RI_OCR[4]

..!..у' =		+ (Зх -	·3 In (sin 7х) +	arctg (3х - 5)· _.1 - Х
У	1		Б)2	SIП 7Х
			Х 7 cos 7х.
Отсюда
у'=	(sin 7х)агсtg(зх-s)(31п(sin 7х) +			7 arctg (Зх-5).cos 7Х).
			1+ (3х-Б?	sin 7х

14. у = V(X+5)6 /«x-I)2(x+3».

~Применяя метод логарифмического дифференци­

рования (см. § 6.2), последовательно находим:

. In у=

~

In (х+

5) - 2 In (х-

1) -

5 In (х+

3),

1,

6

2

Б

уу

=

7(х+Б) -

-х=т - х+З'

У

,

V(х+Б)6

(6

2

Б )

= (х_I)2(х+З)5

7(х+Б)

-

х-I

-

х+3

.

•

ИД3-6.2

1. Найти у' и у".

1.2. х2/5 + у2j7 =

1.1. у2 =

8х.

1.

1.3. У = х +

arctg у.

1.4. х2/5

+ у2/3 =

1.

1.5. у2 =

25х -

4.

1.6. arcctg у =

4х +

5у.

1.7. у2 -x=cos у.

1.8.

3х + sin у = 5у.

1.9. tg у = 3х

+ 5у.

1.10.

ху =

ctg у.

1.11. у=еУ+4х.

1.12.

In у -

у/х =

7.

1.13. y2+ r

=siny.

1.14.

еУ =

4х -7у.

1.15.4sin2 (x+y)=x.

1.16. sin у = 7х +

3у.

1.17. tg у =

4у -5х.

1.18. у=7х-сt

у.

1.19. xv - 6 =

cos у.

1.20.

3у =

7 +

хуз.

1.21. У =

х + In (у/х).

1.22. x~2

-

3

4х - 5.

V2

1.23. х2у2

+

х =

5у.

1.24. х +х у +у=4.

1.25. sin у =

ху2 +

5.

1.26. х3 +

у3 =

5х.

1.27. -{; +-{у=-J7.

1.28. у2 =

(х -

у)/(х +у).

1.29. sin 2 (3х +

у2) = 5.

1.30. ctg2 (х +

у) =

5х.

2. Найти у' и у".

2 1

{Х = t2t +

3) cos t,

22 {Х=2 cos

2

t,

••

У =

3t3 •

••

У =

3 sin 2

t.

2 3

{x=6COS3

t,

4

Х =

1/ (' +2),

••

У =

2 sin

3

t.

{У =

(t/(t + 2»2.

2..

-21

,

2.6. {Х=.;t,

25• •

{ х=е41

у=е.

y=V!.

221

{Х= 4t +2t 2,

2.9.у = Бt3 _ 3t2 •

2.11. {Х =		е c?s t,
	у =	е SIП t.
2.13. {Х =		5 c?s t,
	у=4 sIП t.
2. 15.	bt=arctgt,
	ГУ =	In (1	+(2 ).
2 17	{Х =	3(t -	sin (),
· •	У =	3( 1 - cos t).

2.19.{уХ = sin 2t,

=cos 2 (.

221	{Х =	(ln t)/t,
•	• У =	t2 In t.

223	X=I/(t+I),
· . { y=(t/(t+I»2.

2·25		Х= е-Зt,
	. {у=е8/.
2•27	.	Х = In 2 t,
		{y=t+!nt.
229	•	{Х = 6t2-4,
•		У = 3/5.

28 {X=~,

. : y=(t+ I)/~.

2.10. {x=(ln t)/t, y=tlnt.

{Х- t4

2.12. =1 n't .

у-

2 14 {х = 5 cos2 t,

.. y=3sin 2 t.

2.16. {Х =		arcsin (,
	y=-.fI=f.
218	{х =	3(sin t - t cos t),
.. У =		3(cos t +t sin t).
2.20.	{Х - еЗt
	У -	е-'Зt.
.2.22. {Х =		arccos t,
		L г.-д
	У =\/ I-t-.
2.24. {Х=5SiпЗ t,
	y=3cosз t.
2.26. {Х=		i!.a_-1)2,
	y=~
2 28	{Х = М,
. .	y=t/e.
230	{Х =	arcsin /,
. •	У = 'П (.

3. Для данной			функции			у и аргумента Хо вычислить
у'" (Хо).
3.1. У =		sin 2 х,	Хо = л/2.				3.2. у =	arctg х,	Хо = 1.
3.3. У = 'П (2 + х2), Хо =						О.	3.4. у =	е" cos Х,	ХО = О.
3.5. У =		е" sin 2х,		хо =	О.		3.6. у =	е-" cos х, хо = О.
3.7. y=sin 2х, хо=л.							3.8. у=(2х+ 1)5, хо= 1.
3.9.	У =	In (1 +х),		Хо =	2.		3.10. У =	i-re",	Хо = О.
3.11.	У =	arcsin х,		Хо =	О.		3.12. У =	(5х - 4)5, Хо = 2.
3.13.	У = Х sin х, Хо = л/2.						3.14. у = х2 In х,		хо = 1/3.

3.15.У = Х sin 2х, Хо =-л/4.

3.16.y=xcos2x, хо=л/12.

3.17. у = х· In х, хо = 1. 3.18. y=x+arctg х, хо= 1.

3.19.y=cos2 x, хо=л/4. 3.20. y=ln(x2 -4), Хо=3.

3.21.у = r cos х, хо = л/2.

222

3.22.У = х arccos х, хо =-{3/2.

3.23.У =(х+ 1) In (х+ 1), хо = -1/2.

3.24. У = In3 х, хо = 1.

3.25. У = 2Х', хо = 1.

3.26.у=(4х-3)5, хо= 1.

3.27.y=xarcctgx, хо=2. 3.28. у=(7х-4)6, хо= 1.

3.29. У = х sin 2х, хо = л/4.

3.30. у = sin (х3 + л), хо = v;..

4. Записать формулу для производной n-го порядка

указанной фуикции.

4.1.	у =	In х.
4.3.	у =	2Х •

4.5.у = sin х.

4.7.у = e- zx.

4.9.у=-Гх.

4.11. у= Цх-3). 4.13. у = е4Х• 4.15. у=5Х •

4.17. у = In (4 + х). 4.19. У = !ОХ.

4.21. У = cos 3х.

4.23. у= _Х_.

х+5

4.25. у =-vх+ 7. 4.27. у= Х~З'

1

4.29. у = 1 +х .

4.2.У = I/x.

4.4.у = cos х.

4.6. у= 1/(x+5).

4.8.У = In (3 +х).

4.10.У = хе3Х•

4.12. y=ln(5+x2 ).

4.14.у= 1/(x-7).

4.16.у = е-5х •

4.18.У = I/(x - 6).

4.20.у=7Х •

4.22. У = In (3х - 5).

I

4.24. y=ln-- .

4-х

4.26. у = хебх •

4.28.у = 1$'

4.30.у = In (5х - 1).

	5. Решить следующие задачи.
	5.1. Записать уравнение касательной к кривой у =								х2 _
-7х + 3 в точке с абсциссой х = 1.
	5.2.	Записать	уравнение	нормали	к	кривой		у =	х2 -
-	16х +7 в точке с абсциссой х = 1.								у =
	5.3.	Записать	уравнение	касательной к			линни
=-vх		4 в точке с абсциссой х = 8.
.	5.4. Записать уравнение нормали к линии у = -vх+4
в точке с абсциссой х = - 3.
	5.5. Записать		уравнение касательной				к	кривой
у=х3 -2х2 +4х-7 в точке				(2, 1).
	5.6.	Записать	уравнение	нормали	к	кривой		у =	х3 _
-	5х2 +7х - 2 в точке (1, 1).

223

5.7. Определить угловой коэффициент касательной

к кривой х2 -!/+ху-ll =0 в точке (3,2).

5.8. В какой точке кривой у2 = 4х3 касательная пер­
пендикулярна к прямой Х + 3у -	1 = о?
5.9. Записать уравнение касательной к кривой у = r-
:..... 6х +2 в точке с абсциссой Х =	2.

5.10.	Записать уравнение касательной к кривой у =
= х2/4 -	Х +5 в точке с абсциссой Х = 4.

5.11.Записать уравнение нормали к кривой у = х4/4-

-27х +60 в точке с абсциссой Х = 2.

	5.12. Записать	уравнение	касательной	к	кривой
у=	- ~ +7х - 15/2 в точке с		абсциссой Х= 3.
	5.13. Записать	уравнение	нормали к	кривой у =
=	3 tg 2х + 1 в точке с абсциссой Х = л/2.
	5.14. Записать	уравнение	касательной	к	кривой

у= 4 tg 3х в точке с абсциссой Х = л/9.

5.15.Записать уравнение нормали к кривой у = 6 tg 5х в точке с абсциссой Х= л/20.

5.16. Записать уравнение касательной к кривой

у= 4 sin 6х в точке с абсциссой Х = л/18.

5.17.Выяснить, в каких точках кривой у = sin 2х каса­

тельная составляет с осью ОХ угол л/4.

5.18. Выяснить, в какой точке кривой у = 2х3 - 1

касательная составляет с осью ОХ угол л/3.

5.19.

Выяснить,

в

какой

точке

кривой

у =

х3/3 -

- х2/2 -

7Х +9

касательная составляет с осью

ОХ угол

-л/4.

х3/3 -

5.20.

Выяснить, в каких точках

кривой

у =

- 5х2 /2

+7Х +

4

касательная

составляет

с

осью

ОХ

угол л/4.

у = х3/3 -

9х2/2 +

5.21.

Найти

точки

на

кривой

+ 20х -7, в которых касательные

параллельны оси ОХ.

5.22.

Найти точку на кривой у =

х4/4 -7, касательная

в которой параллельна прямой у =

8х - 4.

+4х + 7, ка­

5.23.

Найти

точку

на кривой

у =

-зх2

сательная в которой перпендикулярна к прямой Х -

20у

+

+5=0.

4х +6,

5.24.

Найти

точку

на кривой

у =

зх2 -

каса­

тельная

в которой параллельна прямой 8х - у -

5 =

о.

5.25.

Найти

точку

на кривой

у =

5х2 -

4х

+

1,

каса­

тельная

в которой

перпендикулярна

к прямой Х

+6у

+

+15=0.

5.26.Найти точку на кривой у = зх2 - 5х - 11, каса­

+10 = о.тельная

224

5.27. Найти точку

на кривой у =

_х2 + 7х + 16, ка­

сательная в которой параллельна прямой

у =

3х +4.

5.28.

Выяснить, в какой точке кривой у = 4х2 -

10х +

+ 13

касательная

параллельна

прямой

у = 6х - 7.

5.29. Выяснить, в какой точке кривой у =

7х2

-

5х + 4

касательная перпендикулярна к прямой 23у

+ х -

1 = о.

5.30. Выяснить, в какой точке кривой у =

~/4 -

7х+5

касательная параллельна прямой у =

2х+5.

6. Решить следующие задачи.

6.1.

Траектория

движения

тела -

кубическая

пара­

бoлa 12у = х3 . В каких ее точках

скорости

возрастания

абсциссы

и

ординаты

одинаковы?

(Ответ:

(2,

2/3),

(-2, -2/3).)

6.2. Закон движения материащ,ной точки s = зt2/4 -

-

3t +

7.

В какой момент времени скорость ее движения

будет равна 2 м/с?

(Ответ: 10/3 с.)

6.3. По оси Ох движутся две материальные точки,

законы движения которых х =

4t 2 -

7 и х = 3t 2 -

4t + 38.

С

какой

скоростью

эти точки

удаляются

друг

от друга

в момент

встречи?

(Ответ: 40 м/с или 26 м/с.)

6.4.

Материальная

точка

движется

по

гиперболе

ху = 12

так,

что ее абсцисса

х равномерно

возрастает

со скоростью 1 м/с. с какой скоростью изменяется орди­

ната точки, когда она проходит положение (6, 2)?

(ОТ­

вет: -1/3 м/с.)

6.5.

в какой точке

параболы у2 = 4х ордината возра­

стает вдвое быстрее, чем

абсцисса? (Ответ: (1/4,

1).)

6.6. Закон

движения

материальной

точки

s =

t4 -

-3t 2 +

2t -

4. Найти скорость движения точки в момент

времени

t =

2 с.

(Ответ: 22 м/с.)

s = 3t 4 -

6.7. Закон

движения

материальной точки

-

t 3 + 4t 2 + 6.

Найти

скорость ее движения

в момент

времени t =

2 с.

(Ответ: 100 м/с.)

6.8.

Закон

движения

материальной

точки

s =

=

4 cos (~

+ :) + 6.

Найти ее скорость

в

момент

вре­

мени t =

л с. (Ответ:

-

1

м/с.)

6.9.

Закон

движения

материальной

точки

s =

=

4 sin (~

+ ~) - 8.

Найти ее скорость

в

момент

вре­

мени t =

л/2

с.

(Ответ: 2/3 м/с.)

6.10.

Закон

движения

материальной

точки

s =

=

- 3 cos (~

+ l~) + 10.

Найти ее скорость в момент

времени t =

л/3

с. (Ответ:

3/8 м/с.)

225

	6.11. Закон движения материальной точки s =						~ t3 - '
-	-} /? + 7.		В какой момент времени ее скорость				будет
равна 42 м/с? (Ответ: 3 с.)							4t3 -
	6.12. Закон движения				материальной точки s =
-	2/ + 11.		В какой момент времени ее скорость				будет
равна 190 м/с?				(Ответ: 4 с.)			s =
	6.13.	Закон		движения	материальной	точки
	5	2/	+7.		.
=	"3 t3 -			Найти скорость ее движения в момент
вреМЕ:НИ		/ =	4 с.	(Ответ: 78 м/с.)
	6.14.	Закон движения материальной точки s =					2t 5 -
-	бt3 -	58.	Найти скорость ее движения в момент вре­
мени / = 2 с. (Ответ: 88 м/с.)
	6.15. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы движения которых х = 3t2 - 8 и х =						2/2 +	5/ + 6.

С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга

вмомент встречи? (Ответ: 42 м/с, 33 м/с.)

6.16.По оси Ох движутся две материальные точки,

+6 и х = 4/2 + 18.законы

С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в

момент встречи? (Ответ: 39 м/с, 32 м/с.)

6.17. По оси Ох движутся две материальные точки,

закоиы движения	которых х = : /3 -7t + 16 и х=
= t3 + 2t2 +5t - 8.	В какой момент времеии их скорости

окажутся равными? (Ответ: 6 с.)

6.18.	Закон движения материальной точки s = ~ t3 _
- 2t2 -	11/ + 275. В какой момент времени скорость			ее
движения будет равна 10 м/с?		(Ответ: 7 с.)
6.19.	Материальная точка	движется	по гиперболе
ху = 20 так, что ее абсцисса равномерно			возрастает	со

скоростью 1 м/с. с какой скоростью изменяется ее

орднната, когда точка проходит положение (4, 5) ?

(Ответ: -1,25 м/с.)

6.20.в какой точке параболы !I = 8х ордината возра­

стает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/2, 2).)

6.21.По оси Ох движутся две материальные точки,

+2t + 6 и х = 4t2 +

+3t + 18. С какой скоростью удаляются эти точкизаконы

друг от друга в момент встречи? (Ответ: 42 м/с или

35м/с.)

6.22.в какой точке крнвой !I = 16х ордината воэра-

226

стает в четыре раза быстрее, чем абсцисса? (Ответ:

(1/4, 2).)

6.23.В какой точке параболы х2 = 9у абсцисса возра­

стает вдвое быстрее, чем ордината? (Ответ: (9/4,9/16).)

6.24.В какой точке параболы х2 = 10у абсцисса

возрастает в пять раз быстрее,					чем ордината? (Ответ:
(1;	0,1).)
	6.25. По оси Ох движутся две материальные точки,
законы		движения	которых	х = 2t 3 - 2t		2+ 6t -	7	и
Х=	~ t 3 -	t 2 + 14t +4. В какой			момент времени их ско­
рости будут равными? (Ответ:				4 с.)
	6.26. Закон движения материальной точки по прямой
задан формулой s =			+t 3 - {- t 2 -		ЗОt + 18.	В какой		мо­
мент времени скорость точки будет равна						нулю? (ОТ­
вет: 6 с.)
	6.27.	Тело движется по прямой Ох по				закону	Х =
= {- t3 -		2. t2 + 10/ -	16. Определить скорость и ускоре­
ние движ~ния тела. В какие моменты времени оно
меняет направление движения?				(Ответ: 2 с, 5 с.)
	6.28. Зависимость между массой Х кг вещества, полу­

чаемого в некоторой химической реакции, и временем t

выражается уравнением Х = 7(1 - е-4/). Определить ско­

рость реакции в случае, когда t = О с. (Ответ: 28 кг/с.)

6.29. Материальная точка движется прямолинейно так,

что v 2 = 6х, где v - скорость; Х - пройденный путь. Опре­

делить ускорение движения точки в момент, когда ско­

рость равна 6 м/с. (Ответ: 1/2 м/с2.)							s = 3t +
+	6.30. Закон движения материальной точки
	/3.	Найти скорость ее		движения	в	момент	времени
t =	2с. (Ответ:		15 м/с.)
			Решение типового варианта
	1.	Найти у'	и у", если X3~ - у2 =		6х.
	~	Имеем	равенство	3Х у +х3у' -		2уу' = 6,	откуда
			у' = (6 - Зх2у)/(х3 -		2у).
	Продифференцировав обе части предыдущего равен­
ства,		получим
		6ху +3х2у' + 3х2у' + хЗу" - 2у? -				2уу" =	О,

откуда

у"(~ - 2у) = 2у,2 - 6х2у' - 6ху,

227

У" =2 (6_3х2у)2 -6х2	6-3ry _~. ~
(х3 - 2у)3	(r - 2yi r-2y

2.Найти У' и у", если

х= з/4 - t2 ,}

y=t3 -5.

~Так как

	х' = 12t3		-	2t,}	х" = 36t2 -			2,}
	У' = 3t 2			И	У" = 6t,
то
	,_ yf		_	3t2			3t
	УХ -	-;г	-	12t3 _	2t	-	12t2-	2 '
••" _	ф'if -	xf' ift	_	6t(12t3 -		2t) -	(36t 2 -	2)· зе
ух -	xr'		-			(12t 3 _ 2t)3			-
_	72t4 - 12t 2 -		108t4 + 6t 2		_	_	3(бt2	+ 1)	~
-	(12t 3 -		2t'f		-		4t(6t 2 - I?·
3. Найти У'"( : ),			если У = {- -				+cos2 х.

~Последовательно находим:

У' =	~ cos х . sin х =	~ sin 2х
	2	4'
У" =	+cos 2х, У'" =	-	sin 2х,
у'"(л/4) = -sin (л/2) =			-1. ~

4. Записать формулу для производиой n-го порядка,

если y=x~.

~ Имеем:

У' = ~ + хеХ , у" = ~ + ~ +x~ = 2еХ + хеХ •

У'" =·2~ + ~ + хеХ = 3еХ + x~.

Сравнив полученные выражения дЛЯ У', У" и У"', за­

пишем:

Y<n)=n~ +x~. ~

5. Записать уравнение касательной к кривой У = х2 -

-	9х -	4 в точке с абсциссой х =		-	1.	1 + 9 - 4 = 6.
	~ Ордината		точки касания	у( -	1) =
В	любой точке		У' = 2х - 9. В точке		касания у'( -1) =
=	~ 11.	Поэтому имеем уравнение касательной (по точке
(-1, 6)		и угловому коэффициенту		-11):
		У - 6 =	-11 (х + 1), У =	-llx -		5. ~

228

6. По оси Ох движутся две материальные точки, законы

tЗ	4 и Х2 =	7	12t +3 (х-
движения которых ХI ="3 -		2" (2 -

в метрах, t - в секундах). В какой момент времени их

скорости окажутся равными?

~ Находим скорости обеих точек: xf = t2 , ~ = 7( - 12.

Так как xf=x~, то (2=7t-12, t 2 -7t+ 12=0, tl =3 С, t2 = 4 с. •

ИД3-6.3

Найти указанные пределы, используя правило Ло­

питаля.

1

1. 1.

·

In(x+5)

.

1.2.

•

аlПХ_х

11т

11т

.

x~oo Vх+З

x~O

х-I

1.3.

lim

tg х - х

1.4.

1im 1 - 4 sin 2 (пх/6)

x~O

х- sin х

х.... 1

1 _х2

1.5.

1im arcsin ~ . ctg (х - а).

х_й

а

1.6.

lim

(л -

2 arctg х) 'П х.

lim (_1__ _х_).

1.7.

lim

(al

/

x -

I)x.

1.8.

x~oo

1..9

x~oo

x~1

In х

In х

11т

2

.

2'

1.10. liт

tg х -

х

·

1 -

cos r

2 sin х + х •

x~O

Х

-

slП Х

x~O

1..11

·

е I/x' -

1

·

хЗ -

2х2

-

Х +'2

11т

2 arctg х

2

1. 12. 11т

3

.

.•

x~oo

- n

x~1

Х -7х+6

1.13.

lim х cos х -

sin х .

1.14.

Hт~.

х-о

х3

х-+оо х 5

1.15.

I - x

1.16.

Iiт

In х .

lim -:-------,--

х->'I 1 - sin (пх/2)

x_~

v;

1.17.

lim

ch х-I

1.18.

lim

п/х

1 -

cos х

x~O ctg (пх/2)

1.19.

lim

l/cos2 х- 2 tg х

·

In (sin mх)

.

1 + cos 4х

1.2О. 11т

In (sin х)

x~,,/4

x~O

1.21.

lim~.

1.22.

lim (I -

cos х) ctg х.

x~,,/2

tg 5х

Х-+О .

1.23.

lim (1

-

х) tg (лхj2).

1.24.

liт

х

sih (Зjх).

~x-l

x~oo

229

1.25.	lim	У,+2х+l		1.26.	lim	х cos х - sin х .
		~+x			x~o				r
	x~-I
1.27.	lim	'-х	,	1.28.	Iiт tg x-sin х
	x~1 1 - sin (пх/2)				х....о	4х -		sin х '
	'	tg 3х		1.30.	1im	sec		2	х - 2 tg х
1.29. l Im -- .
	X~1!/2	tg 5х			X~1!/4		1 + cos 4х
				2

2••1	'	1 -	cos 8х
	l1т	tg	2	'
	x~o		2х
2.3. liт In x·ln (x-I),
	x~1

2.5.	'	(		1
	l 1т
	x~1		2(1 _-{;)
	'	е'" -		t!x
2•6. lIm ---
	x~o		sin х
2.8. Iim (л -				х)		tg (xj2),
	X~1!
2.10.	Iiт			1 -	sin ах ,
	x~,,/(2а)			(2ах - п)2
2.12.	'		~-I				.
	l 1т		'П (1 + 2х)
	нО
2.14.	lim~
	x~1		1 _х3		'
2.16. lim I-cosax .
	x~O		1 -cos Ьх
	'		~-I
2..18 lIm -- .
	x~		sin 2х
2.20.	lim( - I --- I),
	х....о		х	sin	х			r
	'		аХ __ ЬХ
2.22.	l 1т					.
	х....о		x-.../I-r
2.24.	'	erгГx_,				,
	l 1т

х....о -.../sin Ьх

,еХ

2.26.11т - 5 '

ноо Х

2.2.lim х4 sin (ajx),

x~oo

2.4.				lim(-I- -			2 5	),
			x~3 х-з				Х -х-б
2.7.				lim	(_х		п	)
				X~1!/2	ctg х		2 cos х •
2.9.				lim х - a~ctg х •
				Х-+О		Х
2.11.				lim	1 - 2 sin х
				X~1!/6		cos Зх
2	•	13	•	l'	ах -	1
				x~ сХ_1 •
2.15.				Hт~.
				x~1	ctg	х
2.17. Iim					х-а
				х-+а х!' - d'
2.19.				lim (х In х),
				x~o

2.21.lim (1 - е2х) ctg х.

х....о

2.23.	•	ex'_I_x3
	11т		2
	х-+О		sin 2х
	'		2
2.25.			ln.,..("...'.-:+,---x.f...)_
	l 1т .
	х-+О	cos 3х - е-К
2.27.	lim		'п (х+ 7)
	ж-++ 00		Vх-з·

230