RI_OCR[4]

2.20.

а)

х2 + 2z = 4,

Oz;

б)

х = 3, z = -1,

Оу.

2.21.

а)

15х2 - 3у2 =

1,

Ох;

б)

х = 3,

у = 4,

Oz.

2.22.

а)

у2 = 5z, Oz;

б)

3х2

+

7у2 = 21,

Ох.

2.23.

а)

15у2 - х2 = 6,

Оу;

б}

У = 5,

z =

2, Оу.

2.24.

а)

5z = _х2 , Oz;

б) 3у2

+

18z2

= 1,

Оу.

2.25.

а)

Зх2 - 8у2 = 288,

Ох;

б)

х = 5,

z = -3,

Оу.

2.26.

а)

2у2 = 72, Oz; б)

6у2

+

5z2 =

30, Оу.

2.27. а)

5х2

_7у2 = 35,

Ох;

б)

х = 2, ~ =

-4,

Oz.

2.28. а)

3х2

= -2z,

Oz;

б)

8х2

+ llz

= 88,

Ох.

2.29. а) 5y2_8z2=40, Oz; б) ~=3, z=l, Ох.

2.30.

а)

3х2

= -4у,Оz;

б)

4х

+3z2=

12, ·Oz.

3. Построить тело, ограниченное указанными поверх­

ностями.

3.1. a~ Z=X2+y2, z=O, х=l, у=2, х=о, у=О;

б) х2 +

У = 2х, z = о, z = х.

3.2. а) X2+y2=Z2,Z=0,y=2x,y=4x,x=3 (z>O);

б) х2 +

у2 = 4у, z = о, у

+ z = 5.

3.3.

а)

у2

+ Зz2 = 6,

Зх2 - 25у2 =

75,

z ~ о; б) х = 4,

У =

2,

х

+ 2у

+ 3z = 12,

х = о, у = о, z ~ О.

3.4.

а) z=5y, х2 +у2= 16,

z=O; б)

x+y+z=5,

3х+у=5, 2х+у=5, у=О, z=O.

3.5.

а}

у = 3х, у = о,

х = 2,

z = ху, z =

о; б)

8(х2 +

+

у2) =

Z2,

х2

+у2 = 1, У ~ о, z ~ о.

3.6.

а}

У=Х, у=О, Х= 1, z=x2+5y 2, z=O; б) х2 +

+ у2 + z =

9, х2 +у2 ::;;;;

1,

х ~ о.

3.7.

а}

y=X у=О,

Х= 1,

z=-"ГхУ,

z=O; б)

х2 +

+y2+ Z =4, хi +y2=Z2, x~O, z~O.

3.8.

а)

y=2x,y=0,x=2,z=xy,z=0; б) х2

+у2=

=Z2, х2 +у2 = 1, У ~ о, z ~ о.

3.9.а) z=x2+3y 2, z=O, У=Х, у=О, Х= 1; б) Z=

=8(х2 +у2)+3, z= 16х+3.

3.10.а) у=4х, у=О, х=l, z=-j;Y, z=O; б) z=

=З-Vх2 +у2, Z = 2 _ х2 _ у2.

3.11.а) f!.=x,y=O,x= l,z=3x2+2y 2,z=0; б) z=

=10(х2 +у)+ 1, z= 1-20у.

3.12. а) У=Х, у=О, х=l, z=-j;Y, z=O; б) у=

=16-,j2;, У =-,j2;, z = о, х + z = 2.

3.13.а) У=Х, у=О, х· 2, z=O; б) х+у=2, Х=

=-vY, z=2x, z=O.

3.14.а) 2Z=X2+y2, z=O, х=2, у=3, х=о, у=о;

+у2 = 4х, z = о, z = х.б

141

3.15. а) х		2	+у	2	2	•	z=O,	у=х, у=8х, х=2,
					=4z,
z> о; б) х2	t		у2 = 8у, z = о, у + z = 6.

3.16. а) у +4г2 =8, 16x2-49y2=784,z~0; б) х=

=1, у = 3, 20, х = о, у = о, z ~ О.

3.17.а) z=3y ,X2+y2=4,z=0; б) x+2y+3z=6,

2х=у, 2х+3у=6, у=О, z=O.

3.18.а) ~=4x, у=О, Х= 1, z=xy, z=O; б) 4(х2 + +y2)=Z2, Х +у2=4, y~O, z~O.

3.19.а) у=2х, 2+y2, z=O; б) х2 +у2 + Z2 = 16, +у2 ::;;;; 4, х ~ О.х + 5~ + 10z =у=О, х=2, z=2xх2

.

_~

б) х

2

+

3.20. а) у=4х, у=О, х=4,

z=-yxy, z=O;

+y2+ Z2=9, X2+Z2=y2, x~O, y~O, z~O.

3.21. а)

у=3х, у=О, х=3, z=xy, z=O; б) 4(х2 +

+ у2).= Z2,

4(х2 +у2) = 1,

у ~ о, z ~ О.

3.22. а)

z=16x2 +y2,

z=O, у=2х,

у=О,

x=l;

б)

z -

4 =

6(х2 +у2), Z =

4х + 1.

3.23. а) у=3х, у=О, х=3, z=-ГхУ. z=O; б) z=

=4-Ух2+у2, z=5 - r - y 2.

z = х2 +у2, Z =

3.24. а;

у = 3х, у = о, х =

2,

о;

б)

z -

-

2 = 6(х

+у2), Z =

1 -

4у.

3.25. а)

у = 2х,

у = о,

х =

4,

z =-ГхУ. z = о;

б)

х +

+у=2, y=-Vx, Z2= 12g, z=O, х=о.

.

3.26. а)

z = 2х + 3у , z =

о, х = 2, у =

1, х = о, у = о,

б) х2 +у2 = 6х, z = о, z = 2х.

.

3.27.

а)

4(х2 +у2) =Z2,

Z =

о, у=х,

у =

4х,

х =

= 2(z > о);

б) х2 +у2 =

4у,

z = о, у + z = 6.

3.28.

а)

2y2+ Z2=4,

3х2

-8у2=48, z~O; б) Х= 1,

У =

3, х

+ 2у +4z =

24,

х =

о, у = о, z ~ О.

3.29. а) Z=3 y 2, х2 +у2=9, z=O; б) х+у+ z=8,

х+2у=4, х+4у=4, у=О, z=O.

3.30.а) у=5х, у=О, х=3, z=O; б) 4(X2+y2)=Z2,

х2 +у2 = 4, У ~ о, z ~ О.

Решение типового варианта

1. Построить данные поверхности и определить их вид

(название) :

а)	х2	1 2	-2 =0; б) 3х2	у2 Z2
	- 6 +4у2	+2 z		+т - 4=0.

•а) Приведем уравнение к каноническому виду

х2	у2	Z2
- \2	+ 1/2	+4 = 1.

142

Получили уравнение гиперболоида, расположенного так, как показано на рис. 4.21; полуоси его «горлового» эJl-

липса ОБ =-/2/2, ОС = 2;

б) Приведем уравнение к каноническому виду

~+L-~=o.

1 6 12

Это уравнение конуса второго порядка, ориентирован­

ного указанным на рис. 4.22 образом. Его сечения плоско­

стями z = сопst являются эллипсами. ....

2. Записать уравнение поверхности, полученной при

вращении:
1)	параболы z =			-	-} у2: а)	вокруг оси Оу;	б)	вокруг
оси Oz;
2)	эллипса	у2		г2	= 1: а)	вокруг оси Oz;	б)	вокруг
		64	+ 4

оси Оу.

•1. В соответствии с общим правилом получения

уравнения поверхности вращения (см. § 4.2) находим:

a)+-Vx2 + z2 = _-}у2, 4x2-у4+4z2=О

(алгебраическая поверхность четвертого порядка (рис.

4.23» ;

б)		Z= _-}(+-VХ2+у2)2,		z= _-}(х2 +у2)
(параболоид вращени~ (рис. 4.24».
2.		Имеем:
		- ~+2\2	2	2	2	2
а	)	(± -УХ--ГУ-}	+~ = 1	~ +JL +~ = 1
		64	4'	64	64	4	.

Получили сплюснутый вдоль оси Oz эллипсоид вращения

(сфероид), полуоси его		главных		сечений	ОА = ОБ = 8,
ОС = 2 (рис. 4.25);
2	( _ ~+2\2	=	2	2	2
б) ~ +	±-ух--гг-}		1 ~ +~ +..:.. = 1
64	4		'4	64	4

(вытянутый вдоль оси Оу эллипсоид вращения (рис. 4.26):

ОА = ОС=2, ОБ = 8) .....

3. Постро~ть тело, ограниченное данными поверхно-

стями:

а) у=х, Х= 1, z=O, z=xy;

б) х+у=4, x=-,j2Y, 3x=2z, z=O .

•а) Построение выполнено на рис. 4.27: ОС - дуга

143

z

у

у

х

Рис. 4.21

Рис. 4.22

z

о

у

у

Рис. 4.23

Рис. 4.24

z

у

хРис. 4.25

z

В

У

х

Рис. 4.26

z

С

у

х

Рис. 4.27

у

Рис. 4.28

параболы, являющейся пересечением гиперболического

параболоида z = ху с				плоскостью х = у; Ас -			пересече­
ние	поверхности		z = ху с		плоскостью	х = 1;	А (1,	о, О),
8(1,	1, О),	С(I, 1,	1) -	характерные точки тела;
б) Построение выполнено на рис.						4.28:	ОС -	дуга
параболы,		являющейся			пересечением	параболического

145

цилиндра с	плоскостью 2z = 3х; А(2, 2, О), В(О, 4, О).
С(2, 2, 3) -	характерные точки тела.....
4.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 4
1. Через	точку А(7/2, 7/4) провести хорду	эллипса
х2 +4у2 = 25, делящуюся в этой точке пополам.		(Ответ:

х+2у-7=0.)

2. Доказать, что парабола обладает так называемым

оптическим свойством: луч света, выйдя из фокуса и от­ разившись от параболы, пойдет по прямой, параллельной

оси параболы.

Через точку А(4, провести хорду гиперболы х2

3.. 4) '3 -

-~2 = 1, делящуюся в этой точке П,ополам. (Ответ: 4х-

-3у-4=0.)

4. Найти радиус наибольшей окружности, лежащей

внутри параболы у2 = 2рх и касающейся этой параболы

вее вершине. (Ответ: R = р.)

5.Составить уравнение гиперболы с асимптотами

-Гзх + у = О, касающейся прямой 2х- у - 3 = О. ( Ответ:

х2	у2_)
9 -27-1.
6.	Составить уравнение касательной к параболе у2 =
= -	8х, отрезок которой между точкой касания и директ­

рисой делится осью Оу пополам. (Ответ: х + у - 2 = О

или х-у-2=0.)

7. Доказать, что все треугольники, образованные

асимптотами гиперболы и произвольной касательной к

ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь

через полуоси гиперболы. (Ответ: аЬ.)

8. СQставить уравнения касательных к параболе у2 = = 16х, проходящих через точку А(1, 5), и вычислить пло­

щадь треугольника, образованного касательными и ди­

ректрисой параболы. (Ответ: х - у +4 = О, 4х - У + 1 =

= О, S = 37,5.)

9. Источник короткоинтервальноtо звука находится в неизвестном пункте М. Звук достиг трех наблюдатель­ ных пунктов HeOДHOBp~MeHHO: пункта А.- на t1 с позже, а пункта С - на t2 с позже, чем пункта В. Определить

местонахождение пункта М, приняв скорость звука равной

330 м/с. (Ответ: М находится на пересечении правой

146

ветви гиперболы IАМ I -	Iвм I = ззоtI		м с фокусами А
и В и левой ветви гиперболы		IBMI -	ICMI =	-330t2 М
С фокусами В и С.)
10. Цепь подвесного	мосТа имеет		форму	параболы
у = рх2• Длина пролета моста -		50 м, а прогиб цепи - 5 м.

Определить величину угла а прогиба в крайней точке моста. (Ответ: tga=0,4, a~21°50'.)

11. Зеркальная поверхность прожектора образована

вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр

зеркала 80 см, а глубина его 20 см. На каком расстоянии

от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он дол­ жен быть в фокусе параболы? (Ответ: 40 см.)

12. Даны точКа О и прямая 1, находящаяся от точки О на расстоянии IОА I = а. Вокруг точки О вращается луч,

пересекающий прямую 1 в переменной точке Р. На этом

луче от точки О откладывается отрезок ОМ так, что

IOPI· IOMI = Ь2• Найти уравнение линии, которая описы­

вается точкой М при вращении луча. Ура,нение записать

в полярных., декартовых координатах. \ Ответ: окружность: р = -Ь2 cos 'Р, х2 +у2 = -Ь2 х.)

аа

13.Записать параметрические уравнения линии пере-

сечения	сферы	х2 +у2 +Z2 = R2 И	круглого цилиндра
х2 +у2 -	2х = О,	выбирая в качестве	параметра угол 'Р,

ной точки М линии на плоскость Оху с						--
направлением	оси	Ох.	(Ответ:		х =	R COS 2 1P,		У =
= R siп IP COS 'Р,	z = R siп 'Р, о::;;;; IP < 2л:.)
14. Найти уравнение проекции линии пересечения по­
верхностей х2 t 2у2 =		2z	и х	+ 2у +z =		1 на	плоскость
ОХУ. (Ответ: х	+ 2у2	+2х + 4у - 2 =			О.)		х2 + 2у2 -
15. Найти	центр	сечения		гиперболоида
- 4z2 = - 4 плоскостью			х + у +2z = 2.			(Ответ:		(4, 2,

образованный проекцией радиуса-вектора ОМ произвольположительным

-2).)

16.Найти уравнение плоскости, пересекающей эллип­

+2у2 +4z2= 9 по эллипсу, центр которого нахо­

+4у +4z - 21 = О.)дитсясоид

17. Найти уравнение ПЛОС,кости, проходящей через

точки М(I, 1, 1)	и N(2, О, 2) и пересекающей параболоид
х2 - у2 = 2z по	паре прямых. (Ответ: Зх +у - 2z - 2 =
=0.)
18. Найти уравнение эллипсоида,		содержащего точку
М(З, 1,1) и окружность X 2 +y2 +z2		=9, x-z=О, пло-

147

скости симметрии которого совпадают с плоскостями ко­

ординат. (Ответ: зх2 +4у2 +5z2= 36.)

19.	Найти координаты центра и радиус				окружности
х2 +у2	+Z2 _ 12х +4у - 6z +24 = О, 2х +				2у +z + 1 =
= о. (Ответ: (10/3,		14/3, 5/3), R = 3.)
20.	Доказать,	что	линия	пересечения	параболоида
х2 + 2у2 = 4z + 10		и	сферы	х2 +у2 +Z2 = 6 состоит из

двух окружностей. Найти точки пересечения этих окруж-

ностей и их	радиусы. (Ответ: м.(-{2, О, -2), м2(.--{2,
О, -2), R =	2.)

5. функции. ПРЕДЕЛbI. НЕПРЕРblВНОСТЬ функций

5.1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СПОСОБЫ

ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

Совокупность рациоиальных Q и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел R. Между множе­

ством точек прямой и множеством R всегда можно установить взаимно

однозначное соответствие. Если это соответствие установлено, то прямую иазывают числовой осью. Совокупность всех чисел х, удовле­ творяющих условию а < х < Ь (a:S;;;; x:S;;;; Ь), называется интервалом (от­

резком) и обозначается (а; Ь) аа; bD.

А40дулем (абсолютной величиной) действительного числа а назы­

вают неотрицательное число lal, определяемое условиями: 'аl =а, если

а ~ О, и 'аl = -а, если а < О. ДЛЯ любых действительных чисел а и Ь

верно неравенство la+bI:S;;;; 'аl + Ibl.

Если каждому элемеиту х Е D по определенному правилу f поставлен

в соответствие единственный элемент У, то говорят, что задана функция

У = НХ), где х называется независимой переменной или аргументом. Множество D называется областью определения фун/СЦии, а множество значений, принимаемых функцией У, называется областью ее значений (изменения) и обозначается буквой Е. В дальнейшем будем считать множества D н Е числовыми, т. е. будем рассматривать числовые фуикции (если не оговорено противное). В качестве D и Е могут быть

взяты отрезок [а; Ь), интервал (а; Ь), полуинтервал (а; Ь) или [а; Ь),

отдельные точки числовой оси, а также вся числовая ось ( - 00; + 00). Основными способами задания функций являются: табличный, гра­

фический, аналитический. При аналитической записи функции У = f(x) часто не указываются области D и Е, но они eCTecTl;leHHblM образом определяются из свойств функции ,(х).

Пример. Найтн области определения и значений функции у =

=Ig (4 -3х-х2).

~Логарифмическая функция определена, если 4 - 3х - х2 > О.

Корни квадратного трехчлена: Хl = -4, Х2 = 1. Записанное выше нера­
веиство равносильно неравенству - (х + 4) (х -				1) > О, что возможио
при х> - 4 и	х < 1.	Область	D определения	данной	функции есть
.интервал (-4;	1). Так	как в	D 0<4 - 3х- x2 :s;;;; 7/4,		то интервал

( - 00; Ig (7/4» - область значений функцни Е. ~

Если функцня У = Нх) осуществляет взаимио однозначное отобра­ 'жение области D на область Е, то можно однозначно выразить х

через у: х = е(у). Последняя функция называется обратной по отноше­

нию к функции У = f(x). Для функции х = е(у) Е является областью

определения, а D - областью значеннЙ. Так как g(f(x» == х и '(е(у» = У,

то функции у = f(x) и х = е(у) - взаимно обратные. Обратную фуикцию

х = е(у) обычно переписывают в стандартном виде: у = е(х), поменяв х

149

и у местами. Взаимно обратнымн ЯВJIяются пары функций: у = хЗ

и у = v;,	у = 2Х	и	У = IOg2 Х, У = sin х н у = aгcsin х, для						которых
области определения			соответственно		следующие: х Е (- 00;				+ 00)		и
х Е (- 00 ;	+ 00),	х Е (- 00 ;		+ 00)	и	х Е (О;	+ 00), х Е (-	00;		+	00 )
их Н-1; +1].						.
Если функция		и = <р(х) определена				на области D, G -		ее область
значений,	функция у = {(и)			определена на области а, то					функция
у = ((<р(х)) = F(x)		называется сложной функцией, составленной из
функций { н <р, или функцией f от функции <р. Функцию								У =		{(<р(х))
называют	композицией двух			функций		у = {(и) и и = <р(х).			Сложная

функция может быть композицией большего числа функций: трех; че­
тырех и т. Д. Например, Функция у = cos (х2 + 1) -		композиция двух
функций у = cos и и и =;? + 1;	функция У = Ig (siп 2Х) -		композиция
трех функций у = Ig и, и = siп и,	и =~, а функция	у = Ig (siп 2-<')-
композиция четырех функций у = Ig и, и = sin и, и = 2"',			w = хЗ • Пере­

менные величины и, и, W называются промежуточными аргументами.

Функции внда у = ((х) называются явными. Уравнение вида F(x, у) = О также задает, вообще говоря, функциональную зависи­

мость между хну. В этом случае по определению у является неявной

функцией х. Например, уравнение уЗ +хЗ = 8 определяет у как неявную

функцию от х.

Графиком функции у = ((х) называется множество точек М(х, у)

плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют функциональной

зависимости у = {(х). Графнкн взаимно обратных функций у = ((х)

и у = g(x) симметричны относительно бнссектрисы х = у.

к основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмнческне, тригонометри­ ческие и обратные тригонометрические.

АЗ-5.1

1. Найти области определения следующих функций:

а) у=";х2 -6х+5; б) y=arccos I~X;

в) У =';25 - х2 + Ig sin х.

(Ответ: а) (-00; I]U[5; +00); б) [-1/3; 1]; в) [-5;

-n)U(О; n).)

2. Представить сложные функции в виде композиции

функций, являющихся основными элементарными функ­

циями:
а)	у = 2sin 'ух;	б)
			У = -V1g sin"x3		;
в)	y=tg Vlgx;	г)	y=arctgW

3. Построить графики функций:

а) у=(2х+3)/(х-l); б) У= 13х+4-х2 1;

в) У= -2 siп(2х +2); г) y=xsinx.

150