Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

9

По размерности выделяют: квадратную, строчную, столбцовую матри-

цы.

Матрица размерности m×1, то есть имеющая один столбец, называется

столбцовой, или матрицей – столбцом, например:

	1				1
			, А4×1		0
А2×1 =	5			=		.
					4
Матрица размерности 1×n, то есть имеющая одну строку, называется
строчной, или матрицей – строкой, например,
А1×7 = 3 0			5 6	1		2 8 .

Матрица размерности n×n, то есть имеющая одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной n-го порядка. Элементы а11, а22, а33,…, аnn образуют главную диагональ квадратной матрицы:

a11	a12		...	a1n
a	a		...	a
Аn×n = 21		22	...	2n .
... ...				...
an1	an2		...	ann

По виду элементов выделяют: нулевую, диагональную, единичную, симметрическую, кососимметрическую, треугольную матрицы.

Матрица произвольной размерности, все элементы которой равны ну-

лю, называется нулевой, например:
A2×3		0	0	0		, O2×2		0	0
	=	0	0	0			=	0	0	.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей, например:

		1	0	0
D3×3		0	2	0
	=				.
		0	0	5

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны

единице, называется единичной, например:

						1	0	0	0
	= 1	0				0	1	0	0
Е2×2				, Е4×4	=					.
	0	1				0	0	1	0
						0	0	0	1

Квадратная матрица, у которой все элементы ниже (выше) главной диагонали равны нулю, а остальные ненулевые, называется верхней (нижней)

треугольной, например:

	10
		1	2	4
А3×3		0	5	6
	=				.
		0	0	3

Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию аij=аji, называется симметрической, например:

		1	3	9
А3×3		3	6	8		, где а12	= а21	= 3, а13	= а31 = 9, а32 = а23 = –8.
	=
		9	8	7

Квадратная матрица, все элементы которой удовлетворяют условию аij= –аij, а элементы главной диагонали равны 0, называется кососимметрической, например:

		0	5	3	1
		5	0	4	7
А3×3	=					.
		3	4	0	2
		1	7	2	0

1.1.2. Действия над матрицами и их свойства

Над матрицами можно выполнять действия: сложение матриц, умножение матрицы на действительное число, умножение матрицы на матрицу, возведение матрицы в степень, транспонирование матрицы.

Определение 1. Суммой матриц Аm×n и Bm×n называется матрица Cm×n, каждый элемент которой сij равен сумме соответствующих элементов матриц

A и B:

сij = аij + bij, Cm×n = Аm×n + Bm×n. (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Разность матриц определяется аналогично сумме.

Например, требуется найти сумму и разность матриц А и В, где

		1	6				2			4
А3×2		2	4		, B3×2 =			3		7
	=										.
			9					8
Тогда	3									11
	1 2				6 4			1 10
А+В		2 3			4 7				5		3		;
	=
		3	8		9 11				5	2

11

1 2		6 4			3	2
	2 3	4 7			1
А – В =						11 .
	3 8				11	20
		9 11

Известны следующие свойства сложения матриц:

1.А + В = В + А (коммутативность);

2.(А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность);

3.А + 0 = 0, где 0 – нулевая матрица.

Определение 2. Произведением матрицы Аm×n и число α называется матрица Cm×n, каждый элемент которой является произведением соответст-

вующего элемента матрицы А и числа α:
cij	α aij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).
Например:		1	2	3			3 6	9
C2 3 3
	A2 3 3	5	1	4			15 3	12	.

Произведение матрицы А на число α обладает следующими свойства-

ми:

1.α A A α(коммутативность);

2.1 A A;

3.0 A 0, где 0 – нулевая матрица;

4.α β A α β A (ассоциативность, относительно чисел);

5.α β A α A β A (дистрибутивность, относительно чисел);

6.α A B α A α B (дистрибутивность, относительно матриц).

Определение 3. Произведением матриц Аm×k и Bk×n называется матри-

ца Cm×n, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-

той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В:
	Аm×k Bk×n = Cm×n..
Например:						10	1
	C2×2 = А2×3 B3×2 = 1		2	0
					·	2	0
		1	1	1
						1	3
	1 10 2 2 0 1 1 1 2 0 0 3								6	1
	1 10 1 2 1 1	1 1 1 0 1 3							11	2 .

Из определения произведения матриц А и В следует, что умножение матрицы А на матрицу В можно выполнить только тогда, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. Поэтому умножение двух матриц не всегда коммутативно, т.е. в общем случае А ·В ≠ В ·А.

12

Определение 4. Если A В = В ·А, то матрицы называются перестановочными (коммутативными).

Известны следующие свойства умножения матриц: 1. А · (В · С) = (А · В) · С; 2. α · (А · В ) = (α ·А) ·В = А · (α · В); 3. (А+В) · С = А · С + В · С;

4. С · (А +В) = С · А + С · В; 5. А · Е = Е · А, где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица той же размерности.

Определение 5. Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие аТij = aji, где аТij – элемент матрицы АТ, аij – элемент матрицы А, например:

	1	2	3				1		5
					, А	Т		2	6		.
А =	5	6	7			=
									7
							3

Свойства транспонированной матрицы:

1.(АТ)Т = А;

2.(А+В)Т = АТ + ВТ;

3.(А·В)Т = ВТ · АТ.

Осуществление операции возведения матрицы в степень проиллюстрируем следующим примером.

Пусть требуется найти А3, если А= 3								2	.
							1	4
Сначала вычислим квадрат матрицы, А2:
3	2 3				2			9 2		6 8	11 14
А2 =А · А=	4			1	4			3 4				7 18
1										2 16
11	14			3	2			33 14		22 56			47		78
Теперь А3 =А2·А =	18			1	4			21	18	14 72			39		86
7

13

ЛЕКЦИЯ 1.2. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1.2.1. Понятие об определителе второго, третьего и n-го порядка порядков. Свойства определителей

Определение 1. Каждой квадратной матрице

a11	а12		...	a1n
a	a		...	a
Аn ×n = 21		22	...	2n .
... ...				...
an1	an2		...	ann

можно однозначно поставить в соответствие число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы n-го порядка:

		a11	a12	...	a1n
А = det A = |A|		a21	a22	...	a2n		.
		... ... ... ...
		an1	an2	...	ann

Таким образом, определитель можно считать числовой характеристикой квадратной матрицы, а порядок определителя соответствует порядку этой матрицы.

Понятие определителя и способы вычисления определителей (чаще третьего порядка) используются в теории подобия и анализа размерностей при моделировании геологоразведочных процессов. Так как, осуществляя переход от одних единиц измерения к другим, приходится решать систему линейных уравнений, которые мы введем позже.

Определитель второго порядка det A =

а11

а12

– это число, равное

а

а

a11 a22 a21 a12 .

21

22

Например:

1

2

1

2

= –1·6 – 4·2 = – 6 – 8 = – 14.

А =

6

, det A =

4

6

4

Определитель третьего порядка det A =

а11 а12 а13

а21

а22

а23

– это число,

равное

а31 а32 а33

a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a21 a12 a33.

Например:

									14
	1	2	1				1	2	1
	4	5	1		, det A =		4	5	1	=0 + 12 + (–28) – ( –30) – 7 – 0 = 7.
А =
	6	7	0				6	7	0

Удобнее при вычислении определителей второго и третьего порядков использовать схемы (рис.1.2.1):

Рис. 1.2.1

Известны следующие свойства определителей:

1.Величина определителя не изменяется при транспонировании соответствующей матрицы.

2.При перемене местами двух строк (столбцов) определителя он меняет знак.

3.Если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

4.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на число и сложить с соответствующими элементами другой строки (столбца), то величина определителя не изменится.

5.Если в определителе две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

6.Если определитель содержит строки (столбцы), соответствующие элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.

7.Если определитель содержит строки (столбцы), соответствующие элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.

8.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме одной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:

a11 b11

a12 b12

a13 b13

a11

a12

a13

b11

b12

b13

a21

а22

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

.

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

15

9. Определитель произведения двух матриц равен произведению определите-

лей матриц сомножителей:

det(A B) det A det B

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

a11	a12	...	a1n
0	a22	...	a2n	a	a	... a .
... ... ... ...				11	22	nn
0	0	...	ann

Определение 2. Определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, называется минором элемента aij , обозна-

чается Mij , например:
		3	1	4			. M13		5		7		5, M21		1	4		6 .
		5	7		8
		0	1		2				0		1				1	2
Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента aij называется
минор, взятый со знаком (–1)i+j, обозначается Аij:
							M			ij	, i j 2k ;
Aij ( 1)i j																гдеk N.
					Mij
							Mij , i j 2k 1.

Например: А13= (–1)1+3. М13= 5, А21= (–1)2+1. М21= – 6 .

Теорема Лапласа (о разложении определителя по элементам стро-

ки (столбца)). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, то есть

	a11	a12	...	a1n		ai1 Ai1		ai2	Ai2		K ain Ain , det A aij Aij ,
	a21	a22	...	a2n
											n
	... ... ... ...										j 1
	an1	an2	...	ann
где i 1,2,...,n
Пример.							2	4	6
Вычислить определитель							0	1	2	двумя способами: а) по правилу
							3	5	1

Саррюса; б) разложив по элементам строки (столбца).

Решение

																				16
		2		4		6		2			4
а)		0	1		2			0 1 2 1 1 4 2 3 6 0 5 6 1 3 2 2 5 4 0 1 12
		3		5		1		3			5
б) Выполним разложение по элементам второй строки, так как среди ее
элементов есть ноль:
			2		4	6				a						A	a		A	a		A	a		( 1)2 1 M					a
			0		1		2											22			23								21				22
											21				21				22			23	21
			3		5	1
		( 1)2 2 M22											a23 ( 1)2 3 M23									0 ( 1)3			4	6		1 ( 1)4				2		6
																									5	1						3		1
		2 ( 1)5										2	4			0 1 (2 18) 2 ( 1) (10 12) 16 4 12.
												3	5

1.2.2. Методы вычисления определителей

Применяя свойства и схемы вычисления определителей второго и третьего порядков можно считать определители более высоких порядков.

Рассмотрим алгоритм вычисления определителей методом понижения порядка и методом сведения к треугольному виду.

Чтобы вычислить определитель методом понижения порядка, необходимо:

1.Выбрать строку (столбец), содержащую элемент равный единице и элементы равные нулю. (Если таких элементов нет, то выбирают любую строку (столбец)).

2.Используя свойство 4 (п. 1.2.1), «обнулить» все элементы строки (столбца), кроме одного, то есть добиться того, чтобы все элементы выбранной строки (столбца), кроме одного, стали бы равняться нулю. При обнулении элементов строки (столбца) работают с элементами столбца (строки).

3.Используя теорему Лапласа п. 1.2.1, разложить определитель по элементам выбранной строки (столбца). Получаем определитель (n – 1) - го порядка.

4.Алгоритм выполнять до тех пор, пока в разложении не появится определитель третьего или второго порядка.

Чтобы вычислить определитель методом сведения к треугольному виду, необходимо:

1.Используя свойство 4 (п. 1.2.1), последовательно «обнулить» элементы в каждом из столбцов определителя, расположенные ниже элементов главной диагонали. Таким образом, свести определитель к треугольному виду.

2.Используя свойство 10 (п. 1.2.1), вычислить определитель.

17

Например, требуется вычислить определитель двумя методами: а) методом понижения порядка; б) методом сведения к треугольному виду

	1	2	5	9
	1	1	7	4		.
	1	3	3	4
	1	2	3	4

Вычислим данный определитель двумя способами, в результате должны получить одинаковые ответы.

а) Используя свойство 4 п. 1.2.1 «обнулим» все элементы первой строки, кроме элемента а11 1. Домножим первый столбец на 2 и сложим со вто-

рым; домножим первый столбец на (–5) и сложим с третьим; домножим первый столбец на (–9) и сложим с четвертым. Получим определитель:

1 0 0 0

1	1	2	5
1	5	2	5
1	4	2	5

Разложив полученный определитель по элементам первой строки, получим определитель третьего порядка:

	1	0	0	0		1	2	5		1	2	5
	1	1	2	5
					1 ( 1)1 1	5	2	5		5	2	5	.
	1	5	2	5
	1	4	2	5		4	2	5		4	2	5

В последнем определителе, используя свойство 4 п. 1.2.1, «обнулим» все элементы третьего столбца, кроме элемента а13 5 , и разложим опреде-

литель по элементам этого столбца:

	1	2	5				1	2	5		1 3		4	4
	5	2	5				4	4	0		5 1		3	4
	4	2	5				3	4	0

Таким образом,
		1	2	5	9
		1	1	7	4	5	( 1)4			4	4		5 (4 ( 4) 3 ( 4)) 5 ( 16 12)
		1	3	3	4					3	4
		1	2	3	4

5 ( 4) 20.

18

б) Приведем определитель к треугольному виду. Используем свойство 4 (п. 1.2.1) для того, чтобы получить в каждом столбце определителя ноль ниже элементов главной диагонали.

	1	2 5		9				1	2	5 9			1	2 5		9				1	2	5	9
																				0	1	2	5
	1	1 7		4				0 1		2	5		0	1	2 5
																				0 0		12	20
	1	3 3		4				0	5	2	5		0	0	12 20								10
	1	2 3		4				0	4	2	5		0	0	10 15					0 0		0
																							6
				10				20 .
1 1 ( 12)				6

Сравнивая результаты, приходим к выводу, что расчеты произведены верно.