

Какой должна быть высота этого треугольника, чтобы

тело, полученное в результате его вращения, имело наи­

больший объем? (Ответ: 5R/3.)

1.26. Требуется изготовить открытый цилиндрический

бак вместимостью v. Стоимость 1 м2 материала, из кото­

рого изготавливается дно бака, составляет Р, р., а стои­

мость 1 м2 материала, идущего на стенки бака,- Р2 р.

При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты

на материал будут минимальными? (Ответ: Р2/Р,.)

1.27. Сосуд с вертикальными стенками высотой Н, на-

240