RI_OCR[4]

х-о _ у-о

6-0 - - 4 - 0'

2

откуда У= - тХ' 2х+3у=0.

у

Рис. 3.4

у

А

х

D

Рис. 3.5

Наконец, уравнение стороны АС находим, учитывая тот факт, что она проходит через известную точку А( -2, О)

параллельно известной прямой OD (см. уравнение (3.21»:

У - О = - ~ (Х+2) или 2х+3У +4 = о. -4

1\1

3.5.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К гл. 3

1.Составить уравнение биссектрисы того угла между

+У= -7, внутри которого ле­прямыми

жит точка A(I, 1). (Ответ: 3Х-У+ 17=0.)

2. Составить уравнения сторон параллелогр.амма

ABCD, зная, что его диагонали пересекаются в точке M(I, 6), а стороны АВ, ВС, CD и DA проходят соответ­

ственно		через точки Р(3, О).		Q(6, 6),		R(5, 9), S( -5,			4).
(Ответ:		х + 2у - 3 = О, 2х -		У -	6 =	О,	х + 2у -	23 =	О,
2х-у+ 14=0.)							х +3У -
3: Дано' уравнение стороны ромба								8 = О	и
уравнение его диагонали 2х				+У	+4 =	о. Записать урав­
нения остальных сторон ро.мба,					зная,		что точка	А( -9,
-1)	лежит на стороне, параллельной						данной.	(Ответ:
Х+3У+ 12=0, 3х-у-4=0, 3Х-У+ 16=0.)
4.	Зная уравнения		двух	сторон		треугольника АВС
2х +	3У - 6 = О (АВ),		х +2у - 5 = О			(АС) и внутренний

угол при вершине В, равный л/4, записать уравнение

высоты, опущенной из вершинь! А на сторону ВС. (Ответ:

х- 5у +23= о.)

5.Составить уравнения сторон треугольника, зная

одну из его вершин А(2, -4) и уравнения биссектрис двух

+у - 2 = О и х - 3У - 6 = о. (Ответ: х +

+7у-6=0, х-у-6=0, 7x+y-IO=0.)

6. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А( -4, 2) и уравнения двух медиан;

3х - 2у + 2 = О и 3х + 5у - 12 = о. (Ответ: 2х + У - 8 =

=0, х-3у+ 10=0, х+4у-4=0.)

7. В треугольнике с вершинами А( -3, -1), B(I, -5), С(9, 3) стороны АВ и АС разделены в отношеНЩi 'А = 3, считая от общей вершины А. .Доказать, что прямые,

соединяющие точки деления с противоположными верши­

нами, и медиана пересекаются в одной точке.

8. Прямые 3х +4у - 30 = О и 3х - 4у + 12 = О ка­ саются окружности, радиус которой R = 5. Вычислить

площадь четырехугольника, образованного этими каса­

тельными и радиусами круга, проведенными в точки ка­

сания. (Ответ: S;:;::: 1,68.)

9. Даны две точки А( -3; 8) и В(2, 2). На оси Ох найти

такую точку М, чтобы ломаная линия АМВ имела наимень­ шую длину. (Ответ: M(I, О).)

10. Пок~зать, что прямые	х+3 _y+1 _ z+1
	- 1 - - - 2 - - - 1 -

112

и х =

3z -

4, У =

z +2

пересекаются,

и найти

точку

А

их пересечения. (Ответ: А ( -

1, 3, 1).)

11.

Найти расстояние от точки Р(7,

9, 7)

до

прямой

х - 2

у

,

2

.

( О

. - Г;;;:;22)

- = -- =

твет.

--YL.L..

432

12.

Найти кратчайшее расстояние

между

двумя

не-

пересекающимися

прямыми:

х-9

у+2

2

х

- 4 - ' =

--=з =

т и -2 =

_ у + 7 _ 2 - 2

(О

. 7)

-- 9 - -- 2 - ·

твет..

13. Даны вершины треугольника А(4, 1, -2), В(2, О, О), С( -2, 3, -5). Составить уравнения его высоты, опущен-

ной из вершины В на противолежащую сторону. ( Ответ:

х-2 _ у _ 2 )

74 - 57 - -'10·

14. Дан куб, длина ребра которого равна единице. Вычислить расстояние от вершины куба до его диагонали,

не проходящей через эту вершину. (Ответ: d =..;2/3.)

15.На плоскости Оху найти такую точку М, сумма

расстояний которой до точек А( -1,2,5) и B(II, -16, 10)

была бы наименьшей. (Ответ: М(3, -4, О).)

16.Точка М(х, у, z) движется прямолинейно и равно­

мерно из начального положения МоО5, -24, -16) со скоростью v = 12 в направлении вектора s = (-2, 2, 1).

Убедившись, что траектория движения точки М пересекает

+4у +7z - 17 = О, найти координаты точки

М. их пересечения. (Ответ: М.( -25, 16, 4).)

	17.	Доказать, что				прямые ~ = у+2 = 2-5					и
							2	- 3		4
х -	7 _	у -	2	_	2 - ,	лежат в одной плоскости, и соста­
- 3 - -		-~-		---=-2						13z +
вить уравнение этой плоскости. (Ответ: 2х -									16у -
+31 =0.)								-4, -2) на плоскость,
	18.	Найти проекцию точки С(3,
									х-5 _
проходящую				через		параллельные прямые -'-3-					-
_	у-б _		2+3		х-2 _		у-3 _	2+3	(Ответ:	С.(2,
-	- 1 - -		---=Т-'		- '3 - -		- , - -	---=т-.

-3, -5).)

19. На плоскости Оху через точку М(4, -3) провести

прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного

ею и осями координат, была равна 3. (Ответ: Эх +2у­

-6=0 или 3х+8у+ 12=0.)

113

20. Нужно восстановить границы квадратного участка земли по трем сохранившимся столбам: один - в центре

участка, остальные-на двух противоположных границах.

На плане положение центрального столба определено точкой МО, 6), а боковых - точками А(5, 9) и В(3, О).

Составить уравнения прямых, изображающих границы

участка. (Ответ: х+2у-23=0, х+2у-3=0, 2х­

- У - 6 = О, 2х - У + 14 = О.)

21. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей

через прямую х = хо +/t, у = уо +mt, Z = Zo +nt перпен­

дикулярно к плоскости Ах + Ву +Cz +D = О, может быть

представлено в следующем виде:

			х-хо у- уо			z-zo
			1	т		n		=0.
			А	В		С
22.	Составить			параметрические			уравнения		прямой,
которая проходит				параллельно плоскостям 3х + 12у -
- 3z -	5 =	О,	3х -	4у +9z	+7 = О и			пересекает прямые
х + 5	= у -	3	= ~ х -		3	= у + I = z - 2			(Ответ'
2	-4			з' - 2		3	4'		.

x=8t-3, у= -3t-l, Z= -4t+2.)

4.ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

4.1.ЛИНИИ второго ПОРЯДКА

Линией (кривой) второго порядка называется множество М точек

плоскости, декартов.ы координаты х, у которых удовлетворяют алгебра· нческому уравнению второй степенн

allxZ+ 2alzXY +azzyZ + 2alx + 2azy +ао = О,

(4.1)

где all. a12. azz. al. а2. ао - постоянные действительные чнсла. Уравне­ ние (4.1) называется общим уравнением линии второго порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (4.1).

1. Qкружность радиусом R с центром в точке С(Хо. уо) задается

уравнением

(4.2)

2. Эллипс с полуосями а и Ь, центр'ом в начале координат н вершииами А, А', В. В'. расположенными на осях коордииат, опреде­ ляется простейшим (каноническим) уравнением

х2

1/

=

1.

(4.3)

7

+ ---ьт

На рис. 4.1. а

изображен

эллипс.

у

которого а> Ь (а -

больша'я

полуось, Ь -

малая), а на р.ис. 4.1,6 -

эллипс, у которого а < Ь (а-

о

а

у

О2

Df

У

. Ог

В

В

А

А'

А

х

х

8'

О1

Рис. 4.1

малая полуось, Ь -

большая). Точки F 1

н

Fz называют фокусами. ПО

определенню любая точка эллнпса М

удоолетворяет

условию

F1M +

+ FzM = 2а в случа.е а> Ь или F1M + FzM = 2ь в случае а < Ь. Если

обозначить с = OF 1 = OFz• то в первом случае Ь2 = aZ -

с2 , а во втором

115

а2 = ь2 - с2• Прямые D, и D2 называются директрисами эллипса; их

уравнения по определению имеют вид

х = ±aj8 = ±a 2jc,

если а> Ь, или

У= ±bj8= ±b 2 jc,

если а < Ь (см. рис. 4.1). Оси координат являются осями симмет­

рии эллипса.

Чнсло 8, равное отношению расстояния между фокусами F'Р2 к длине

большой оси, называется эксцентриситетом эллипса:

8 = cja (а> Ь) и 8 = cjb (а < Ь).

В любом случае О";; 8 < 1.

'3. Гипербола с действительной полуосью а, мнимой полуосью Ь, центром в начале координат и вершииами А и А' на осн Ох имеет следу­

ющее каноническое уравнеиие:

х2

у2

(4.4)

-

-- = 1

а2

ь2

•

На

рнс.

4.2

изображена

гипербола

с

асимптотами

С, и

С2

.(У= ±

~ х),

эксцентриситетом

8 = cja,

директрисами D,

и D2 (х=

= ±aj8), фокусами р,(-с, О) и

Р2(с, О). ДЛЯ гиперболы всегда спра­

ведливо

равенство

Ь2 = с2 -

а2,

и поэтому

8 = .../1

+ b2ja2 > 1.

Для

любой точки М выполняется условие IF,M -

Р2

М I =

2а, которое может

служить определением гиперболы.

Гипербола, уравнение которой имеет вид

r

у2

1,

(4.5)

- 7

+ l? =

называется сопряженной с гиперболой (4.4).

Ее вершины

находятся

в точках В и В' на оси аУ, асимптоты совпадают с аснмптотами гипер­ болы (4.4),8 = cjb (см. рис. 4.2). Как и в случае эллипса, оси координат

являются осямн симметрии гиперболы.

4. Парабола с вершииой в начале координат, симметричная отно­ сительно осн Ох, имеет следующее каноническое уравнение:

у2 =2рх.

Она изображена на рис. 4.3. Точка F(pj2, О) называется ФОКУСОМ, а пря­ мая D, задаваемая уравнением х = -pj2,- директрисой параболы. Для любой точки М параболы верно равенство РМ = MN. Число Р > О называется параметром параболы. Ось Ох является ее осью сим­

метрии.
Уравнения у2 = -2рх, х2 =	2ру, х2 =	-2ру определяют параболы,
иначе ориентированные относительио осей		коордннат (рис. 4.4, а-в).
3 а м е ч а н н е. Уравнения вида
(х - 2 хо? ± (У - 2 уо)2	= 1, (У-УО)2 =2р(х-хо)

определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые

параллельно смещены относительно системы коордннат аХУ таким обра­

зом, что	центр эллнпса и гиперболы и вершина параболы находятся
в точке	С(хо. Уо).

116

Директрисы, фокусы и точкн эллипса, гиперболы и параболы облада­

ют одннм замечательным свойством: отношенне расстояния от любой точ­

ки М кривой дО фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей

выбранному фокусу директрисы есть величина постоянная, равная

D

N t-+---..!~

х

х

р нс. 4.2 Рис. 4.3

эксцеитриснтету кривой. у параболы эксцеитриситет следует считать рав­ ным 1. Это свойство можно прниять за определенне крнвых второго

порядка_

Пример 1_ Даны точка А(I,

О) н прямая х =

2. В декартовых коор­

динатах

составить

уравнение линии,

каждая точка

М (х, у)

которой:

а) в два раза ближе к

точке

А, чем к даииой прямой;

б) в два

раза дальше от точки А, чем от данной прямой; В)

равноудалеиа от точки

А н прямой х = 2.

MN (рис. 4.5). Отсюда, так как N(2, у)' то

~ а)

По условию 2МА =

2-.,j(x -

1)2 +у2 = .у(х -

2?,

4(х2 -

2х + 1 +у2) = r -

4х + 4,

3х2 +4у2 -

4х =

О, з(х2 -

(4/3)х +4/9) + 4у2 =

4/3,

3(х - 2/3)2 + 4

у2= 4/3

(х - 2/3? + L

= 1

'4/9

1/3'

Следовательно, искомая лнния -

эллипс. Точка А совпадает с правым его

фокусом,

а

прямая х = 2 -

правая директриса;

а

()

у

о

D

.х

х

Рис. 4.4

117

б) По условию МА =	2MN (рис.		4.6). Следовательно,
-у(х -	1)2 +у2 =		2-У(х _		2)2,
х2 _ 2х + I +у2 = 4х2 -		16х + 16, Зх2 -			у2 - 14х + 15 = О,
3(х2 - (14/3)x + 49/9) -			у2 =	49/3 - 15 = 4/3,
(х -7/3)2			у2
	4/9	-	4/3	=	1,

т. е. данная линия - гипербола. Точка А совпадает с ее левым фокусом,

х = 2 - левая директриса;

у

					)(
11	N
о	2	)(
Рис. 4.5		Рис. 4.6
в) По условию МА = MN (рис.				4.7). Следовательно,
-J(x - I? + у2 = -у(х - 2)2,			х2	-	2х + 1 +у2 = х2 - 4х + 4,
	у2 =	-2х +3,	у2 =		-2(х - 3/2).

Получили уравнение параболы (см. рис. 4.7). Точка А совпадает с фо­ кусом, прямая х = 2 - директриса. ~

ух=2

~_--t.N		у
2	х
	~>----+---+-+3
	2
		-7'6-5-4 -3-2 -7 О		х
Рис. 4.7		Рис. 4.8

118

Если общее уравнение (4.1) определяет эллипс, гиперболу или пара­

болу, то поворотом около начала координат осей координат на угол а.

определяемый из уравнения tg 2а = 2а'2/(а" - а22), и параллельным пе­

реносом этих осей всегда можно добиться того, чтобы в новой си­

стеме координат уравнения данных кривых стали каноническимн.

Особенно простьiм является приведение уравнения (4.1) к канонн­

ческому виду в случае а'2 =		О, когда можно применить метод выделения
полных квадратов.		.
Пример 2.	Привести к каноническому виду уравнение линии 4х2 +
+ 9у2 + 32х -	54у + 109 = О и построить ее.
~ Дополним члены, содержащие х, и члены, содержащие У, дО пол­
ных квадратов. Получим
4(х2 +8х + 16) + 9(у2 - 6у + 9) = 64 +81 -			109 = 36,
4(х +4)2 +9(у _		3)2 = 36, (х + 4)2 + (У -	3)2 = 1,
		9	4

т. е. нмеем эллипс, центр которого лежит в точке С( -4, 3), большая

полуось а =		3, малая полуось Ь = 2 (рис. 4.8). ~
			A~-4.1
1.	Дан эллипс, каноническое уравнение которого имеет
вид	2	2	1. Найти	координаты его	ФОКУСОВ,
	;5	+ 4- =
эксцентриситет, уравнения директрис. Сделать					рисунок.
(Ответ: F.( -4, О),			F2(4, О), 8 =	0,8, Х = +25/4.)
2.				х2	у2
	По каноническому уравнению гиперболы 36				- 64 =

= 1 найти ее полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. Сделать рисунок.

3. Построить параболу, ее директрису и фокус, зная

каноническое уравнение параболы: х2 = 6у.

4. Составить каноническое уравнение эллипса, если

известно, что:

а) его малая ось равна 24, расстояние между фоку­

сами равно 10; б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентри­

ситет равен 3/5;

В) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5;

г) расстояние между директрисами равно 32, эксцен­

триситет равен 0,5.

5. r:оставить каноническое уравнение гиперболы, если

известно, что:

а) расстояние между вершинами равно 8, расстояние

между фокусами равно 10;

б) действительная полуось равна 5, вершины делят

расстояние между центром и фокусом пополам;

119

в) действительная ось равна б, гипербола проходит

через точку А(9, -4);

г) точки Р(-5, 2) и Q(2-{5, 2) лежат на гиперболе.

6. Составить каноническое уравнение параболы, если

известно, что:

а) парабола имеет фокус F(O, 2) и вершину в точке

0(0, О);

б) парабола симметрична относительно оси абсцисс и

проходит через точки 0(0, О) и М(I, -4);

в) парабола симметрична относительно оси ординат

Оу и проходит через точки 0(0, О) и N(б, -2).

, 7. С помощью выделения полных квадратов и пере­

носа начала координат упростить уравнения линий, опре­

делить их тип, размеры и расположение на плоскости

(сделать РИСiНОК):

а) х2 +у -4х+6у+4=0;

б) 2x2+5if2+8x-l0y-17=0;

в) х2 - 6у - 12х +36у - 48 = О;

г) х2 - 8х + 2у + 18 = О.

Самостоятельная работа

1.Найти уравнение окружности, если концы одного из

еедиаметров находятся в точках А(3, 9) и В(7, 3). (Ответ:

+(у - 6? = 13.)(

2. Составить уравнение гиперболы, имеющей вершины

В фокусах эллипса	х2	+	у2	а фокусы в его вер-
	225		144 = 1,
.х2		у2_)
шинах. ( Ответ. 81	-144 -		1.

3.Составить уравнение траектории движения точки

М(х, у), если в любой момент времени она остается равно­

удаленной от точки А (8, 4) и оси ординат. (Ответ: (у­

- 4? = 16(х -	4) - парабола.)
4. Записать	уравнение траектории движения точки

М(х,	у), если в любой момент времени она находится в 1,25
раза	дальше от точки А(5, О), чем от прямой 5х - 16 = О.

.х2	у2_)
( Ответ. 16 -	9" - 1.

5.Ракета, пуск которой произведен под острым углом

кгоризонту, описала дугу параболы и упала на рас­

стоянии 60 км от места старта. Зная, что наибольшая

высота, достигнутая ракетой, равна 18 км, записать урав­

нение параболической траектории, приняв место старта за

120