RI_OCR[4]

Теперь	ясно, что	rang А = 2,	гапg В = 3.	Согласно
теореме Кронекера -		Капелли, из	того, что	rang А =1=
=1= rang В,	следует несовместность исходной системы. ....
3. Решить однородную систему линейных алгебраиче­
ских уравнений
	2xI - 4Х2 + 5хз =		О,}
	XI + 2Х2 - 3Хз =		О,
	3xI -	Х2 + 2хз =	о.

~ Определитель системы

2 -4 5

дз= 1 2 -3 = II =1=0,

3 -1 2

поэтому система имеет единственное нулевое решение:

XI = Х2 = Хз = о.....

4. Решить однородную систему линейных алгебраиче­

ских уравнений

3xI + 4Х2			-	Хз =	О,}
XI - 3Х2			+ 5хз = О,
4xI	+	Х2+4хз=0.
~ Так как
	3		4	-1
дз=	1	-3		5	=0,
	4		1	4

то система имеет бесчисленное множество решений. По­

скольkу rang А = 2, n = 3, возьмем любые два уравнения

системы (например, первое и второе) и найдем ее решение.

Имеем:

3xI	+4Х2хз=О,}
XI	- 3Х2 + 5хз = о.

Так как определитель из коэффициентов при неизвест­ ных XI и Х2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем XI и Х2 (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с Хз в правые части

уравнений:

3XI + 4Х2 = Хз,	}
XI - 3Х2 = -5хз.

51

Реш аем последнюю систему по формулам Крамера (I.} 7) :

Хl = ~~l)/ ~2, Х2 = ~~2)/ ~2,

где

~2=1 ~ _~ 1= - 9 - 4= -13;

~~l)=1-5:: _~ 1= -3хз+2Охз= 17хз;

ХЗ/ =	-16хз.
-5хз
Отсюда находим, что Хl =	- 17Хз/13, Х2 =	16хз/13. По­
лагая Хз = 13k, где k -	произвольный	коэффициент

пропорциональности, получаем решение исходной си­

стемы: Хl = -17k, Х2 = 16k, Хз = 13k. ....

1.6.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( гл. 1

1.Доказать, что

Хl ХI

Х2 X~ = (Х2 - Xl) (Хз - Xl) (Хз - Х2).

Хз Х5

2. Вычислить определитель n-го порядка:

а) 1

а

О

О

О

1		l+a		а	О		О
	О	1	I+a		О		О
	О	О		О	I+a а
	О	О		О	1		l+a
				1	1	1
б)	х+1
	-1		Х	О	О	О
		О	-1	Х	О	О
		О	О	О	Х	О
		О	О	О	-1	Х

52

в)

а+1 х х

х х

г)

х а а

а

1

а

х

х

х

Ь

х

О

О

О

а

х

х

Ь

О

х

О

........

о

о

а

х

Ь

О

О ...

х

1

2 О

О О

О

е)

1 2 3 1 5

д)

3

8 О

О О

О

О 1 О 5 1

-2

3 2 -1 О

О

2 1 2 3 2 •

7

2 3

2 О

О

О 3 О 1 3

5

-1 3 5 7 -5

3 2 1 3 4

2

3

7

2 2

-1

(Ответ: а)

1; б) (xn+I-I)(х-I); в)

an+(a_X)n-l;

г) ~ - (n -

l)ab~-2; д) 42;

е) 168.)

3. Решить данную систему уравнении при всех возмож­

ных значениях параметра t:

2х- У+ 3г= -7,}

х+2у- 6z=t,

tx+5y-15z=8.

(Ответ;

при

t =1=

-1

и t =1= 5 система

несовместца;

если

t = 5, то х =

-9/5, у =(15a

+

17)/5, z = а;

если t = -1,

то х =

-3,

у =

3а

+ 1, z =

а,

где

а -

произвольное

число.)

4. При каких значениях л однородная система урав-

нении .

-лхl + Х2 + ... +	ХN _ О,}
xl -ЛХ2 + ... +	ХN -о,
..............
XI + Х2+ ••• -	Лхn=О

имеет ненулевые решения? (Ответ: л =n - 1, л = - 1.)

5_ Показать, что если одна из квадратных матриц n-го порядка А и В - особенная, то их произведение

АВ - также особенная матрица.

6. Наити

[~ 2

1 -2

53

7. Решить систему матричных уравнений

х+ У=[Ь ~J.}

2Х+ 3 У= [Ь	~J.
(ответ: Х~p ;]. y~[-~	=i].)

8.Установить число линейно независимых уравнений

вданной системе и найти ее общее решение:

Хl + Х2 -

Хз -

2Х4 -

2xs = О, }

2Хl +3Х2 -2хз -

5Х4 -

4xs = О,

Хl -

Х2-

Хз

-2xs =0,

Хl -

2Х2 -

Хз +

Х4 -

2xs = о.

(Ответ: Хl =

ХЗ + Х4 + 2xs,

Х2 =

Х4.)

9. Привести к каноническому виду уравнение линии

r + у2 +

3ХУ

+ Х

+ 4у =

О

и

указать

соответствующее

преобразование системы координат. ( Ответ:

52

- 2" х' +

+ .!.- у,2 =

1,

Х = _ 2 + х' + у'

, у =

1 + х' - у' .)

2

. j2 - F2

10. Убедиться, что линия,

определяемая

уравнением

9х2 - 6ху

+ у2 - Х - 2у -

14 =

О,

является

параболой.

11. Доказать справедливость равенства

1

1

1

sin (а. - 1\) sin (1\- у) sin (у - а.)

tg а

tg ~

tg у

tg2 а tg2 ~

tg2 У

12. Решить уравнения:

1

3

3

-4

Х

= О; б)

Х

а)

4

5 -1

2

-1

3

=0.

2

-1

5

Х+ 10

1

1

(Ответ: а) =

-3; б) Хl =

-10, Х2=2.)

13. Решить неравенства:

3

-2

1

< 1; б)

2 х+2

-1

а)

1

х -2

1

1

-2

>0.

-1

2

-1

5

-3

Х

(Ответ: а) Х> 3,5; б)

-6<х< -4.)

54

14. Доказать, что если система уравнений

а1Х + Ь1У + C1Z + d 1 = О,}
а2Х + Ь2У + C2Z + d 2 = О,
азх + ЬзУ + СзZ + dз = О,
а4Х + Ь4У			+ C4Z	+ d 4 = О
совместна, то
	а1	Ь1	С1	d 1
	а2	Ь2	С2	d 2	=0.
	аз	ЬЗ	СЗ	dз
	а4	Ь4	С4	d 4

15. Исследовать данную систему уравнений и найти ее

общее решение в зависимости от значения параметра л:

5Х1 -	3Х2 +	2хз +	4Х4 = 3, }
4Х1 -	2Х2 +	3Хз +	7Х4 = 1,

3ХI-6Х2- Хз5Х4=9, 7ХI-3Х2+7хз+ 17Х4=Л.

(Ответ: при л =1= О система несовместна; при л = О система совместна и ее общее решение: Х1 = (-5хз - 13Х4-

-3)/2, Х2 = (-7хз - 19Х4 - 7)/2 . )

16.Указать, при каких л данная система уравнений

имеет решения или несовместна:

ЛХ1+	Х2+	Хз+	X4=1'}
Х1 + ЛХ2 +		Хз + Х4 = 1,
Х1 +	Х2 +	лхз +	Х4 =	1,
Х1 +	Х2 +	Хз + ЛХ4 =		1.

(Ответ: если л = -3, то система несовместна; если л =1= 1,

л=l=-3, то Х1=Х2=ХЗ=Х4=1/(л+3); если л=l, то

4

решения определяются одним уравнением ~ Xj = 1.) i=1

17. Найти решения системы при всех значениях л:

ЛХ1	+	Х2+			Хз=О,}
Х1	+ ЛХ2		+		Хз = О,
Х1	+	Х2	+	лхз = О.
(Ответ: если (л + 2) (л -		1) =1= О,			то	Х1 =		Х2 = Хз = О; если
л = - 2, то Х1 = Х2 =	Хз;	если		л =		1,	то	решения опреде­
ляются одним уравнением Х1 +					Х2 +		Хз = О.)

18. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы сумма двух решений системы линейных урав-

55

нений также была ее решением. (Ответ: однородность

системы.)

19. Найти необходимые и достаточные условия для то­

го, чтобы произведение решения системы линейных уравне­

ний и числа л =f=. 1 также было ее решением. (Ответ: одно­ родность системы.)

20. При каком условии некоторая линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений будет решением этой системы? (Ответ: сумма коэффициентов линейной комбинации равна 1.)

2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1.BEI(TOPbI. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕI(ТОРАМИ.

ПРОЕI(ЦИЯ BEI(TOPA НА ОСЬ. I(ООРДИНАТЫ BEI(TOPA

Вектором называется напраВJIенный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а жонец - в точке В, то вектор обозначается

-+

АВ. Если же начало н конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавнта а, Ь, с, ... На рисунке направ­

ленне вектора изображается стрелкой (рис. 2.1).

А-					- )			8
			iff				в
				с	~			П~~А ~ ~
						!I<		С
			Рис. 2.1					Р н с. 2.2

-+

Через ВА обозначают вектор, напраВJIенный противоположно век-

-+

тору АВ. Вектор, у которого начало н конец совпадают, называется нулевым и обозначается о. Его направление ЯВJIяется неопределенным. Другнми словамн, такому вектору можно п'рнписать любое напраВJIение. Длuной или JttOдулем вектора называется расстоянне между его началом

н концом. Записн 'АВI (или АВ) н 'аl (нли а) обозначают модули векто-

-+-

ров АВ и а соответственно.

Векторы называются коллuнеаРНblJttU, если они параллельны одной

прямой, и комnланаРНblJttu, еслн они параллельны одной плоскости. Два вектора называются paBHblJttU, если они коллннеарны, одина­

ково направлены и	равны	по длнне. На рнс. 2.2 изображены пары
--+-	~	--+--+
равных векторов АВ	и CD,	а н Ь: АВ = CD, а= Ь. Из определення

paljeHCTBa векторов следует, что векторы можно переноснть параллельно

самим себе, не нарушая НХ равенства. Такие векторы называются свободнымu.

К линейным операцням над векторами относятся: умножение век­

тора на число н сложение векторов.

Проuэведенuем вектора а u чuсла а называется вектор, обозна­ чаемый аа (нли аа), модуль которого равен lallal, а напраВJIение

совпадает с напраВJIеннем вектора а, если а> о, н протнвоnoложно

ему, если а, < о.

57

СУММОй векторов	а; (i = 1,11) называется вектор.	обозначаемый
n
аl + а2 +...+ а" = ~	а;. начало которого находится в	начале первого
i=1
вектора al, а конец -	в конце последнего вектора а" ломаной лннии,
составленной нз последовательностн слагаемых векторов		(рнс. 2.3). Это

ь

Рис. 2.3 Рис. 2.4

правнло сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае

суммы двух векторов оно равноснльно правилу nараллелограмма

(рнс. 2.4).

Прямая 1 с заданным на ней направлением, прнннмаемым за поло­

жнтельное, называется осью 1.		ось 1 называется чнсло, обозначаемое
Проекцией вектора а на
npr а и равное lal	cos ер, где ер	(О~ер~л) - угол между положительным
направлением оси	1 н направлением вектора а, т. е. по определению
npr а = 1а I cos ер.	Геометрически проекцию вектора а можно охаракте­

рнзовать длиной отрезка MN, взятой со знаком «+», если u ~ ер ~ л/2,

и со знаком «- »,	если л/2 < ер ~ л (рнс. 2.5). Прн ер = л/2 отрезок
MN преR[)ащается	в точку н npr а = О.

Рис. 2.5

Координатами вектора а называются его проекцин на осн коордннат

Ох, аУ, Ог. Они обозначаются соответственно буквами х, У, г. Запнсь а = (х, У, г) означает, что вектор а нмеет координаты х, У, г.

Для равенства векторов необходнмо н достаточно, чтобы их соот­

ветствующие коордннаты былн равны. Если M1(XI, YI, ZI) н М2(Х2, У2, г2),

то ММ2= (Х2 - XI, У2 - YI, г2- ZI).

ЛинейЖJй комбинацией векторов а; называется вектор а, опреде­ n

ляемый по формуле а = ~ i..;a;, где Лi - некоторые числа. Если век­ i=1

торы а; определиются коордннатамн Xi, Yi, Zi, то для коордннат вектора а

имеем: а= ( ~r: ЛiХi,	~n ЛiУi,	~n	i..;Zi)'
i=1	i=1	i=1

58

Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по

форме аналогичным свойствам умножения н сложения чнсел. На­

пример,

а + Ь = Ь + а, (а + lI)a = аа + lIa, а(а + Ь) = аа + аЬ,

a+(-I)а=а-а=О, la=a, Оа=О

н т. д.

Если для системы n векторов а; равенство

(2.1)

верно только в случае, когда Л; = О, то эта система иазывается лuxейно независимоЙ. Если же равенство (2.1) выполняется дЛЯ Л;, хотя бы

одно ИЗ которых отлично от нуля, то система векторов а; называется

линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три ком­

планарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве

всегда линейно завнснмы.

Три упорядоченных лннейно незавнснмых вектора el, е2, ез в про­

странстве называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных lIекторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве

можно разложить по базнсу el, е2, ез, т. е. представить а в виде ли-

,нейной комбннацин базисных векторов: а = хеl +уе2 + zез, где х, у, z

являются координатами вектора а в базнсе el, е2, ез. Базис называ­

ется ортонормированным, еслн его векторы взанмно перпендикулярны

и имеют еднннчную длину. Обозначают такой базнс i, j, k.

Пример 1. Даны векторы а, Ь, с (рис. 2.6, а). Изобразнть на рисунке

их линейную комбннацию -2а+ -}ь+4с.

~ Выбираем на ПЛОСКОСТН пронзвольную точку О Н откладываем от

нее вектор -2а (рис. 2.6, б). Затем от конца вектора -2а откладываем

(j

а

ь

Рис. 2.6

вектор 31 Ь и, наконец, строим вектор 4с, выходящий из конца вектора

~ Ь. Искомая линейная комбинация изображается вектором, замы­

кающим полученную ломаную, начало которого находится в точке О...

Пример 2. Векторы заданы в ортонормнроваином базисе i, j, k

координатами: а=(2, -1,8), el=(I, 2, 3), e2=(I, -1, -2), ез=

= (1, - 6, О). Убедиться, что тройка el, е2, ез образует базис, и найти коор­

динаты вектора а в этом базисе.

59

~ Если определитель

Л=1:	2	31
	-6	О
	-1	- 2,

составленный из коордннат векторов еl, е2, ез, не равен О, то векторы еl,

е2, ез линейно независнмы и, следовательно, образуют базис. Убежда­
емся,		что		Л = - 6 - 4 + 3 - 12 = - 19 * О. Такнм образом, тройка
еl,	е2,	ез -		базис.
	Обозначим координаты вектора а в базисе еl, е2, ез через х, у, г.
Тогда		а = (х, у, г) = хеl + уе2 + zез. Так как по условию а = 21- j +
+8k, el=i+2j+3k, e2=i-j-2k, ез=i-6j, то из равенства							а=
=	хеl +		уе2 + zез следует, что 21 - j +		8k = xi + 2xj + 3xk +	уl -	yj -
-	2yk +		zl- 6zj = (х + у + г)1 + (2х -		у - 6г)] + (3х -2y)k.	Как	вид­

но, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой

его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих

координат. Отсюд.а получаем систему для нахождения нензвестных

х, у, г:

х+ у+	г=2, }
2х- у-6г= -1,
3х-2у	=8.
Ее решенне: х=2. у= -1, г= 1.
Итак, а= 2еl -е2 +ез =(2, -	1, 1)...

А3-2.1

1. По данным векторам а и Ь построить следующие их

линейные комбинации: а) 2а + Ь; б) а -					3Ь; в) -} а+ -} Ь;
г) -3а- т1 Ь.		--+
~	= с,		= а.	~
2. Векторы АВ		ВС		СА =	Ь служат сторо-

нами треугольника АВс. Выразить через а, Ь, с векторы

~~ ---+-

АМ. BN. СР, совпадающие с медианами					треугольника
	~	1	~	1		~
АВс. ( Ответ: АМ = та+с или АМ				= t(C-Ь)' BN =
1	~	1	---+-		1	---+-

=а+тЬ или BN=t(a-с), ср=ь+тс или СР=

= т(ь-а)-)

3. В треугольной пирамиде SABC известны векторы

-SA = а, --SB+ = Ь, --SC = с. Найти вектор --SO, если точка-- О

является центром масс треугольника АВС. ( Ответ: so =

= ~(а+Ь+С)-)

60