RI_OCR[4]

(Ответ: а) Хl =Х2 =Хз = -1; б) Хl = 1, Х2 = -1, Хз = 2.)

2. Решить системы уравнений, используя формулы Крамера:

								2Хl +3Х2	+8Х4= О,
		2Хl +Х2ХЗ= О,						Х2-ХЗ+3Х4= О,
а)	{		3Х2+4хз=-6, б)					{Хl	хз+2Х4= 1,
			Хl	+ ХЗ= 1;					+ Х4= -24.
(Ответ: а) Хl = 1, Х2= -2, хз=О; б) Хl =									-19, Х2=26,
Хз = 11,			Х4 = - 5.)
3. Решить				системы		методом Жордана - Гаусса:
	{		3Хl - 2Х2 + Хз -				Х4 = О,
а)			3Хl - 2Х2 -		Хз	+	Х4 = О,
			Хl -	Х2 +	2хз +5Х4 = О;
			4Хl + 2Х2 - 3хз +2Х4 = 3,
б)		2Хl + 3Х2 - 2хз				+3Х4 = 2,
	{		3Хl + 2Х2 - 3хз			+ 4Х4 = 1.
(Ответ: а) Хl =				14/, Х2 = 2lt, Хз = Х4 = 1(1 -					любое число);

б) xl=-101+10, x2=1, хз=-I6t+15, Х4=4-Бt

(t - любое число).)

4. Исследовать систему уравнений на совместность

ив случае совместности решить ее:

2Хl +5Х2	-	8хз =	8'}
4Хl +3Х2 - 9хз =			9,
2Хl +3Х2 - 5хз = 7,
Хl + 8Х2	-	7Хз =	12.

(Ответ: Хl =	3, Х2 = 2, Хз =		1.)
5. Решить однородную систему уравнений:
	Хl +2Х2 + 4хз -			3Х4 = О,}
	3Хl	+ 5Х2 +	6хз -	4Х4 = О,
	4Хl	+5Х2 -	2хз +	3Х4 = О,
	3Хl	+8Х2 + 24хз - 19Х4 = о.
(Ответ: Хl =	8хз -7Х4, Х2 =		-6хз + 5Х4.)

Самостоятельная работа

1. Решить систему	уравнений матричным способом
и сделать проверку:
2Xl-	Х2+		5ХЗ=4,}
3х\ -	Х2	+	5хз = О,
5Хl +	2Х2	+	13хз = 2.

31

2. Решить систему по формулам Крамера и сделать

проверку:

Хl - 2Х2 - Хз =		- 2, }
2Хl - Х2	=	-1,
Х2	+ХЗ= -2.

3. Решить систему методом Жордана - Гаусса и сде­

лать проверку:

Хl-4Х2+3ХЗ= -22,}
2Хl +3Х2 +5хз =	12,
3Xl- Х2-2хз=	О.

1.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 1

ИД3-1.1

1. Для данного определителя 11 найти миноры и

алгебраические дополнения элементов ai2, аЗj. Вы­

числить определитель 11: а) разложив его по элемен­ там i-й строки; б) разложив его по элементам j-ro столбца; в) получив предварительно нули в i-й CTp~Ke.

1.1.		1				1	-2			О		1.2.	2		О	-1	3
		3				6	-2			5			6		3	-9	О
		1				О		6		4'				О	2	-1	3		'
		2				3		5	-1				4		2	О	6
						i =	4,	j =	1.					i=3, j= 3.
1.3.					2	7		2		1		1.4.			4 -5 -1			-5
					1 1 -1					О	,		-3 2 8 -2
					3	4		О		2					5	3	1	3
					О 5 -1 -3								-2 4 -6 8
						{=4,		j= 1.							i= 1, j=3.
1.5.				3			5		3	2		1.6.		3	2	О	-5
				2			4		1	О	,			4	3	-5			О	,
				1 -2					2 1					1 О		-2		3
				5			1	-2		4				О	1	-3		4
						{=2,		j=4.							i =	1, i = 2.
1.7.			2			-1		2		О		1.8.			3	2	О	-2
			3				4	1		2	,					-1	2	3
			2			-1		О		1					4	5	1			О
			1				2 3 -2							-1		2 3 -3
						i= 2,		j =	3.						i =3, j		= 1.

,

,

32

1.9.			О	4		1		1						1.10.				О		-2		1				7
	-4 2 1							3			,					4 -8 2 -3												,
			О 1 2 -2													10				1 -5 4
			1 3 4 -3													-8 3 2 -1
		i.=4,			j=3.													i=4,			j=2.
1.11.		5		-3		7	-1							1.12.			~		-1			1				5
		3		2		О		2					,					О		2	-2					3		,
		2		1		4	-6										3			4						2
		3	-2			9		4									4			1					-2
			i=3, j =4.																i	= 1,	j	= 2.
1.13.		1		8		2	-3							1.14.			2		-3		4	1
		3	-2			О		4					,				4		-2		3	2			,
		5 -3 7 -1															3			О 2 1
		3		2		О		2									3		-1		4	3
		3	i= 1,			j=4.												i= 2, j=4.
1.15.						2	3							1.16.			3			1		2
																									О
		4	-1			2	4		,								5			О	-6				1	,
		1 -1 1 1															-2 2					1 3
		4	-1			2	5										-1			3		2			1
		i= 1,			j	=3.												i=3, j=2.
1.17.			-1				О				3									О	4	2
														1.18.		5
		3		2			1	-1										l' -1			2	1
		1		2		-1					3					4				1	2	О
		4		О			1				2					1				1	1
			i= 3,			j	= 1.											i=2, j=4.
1.19.			6		2 -10								4		1.20.			-1		-2		4				1
		-:5 -7 -4 1																2 3 О								6		,
			2 4 -2 -6'															2 -2 1 4
			3 О -5 4															3 1 -2 -1
			;=2, j=3.															i=4, j=3.
1.21.			1	2			3				4			1.22.			-1			1	-2				3
		-2			1 -4						3			,			1			2		2			3		,
			3 -4 -1 2														-2 3
																						1 О
			4 3 -2 -1															2 3 -2 О
			i= 1, j =2.															i	=3,		j=2.

33

1.23.		-1			2 О	4					1.24.				4			2			О
			2 -3 1 1					,							-1		2 1 -1						,
			3 -1 2 4												3 -1 2							1
			2		О 1	3									5		О	4		2
			i=4,		j=4.										i=3,			j=2.
1.25.			4	3	-2	-1					1.26.				3	-5		1		2
		-2 1 -4				3		,							О	1 -1 - 2						,
			О 4		1 -2										3	1 - 3				О
			5	О	1	-1									1	2	-1			2
			i=2, j=3.												i=4,j=l.
1.27.		2	- 2		О	3					1.28.				6	О		-1		1
		3		2	1 -1					,					2 -2			О 1				,
		1		1	-2			1							1	1		-3	3
		3		4	- 4		О								4	1		-1	2
			i=3, j=4.												i= 1,		j	=2.
1.29.		-1		-2 3		4					1.30.				- 4		1		2
																				О
			2		О 1 -1				,						2 -1				2 3			,
			3	- 3
							О								- 3		О		1	1
			4		2	- 2									2		1	-2		3
			i=4, j=4.												i=2, j=2.
2. Даны две матрицы А и В. Найти: а)																	АВ;		б)	ВА;
В) A~l; г)			AA- 1; д} A-1A.												[2 -1 -2]
2.1. А		=		28 --17		--3]					,	В	=
			[- 3			6									3	- 5			4 .
					4			2							1		2		1

2.2. А =	35-6]			13	[2		8-5]
	2	4:	3,		= - 3		-1	О.
	[-3	1	1			4:	5 - 3
2.3. А=[;		-~	-~],	В=[;		~	-~].
	1	О	1.		1	-2	3
2.4. A=[-~ ~			I~].	B=[~		~	~J.
	о	3	7		1	- 3	2

34

2.5. A~[ - :		12]				B~[~		-1			2]
		О		2	,				1		1 .
		2		1					7		1
2.6. А~П	3			-п		B~[;		21		-IJ
	3					. 5					2.
	1							3			О
2.7. А~[~	1		Н			B~[:			о		5]
	7							-~			-; .
	2									Н
2.8. А = [-23		-13 - 41				[3		6
								3
					4, В=		О
-1				2	2		1	9
2.9.А= [-41794,3]						B~[!		9		Н
	032							5
								5
2.IO.A= [2136			Н			B~[-~				О	;]
									-3
О	1									2	-3
2.II.A~[-~		-1			Н	В= 3	4		iJ.
	10			1		["Q 5
				9
2.12. А . [i	1		Н			[ 35
							5		6	-4Ч
	О					В= -3
	1								О
2.13. А~[1	3			--2]		B~[~	5		Н
				1	,		1
2.14. А~[~	4		-1			B~[~	6				~]
	3	Н						3
	2						-1
	3						-2			-1

35

2.15. А~[~				-2		5]		В= [-1~					~}
				О		6 ,						3
2.16. А =			1	3		4					-2		-1
				2						-7		-5]1 .
			[5	4				В~П			2		2
			3	О Н
											4
2.17. А = [34				31 ~].				B~[~			3	П
			2 . 2 -7							-6
											7
		= [85 --15 --1] = [33								2	П
2.18. А			.10			1		,В		2
					3	2			1	О	-3]1 .
2.19.	А~[1			-8		Н		B~[~		4
				-2					2	1	-5
				-7						5
2.20.	A~		[;	-1		П		В=		~		О	2]
				-7								О	2
				5					[-1		-8		5 .
2.21. А~[~				-1		-4]3	,	В= [О5			О		-4]
				-9						-6			4 .
2.22. А~[!				-7		-1			7	-4			1
				5	-1]3 ,			B~[~			2		--6]
				5						-7
													1 .
2.23. А~[~				1		О		B~[~			1		2
						-1]					5	--4]
											О
				-4		1	,						3 .
2.24. A~П				-3		1		B~[i		-3			2
				-8		--4] ,					2		~]
											5
				О		5
225. А~П				1		О		В~П		-1			-3
				-5		Н				2	-Н
				2'						5
				-2						3

.зб

2.26. А = [-3Ь	-5		B~[		:		3	Н
		1 Н		- 4			1
		4					4
2.27. А = [-34	54	П	В~П				27	-1]6 .
-2	3				-1			1
2.28. А = [-3~	2	-3]3 ,	B~[~				4	П
	О	-1			-1
	4				-2
2.29. А =.[-1~	7	П		[ 3О				Н
					1		3
	О
	3		В= -3				1
2.30. А~[~	-4 -4]6 ,		В~П				5	Н
	2	-1			-1
					-1
Решение типового варианта
1. Для данного определителя
			2		О
		-3
д4=		2 -2			4
		4	О	-1	2
		3	1	-1	4

найти миноры и алгебраические дополнения элементов a12, аЗ2. Вычислить определитель д4: а) разложив его по

Э.lемеfпам первой строки; б) разложив его по элементам второго столбца; в) получив предварительно нули в пер­ вой строке.

~ Находим:

			4
		-1 2 =-8-16+6+12+
		-1	4
		+4-16= -18,
	-3	1
			О
МЗ2 =	2	1	4	= -12+ 12-12-8= -20.
	3	-1	4

37

Алгебраические дополнения элементов a12 и аЗ2 соот­

ветственно равны:

		A 12 =(-1)1+2M 12 =					-(-18)= 18,
		АЗ2 =( _1)3+2 МЗ2 =					-	(-20) = 20.
а) Вычислим
		д4 = a 11 A l1 + a12A 12 + аlзА 1з + a14A 14 =
= - 3		- 2	1 4		2		1 4		2	- 2	4
		О -1		2	- 2 4	-1		2	+ 1 4	О 2		-
		1	-1	4	3	-1		4	3	1	4

= -3(8+2+4-4)-2(-8-16+6+ 12+4-16)+

				+	(16 -		12 -	4 + 32) = 38;
6) Разложим определитель по элементам второго
столбца:
			2 1 4				- 3	1 О		-3 1 О
д4 = - 2			4 - 1 2 - 2				4 - 1 2 + 1			2	1 4		-
			3 -1 4				3 -1 4			4 - 12
=	- 2 ( -			8 +	6 -	16 + 12 + 4 -			16) -	2 (12' +	6 -
	-			6 -	16) +	( -	6 +	16 -	12 - 4) = 38;
В)	Вычислим д4, ПОЛУЧИВ предварительно нули в пер­
вой строке. Используем							свойство		10 определителей (см.

§ 1.1). Умножим третий столбец определителя на 3 и при­ бавим к первому, затем умножим на - 2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одно­ го, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

- 3 2 1 О О О 1

	д4=	2	-2	1	4	-	5 - 4 1
		4	О	-1	2		1	2 - 1
		3	1	-1	4		О	3 - 1
		5	- 4	4		О	-14	- 6
		- 1	2	2		1	2	2 -
		О	340				3	4

=- ( -56 + 18) ~38.

вопределителе третьего порядка получили нули в

первом столбце по свойству 10 определителей. ~

38

2. Даны две матрицы:					12-3]
А=	-4		О l]
	[	3	2 2		[-2	1	3
~ а) Произведение АВ				имеет смысл, так как число

столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Нахо­
ДИМ матрицу С =	АВ, элементы которой Cij = ai\b 1j	+
+ ai2b2j + аiЗЬЗj +	... + ainbnj. Имеем:

С=АВ=[-~ -~ ~] [					~ ~ -~]=
		3 2	2		-2	1	3
= [	- 4+0 - 2 -8+0+1				12+0+3]
	2 - 2 - 6	4+0+3			- 6- 1+9 =
	3+4-4	6+0+2			-9+2+6
		=	--	66	-;	I~J;
			[	3	8	-1
б)	Вычислим
	ВА= [	~ ~ -311 [-42 -1О					3l] =
	-2 1		3		322

= [--95. -82 1]4 .

19 5 7

Очевидно, что АВ =1= ВА;

в) Обратная матрица А- 1 матрицы А имеет вид (см.

формулу (1.11))

39

где

	- 4	о	1
detA =	2	-1	3	=8+4+3+24=394=0,
	3	2	2

Т. е. матрица А - невырожденная, и, значит, существует

матрица А -1. Находим:

AII=I-~ ~1=-8, A21=-I~ ;1=2,

АЗ1 = 1_~ ~ 1= 1,

AI2=-I~ ~1=5,							A22=1-~					;1=-11,
		АЗ2 = -					- 4	11
					1		2	3		=	14,
	А1з=1~ -; 1= 7,						А2з=-1-: ~ 1=8,
			Азз =		-4			01		=4.
				1			2	-1
Тогда
			7		8 I:]~						8	2	1
											7	8	4
	1	Г	8		2					-	39	- 39	39
			5 -11							-	39	- 39	39
A- =.-!..39
											5	11	14
											39	39	39
г)	Имеем:
	=[-4~						8		2		1
						-	39		39		39	~[~	1~1~E;
АА-1		-1					39		39		39
			2i]				7		8		4		О
			О				5		11		14		О
							39		39		39

4С