- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
8. Приближенное вычисление определенного интеграла
Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции . Если можно найти первообразную функции , то интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:
. Но поиск первообразной функции иногда весьма сложен, кроме того не для всякой функции первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых интеграл находится с любой степенью сложности.
8.1. Формулы прямоугольников
П
Рис.9.
8.2. Формула трапеций
Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников. Только на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.
Разобьем отрезок на равных частей с длиной . Абсциссы точек деления . Пусть соответствующие им ординаты графика функции, тогда расчетные формулы для этих значений примут вид: ,. Заменим кривую ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат и . Тогда площадь криволинейной трапеции с основанием , и высотой :
или - это формула трапеций. Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы:
, где - максимальное значение при .
8.3. Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в случае формулы трапеции, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .
Выводить мы ее не будем, а ограничимся записью конечного выражения:
- это так называемая формула Симпсона.
Абсолютная погрешность оценивается соотношением , где - максимальное значение при .
IV. Кратные интегралы
4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области плоскости XOY задана непрерывная функция . Разобьем область на n элементарных областей (рис.1), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшие расстояния между точками области) – через . В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений: . Эта сумма называется интегральной суммой в области . Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Таким образом двойной интеграл определяется равенством . В этом случае функция называется интегрируемой в области , - область интегрирования;
х, у – переменные интегрирования, dxdy (или dS) элемент площади.
Для всякой ли функции существует двойной интеграл? Ответ дает следующая теорема:
Теорема. (Достаточное условие интегрируемости функции) Если функция непрерывна в замкнутой области , то она в этой области интегрируема.
Далее мы будем рассматривать только непрерывные функции, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.