RI_OCR[4]

Если зависимость между переменныии у. и х задана внеявном

виде уравнением Р(х, у) = О, то для нахождения производной у.' =!Ix

в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части

уравнения Р(х, у) = О, считая у функцией от х, и из полученного

уравнения, линейного относительно у', найти пронзводную.

Пример 2. Найти производную функцни у.', если х3 +1-

-Зху=О.

.. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая у функци­

ей от х:

Зх2 +Зу2у.' - Зу - Зху' = о.

Отсюда находим

у' = (Зх2 - Зу)/(Зх - Зу2). <111

АЗ-б.3

1. Найти производные указанных Фrнкций:

а) у=3Х' _tg4 2х;	б) у=х th3 х;
В) У = Ig4 (х5 - sin 5 2х);	г) у = агсtg...jГ""I-+-е---"'х'.

2. Найти производные следующих фvнкций:

а)

y=(sin зх)"оs5х;

б)

y=(x~+ l)tg 2x.

3. Найти производные функций у, заданных неявно

следующими уравнениями:

а)

.

б) xy-arctg~ =3;

}Г

еХ9_хЗ~у3=З;

в)ух+

}Г

у

+уу=а. (Ответ:

а) у'=(Зх2_~9у)/(_3у2+~9х);

б) у' = -

(х2у + уЗ -

х)/(хЗ +ху2 +у); в) у = -

-У(у/х?)

Самостоятельная работа

НаЙТl:I производные. данных функций.

1.

а)

у =

r

Iп2

(siп2 х -

tg2 х);

б) у =

(tg ЗхУ;

в)

, ,

-х

4

+у

4

=5.

(

Ответ: у'=

ех'у' • 2ху - 4~ )

еХУ

"

.2уr

.

4y.3-еХУ

2.

а)

у = ctg2 3х . e- cos' 3Х;

б)

у = (1

+ x4)1g 7х;

в) у2 + х2

_ si~ (х2у2) = 5. (Ответ: у' =

2ху2 cos (ry2) - 2х .)

2у - 2yr cos (ry2)

3.

а)

у=е-Х' arctg...jr

1;

б) y=(ctg5xy'-I;

в)

2

Х

+29

=

2

Х

+

9

. (

Ответ: у

,

2' - 2

Х

+

У

)

-

=

2Y_~X+y .

6.3. ПРОИ3ВОДНblЕ ВblСШИХ ПОРЯДКОВ

проuзводной второго порядка

или

второй

производной

функции

у = '(х)

называется

ПРОИЗВ(;JДная

от

ее первой

производной,

т. е. (у')'.

181

Обозначается вторая лроизводлая ОДНИ1d из следующнх символов:

у", '''(х),	d 2 y	Если s =	s(t) -	закон прямолииейного движения мате­
	-- 2 .
	dx

риальной точки, то s' = ~- скорость, а s" =	d2~ - ускоре,ние этой
dt	dt

точкн.

Если зависимость функции у от аргумеита х задала в параметрн­

ческом виде уравнениями х = x(t), У = y(t), то:

dy	у'(t)	d 2 y	d (у')	1
-;;;=	x'(t) ,	dr	= dt --;- 7'		(6.3)
где штрнх обозначает производную по t.
·ПроизвОдноЙ n-го порядка функции у = f(x)				называется	производ­

ная от производной (n - I)-ro порядка данной функции. Для n-й

производной

употребляются

следующие

обозначения: 1/"),

' n) (х),

dn

_У-. Таким образом,

dX'

у(n) = (114-1»)' =

d· 1n - l )

-?х.

Пример

1.

Найти

производную

второго порядка

функции

у = Iп (х+ -..jr + а2)•

..

Имеем:

)=

у'=

1

_(1+

х

x+-..jx2+ а2

-..jx2+ а2

-..jr + а2 + х

(х+-..jx2+ a2)-.Jx2 + а2

-.Jx2 + а2

1

+ а2)-З/2 • 2х = -

х

~

у" = __ (х2

-.J (r

+ а2)З

.

2

Пример 2. Вычислить значения первой и второй производных

фуикции y=(2x-I)4 В точках ХI = 1,

Х2= -1 .

..

Находим первую производиую:

у' = 8(2х -

I)З. При х =

1 имеем

y'(I)=8, а при х= -1 y'~-I)= -216.

Далее, y"=48(2x-I), y"(I) =48, y"(-1)=432. ~

Пример з. Найти производную n-го порядка фун'кцин у = sin х.

.. Дифференцируя последовательно n раз данную функцню, на-

ходим:

у' = cos х = siп (х + 11./2),

у".=cos (х+ ;) = siп ( х+ 2· ;),

у'''= cos ( х+2· ;) = sin ( х+3· ;) .

......................." ..

114) = cos ( х+(n - 1) ;) = sin ( х+n ;)- ~

Пример 4. Найти вторую ПРОИЗВОJl,ную ~уикции, заJl,аниой парамет­
рическими уравнениями: х = In t, у = t	З	+2t	+ 1.

182

•в соответствии с формулами (6.3) имеем:

. '

2

+2

= 3t

З +2t

.!!JL = 3t

dx

1ft

•

d 2y =

9t2 + 2

= 9t

З

+ 2t. <111

dr

1ft

А3-6.4

1.

Найти

вторую

произБОдную

функции

У = (1 +

+4x~ arctg 2х.·

.

2. Найти значения производных любого порядка функ­

ции у=;(3-5х2 +7х-2 в точке х=2.

3.

дано

уравнение

двюкения

точки

по

оси

Ох,:

х = 100 -5t -

О,оон3

(х измеряется

в метрах,

t -

в се­

кундах). Найти скорость

v

J{ ускорение

w этой

точки

в моменты времени to= О,

t1 = 1,

t2 = 10 с.

(Ответ: v = 5;

4,997;

4,7 Mlc, W = О;

-0,006;

-0,06 Mjc2.)

4.Найти вторые производные функций, заданных

уравнениями:

у=tЗ+t2_1	б) {Y=2sin~tl
а) {х = t2 +t + 1;'			х = 2 cos .
5. Вычислить значение второй производной функции У,
заданной уравнением	х4 -"ху + у4 -1, в				точке М(О, 1).
(Ответ:-1/16.)					.
6. Записать уравнения касательной и нормали в точке
Мо(2, 2) к кривой х =~, у= ~2 +					-1-. (Ответ:
	t	З	.	2t	2t
7x-l0у+6=О,10х+7у-34=0.)
7. Показать, что функция у =				C1e2x + С2еЗХ при любых
постоянных C1 и С2 удовлетворяет уравнению у" - 5у' +
+6у=0.
Самос~оятельная работа					.

1. 1) Найти производную второго порядка функции

у-.-: (х2 + 1) ·In (1 + х2);

2)найти вторую производную функции, заданной

уравнениями: у = t + t, Х = 12 - 2t;

3)вычислить значение второй производной функ­

ции у, заданной уравнением еУ + у - Х = О, . в точке

M1(I, О). (Ответ: -1/8.)

2. 1) Найти производную второго порядка функции

у= е-ЗХ • (cos 2х + sin 2х);

2)найти производную BTO~OГO порядка функции,

заданной ~авнеНИЯМИ:lу=е+t + 1, Х= llt;

J83

	3)	Вbl.ЧИCJlить значение второй производной фуm<t'
ЦИИ	у,			+ уЗ -	ху = 1, в	точке
M1(1, 1). (Ответ: -7.)
3.	1)	Найти	вторую	производную	функции	У =
=-У1-4х2 агсsiп 2х;
	2) найти производную второго порядка функции,
заданной уравнениями: у =				(2t + 1) cos [,	Х = lп t;
	3)	вычислить значение второй производной функ­
ции	у,	заданной	уравнением х2 + 2у2 -		ху + Х + у = 4,

вточке M 1 (1, 1). (о.твет: -1.)

6.4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ИИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Дифференциалом первого порядка функции у = Нх) называется

главная. часть ее прнращення, линейно завнсящая от приращения

!!х = dx независимой переменной х: Дифференцяал dy функцни равен

произведеиню ее производной и днфференциала неЗ8ВИСИМОЙ пере·

менной:

dy = у'dx = l'(x)dx,

поэтому справедливо равенство

У'= dx'dy

Из рис. 6.2 видно, что если MN - дуга графика функции у = Нх),

мт - касательная, проведенная к нему в точке М(х, у), и АВ = !!х = dx,

то СТ = dy, а отрезок CN = I!y. Дифференциал функцин dy отличается

от ее приращения !!у на бесконечно малую высшего порядка по срав-

у

Lly

..

А в )(

Рис. 6.2

184

иewию с Ах. Непосредственно из определения дифференциала и пр.авил нахождеиия производных имеем (и = и(х), и = и(х»:

1)dC=O (C=const);

2)dx = Ах, если х - независимая переменная;

3)d(u±.u)=du±du;

4)d(uu) = udu + udu;

5)d(Cu)=Cdu;

6)	d(.!!...)	= udu - udu (и =1= О);
	и	[12
7)	df(u) = ':. (u)u'dx.= f'(u)du.
Пример 1.		Найти диффереициал фуикции у =	sin ~3x.
..	Находим производную данной Функцин:		.

у' = 5 siп· 3х • cos 3х . 3,

тогда

dy = 15 sin· 3Х· cos 3xdx. ..

Дифференциалом n-го порядка функции у = {(х) называется днф· ференциал от диффереициала (n - 1)-го порядка этой функции, т. е.

d"y =d(d"-' y ).

Еслн дана функция у = ((х), где х - независимая переменная, то d 2 y ~ y"dr, dЗу = у'''dхЗ, ..., dny = y<n)dx".

Если у = 1(и), где u = «р(х), то

d 2y = у" (аи)2 + y'd2u,

где дифференцироваиие функции у выполняется по переменной и. (Это

имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.)

Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции

У= lп (1 +r).

... Имеем:

у'=2х/(1 +r), y"=(2(i +r)-4f)/(1 +r?=2(I-r)/(1+x2?

Тогда
d2	у	= 2(1 _х2) dr			...
			(1 +r)2
Так как дифференциал			функции	отлнчается от ее приращения

на бесконечно малую высшего порядка по сравненню с велнчнной dx,
то !J.y ~ dy, или	f(x +!J.x) -	'(х) ~ f'(x)dx, откуда
	Нх +!J.x) ~ '(х) + f'(x)dx.
• Полученная	формула	часто	применяется для прнближенного вы·
числения зиачений функции при			малом приращении Ах	незавнсимой
переменной х.
Прнмер 13. Вычислить приращеиие стороны куба, еслн известно,
что его объем увеличился от 27 до 27,1 мЗ•
.. Если х -	объем куба, то его сторона у = v;. По			условию за­
дачи х = 27, !J.x = 0,1. Тогда приращение стороны куба
!J.y ~dy = у'(х)I'1x=		~.0,1 = 02'71 ~0,0037		м...
		3 з 272

. Прнмер 4. Найтн приближенно sin 31 о.

185

•Полагаем Х = 11/6, тогда

!1х = 1°. _11_ = 0,017,

180°

siпЗ10~siп ~ +cos ~ ·0,017=0,5+0,017. f ~O,515. <111

С помощью диффереициала функции вычисляют абсолютиую по·

грешиость функцни 8у, если известна абсолютиая погрешность 8.. аргу·

мента. В практических задачах зиачеиия аргумента иаходятся с помо­ ЩЬЮ измереиий, и его абсолютиая погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить зиачеиие функцня у = НХ) при некото­

ром значении аргумента Х, истиииая величина которого нам неизвестиа,

но Д~HO его приближенное значение ха с абсолютиой погрешностью

8..: х = хо + dx, Idxl :s;;;; 8 ... Тогда

lf(x)-f(xo)1 ~ If'(xo)lldxl< 1!'(Xa) 18...

Orсюда видио, что 8у = 1!'(Xo)18...

Orиосительиая погрешность фуикции {,у выражается формулой

.. {,у= 1!(:о)1 =,f;(~n8.. =I(lnf(Xo»'18",

Например, если в примере 4 прииять 8.. = 0,017, то

8у = Icos ~ ,. 0,017 = 0,015,

(,у= Oo~~5 . 100 % = 3 %.

АЗ-6.5

1. Даны функция у = хЗ -:- 2х2 +2 и точка хо = 1. Для

любого приращения независимой переменной ~x выделить

главную часть приращения функции. Оценить абсолют­

ную величину разности между приращением функции и ее

дифференциалом в данной точке, если: а) ~x = 0,1;

б) Ах = 0,01. Сравнить эту разность с абсолютной величи­ но" дифференциала функции. (Ответ: а) 8= I~y-dyl =

=O,Oll, 8/ldyl ·100 %= 11 %; б) 8=0,000101, 8/ldyl Х

х100 %= 1,01 %.)

2.Найти дифференциалы первого порядка следующих

функций:

а) у=хtgЗ х; б) y=-Varctgx+(arcsinx)2;

в) у= In(x+-V4 +х2).

3. ,Найти дифференциал второго поряд~а функции у =

=е-Х •	.
4. Найти диффереициалы третьего порядка функций:
а) у = sin 22х;	б) у = Iп х .
	х

186

2) найти приближенное значение функции у=

.

5.	Найти приближенное	значение	функции	y::i::: xf3 -
- 4х2	+ 5х + 3 при х = 1,03	с точностью до двух знаков
после	запятой. (Ответ: 5,00.)
6.	Найти приближенное значение ifl7 с точностью до
двух знаков после запятой. (Ответ: 2,03.)				..
	Самостоятельная работа
1.	1) Найти дифференциалы первого, второго и третье-
го порядков функции у = r		lп х;	.

Y..j' - х

'+х

при х = 0,1 с точностью до двух знаков после запятой.

(Ответ: 1,03;)

2. 1) Найти диффеуенциалы первого и второго по­ рядков функции у = (r + l)arctg х;

2)вычислить приближенное значение функции у =

=-.Jx2 -7х+ 10 при х=0,98 с точностью до двух знаков

после запятой. (Ответ: 2,09.)

3. 1) Найти диффеI>енциалы второго и третьего по­

рядков функции у = е-ЗХ cos 2х;

2) вычислить приближенное значение функции у =

=-{jx2 -5х+ 12 при х= 1,3 с точностью ДО двух знаков

после запятой. (Ответ: 2,08.)

6.5. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - БЕРНУЛЛИ

TeopeJtUl 1 (РО/I.IIЯ). Если фУНКЦия у = f(x) непрерывна на отрезке

[а; Ь], дифференцируема внутри этого отрезка и ((а) = I(Ь), то сущест­

вует по крайней мере одна точка х = с (а < с < Ь), такая, что 1'(с) = о.

TeopeJtUl 2 (Лагро.нжа). Если функция У= {(х) непрерывна на

отgезке [а; Ь] и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует

па крайней	мере одна точка	х = с	(а < с < Ь),		такая, что
	I(Ь) -	f(a) =	l'(с) (Ь -	а).
Эта формула называется формулой Лагранжа troнечных npuра-
щенuЙ.	3 (Коши). Если функции у =			.	у = «р(х) непрерывны
TeopeJtUl				l(х) н

на отрезке [а; Ь] и дифференцируемы внутри него, причем fj)'(x) =1= О

нигде при а < х < Ь, то найдется хотя бы одна точка х = с (а < с < Ь),

такая, что

НЬ) - На) _ l'(с) fj)(b) - «р(а) -~.

187

Правuлo Лonuтa.tIЯ (д_ раскры'I'UЯ неonредеАенностей вида ~ и ::). Если функции у= Нх) и у= ер(х) удовлетворяют ус.llOвиям

теоремы Коши в некоторой окрестности точки х = хо, стремятся к нулю

(или		± 00)	при х-+хо и существует lirп {'(Х), то существует также
·		f(x)		д			"....". ер'(х)
					елы равны, т. е.
11т	-- и эти nре
"...."0		ер(х)			lim	((х) =	lim	l'(х)
					"...."0	ер(х)	"...."0	ер'(х) .

Правнло Лопиталя справедливо и при хо = ± 00.

·Если частное ~,~~) вновь дает в предельной точке неопределенность

одного из двух названных видов и функцин 1'(х), ер'(х) удовлетворяют

всем требованиям, ранее указанным для функций Нх) и ер(х), то можио

перейти к отношению вторых пронзводных и т. д. Однако следует помнить,

что предел отношения самих функций может существовать, в то время

как отношенне производных не стремится ни к какому пределу.

Пример 1. Найти lim		х + siп х
	" .... 00	х	+ cos х .
.. Имеем:
lim	х+ siп х		= lim	1 +siп х/х = 1.
" .... 00	х + cos х		х.... оо	1 + cos х/х

Но предел вида

1.(x+sinx)'_I· l+cosx

,,~"Jo (х+ cos х)' - ,,~"Jo 1 - s in х

не существует, так как при Х-+ 00 чнслитель и знаменатель дроби могут

приннмать любые значения из отрезка [О; 2J, а само отношенне п1)Оиз· водных 'принимает любые неотрнцательные значения. Следовательно,

правило Лопиталя в этом случае неприменимо....

еЗZ _ 1

Пример 2. Найти ~~ siп 5х .

.. Числитель и знаменатель .ll.aHHo!i дроби непрерывны, диффе­ ренцируемы и стремятся к нулю. Это означает, что можно применнть

правило Лопнталя:
.	еЗХ _1					3еЗх	3
Ilm---=lim						5 cos 5х	= - ....
" ....0	siп 5х			" ....0			5
Неопределенность вида О· 00					получается из пронзведения функций
11 (х)!2(х), В котором	lim {I (х) = О				и	lim !2(х) = 00. Это			произведение
	х-хо					х-хо					~
легко преобразуется	в	ча"стное		вида		~ или		~2{X)		что	дает
						"1I2~XJ		Т7f1Гx)'
неопределенности вида		00	илн~. Еслн же				lim {1 (~)= 00		и lim {2(Х)=
= 00, то разность {I (х) -			00			х-хо		~		х_хо
			{2(Х) дает неопределенность вида							00 -	00. Но
/1 (х)-			/2(х)=		I1 (х)( 1 -		~2(~1)'

188

Тогда,

еслн

.

'2(Х)

приходим

К неопределениостit вида

11т

-(,) = 1,

0·00.

Х--+-ХО

I Х

3. Вычислить

lim i'e- z

Пример

(неопределенность вида

о· 00) •

.. Легко находим, что х.... оо

Iim i'гХ = lim ~ =

lim

3r =

lim

~ =

lim ~ =0.

<111

Х-+-ОО

Х-+ОО е

Х-+ОО fГ

х_оо fГ

Х--+-ОО tТ

Рассмотрнм функцию вида

f(x)q(X).

1. Еслн

Iim '(х) = О,

Iim q:>(x) = О,

то

нмеем

неопределенность

Х-+-ХО

~XO •

вида

оо.

f(x) =

2. Если

lim

1, lim «р(х) = 00,

приходнм

К

неопределенностн

100 •.

Х--+-ХО

х-хо

вида

3. Если

Iim f(x) =

00,

lim «р(х) =

О,

получаем

неопределенность

Х-+-ХО

х-хо

вида

000.

Для раскрытия этих неопределенностей применяется метод лога­

рифмирования, который сос.тоит

в следующем. Пусть

lim (f(x))q(z) = А.

х-хо

Так как логарифмнческая функция непрерывна, то

lim lп у = lп lim у.

Х-ХО

Х--+-ХО

Тогда

lп А = Iim (<<р(х)lп {(х))

Х--+-ХО

и неопределенности трех рассматрнваемых вндов сводятся к неопреде­

ленпости вида о· 00.
Пример 4.	Вычислить Iim(e' + X)I/Z.
	х....о
.. Обозиачим' искомый предел через А. Тогда
1п А = Iim (~IП(е' +х)) = Iim _lп_(,...е'_+-,--Х,,-)
	х-+О х		х....о	Х
= Iim	(е'+ 1)/(е' +х)	= lim	е'+ 1	= 2, А = е. <111
х....о	1	х....о	е' + х

АЗ-б.б

1. Показать, что функция {(х) = х - х3 на отрезках

[-1; О] и [О; 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля,

инайти соответствующие значения с. (Ответ: с = + 1/-Гз.)

2.На дуге параболы у = х2 , заключенной между

точками А(I, 1) и В(3, 9),				найти точку, касательная в кото­
PQЙ параллельна хорде АВ. (Ответ: (2, 4).)
3.	Найти пределы:
а)	Iim i'-7x2 +4х+2 .
	х.... 1 i'-5x+4			'
б)	Iim xcos x-sin х .			в) lim	е7х - 1
	х....о	i'	'	х....о	tg 3х

189

г)	Нm(_Х_ - -1-). д)						Iim(2 _	~)tgnx/(2a);
	х-+-' Х -		1	Iп Х	'		Х--+-а	а
е)	lim (tg x)2X-";				ж)		Iim(2/x+ lУ.
	х-+-,,/2						х-+-оо
(Ответ: а) 7/2;				б) -1/3;		В)	7/3; г)	1/2; д)
ж) е2.)
			Самостоятельная работа
Найти указанные пределы.
l.а)		Iiml-~057x;			б)	lim(cos2x)l/x'.
		х-+-О	х SIП 7х			х-+-О
(Ответ: а) 7/2; б) е-2 .)
2.	а)	Iim ctg (nX/4);			б)	Iim(~)SinX.
		х-+-2	Х -	2		х-+-О х
(Ответ: а) -лj4; б) 1.)
3.	а)	lim(xsin~);			б)	IimX/(l-хJ•
		х--+-оо		Х		х--+-I
(Ответ: а) 3;			б)	e- I .)

6.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЯ И ИХ ГРАФИКОВ

Одной из важнейшнх ПРИКJIадных задач дифференциального исчис·

ления является разработка общих приемов исследования поведения

функций.

. Функция у = ,(х) называется возрастающей (убывающей) в неко­

тором ннтервале, если большему зиаченню аргумента из этого интер­

вала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е. при

х, < Х2 выполняется неравенство '(х,) < ((Х2) (1(х,) > f(X2».

Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.

1. Если дифференцнруемая функцня у = f (х) на отрезке [а; Ь] воз­

растает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна

(неположительна) , т. е. " (х);" О (1' (х) ~ О).

2. Если непрерывная на отрезке [а; Ь] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную,

то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Функция у = f (х) иазывается неубывающей (невозрастающей)

в некотором интервале, если для любых х, < Х2 нз этого интервала f(x,) ~ НХ2) (f(x,) ;" '(Х2».

Интервалы, в которых функцня не убывает или не возрастает,

называются интервалами .монотонности функции. Характер монотон­

ности функции может изменяться только в тех точках ее области опре­

деления, в которых меняется знак первой пронзводной. Точки, в которых

первая производная функцни обращается в нуль или терпит разрыв,

называются критическиAtU.

Пример 1. Найти ннтервалы монотонности и критнческие точки

функции у = 2х2 - 1п х.

.. Данная функцня определена прн х > о. Находим ее пронзводную:

у' = 4х - I/х = (4r -1)/х.

190