5.4. Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и записи известных сходящихся и расходящихся рядов признак Даламбера позволяет решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , тогда ряд сходится при и расходится при.

Доказательство:

Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число такое, что при выполняется неравенство или (2).

Пусть. Можно подобрать так, что число . Обозначим . Тогда из правой части неравенства (2) получаем или . В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех . Давая номеру эти значения получим целый набор неравенств:

………..

Т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем . Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд . Следовательно, сходится и исходный ряд .

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство или , т.е. члены ряда с увеличением номера возрастают, поэтому . На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.

1. Если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд. Находим . Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

5.5. Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .

При вопрос о сходимости остается открытым. (Без доказательства).

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Так как , то применим признак Коши к ряду . Вычисляем , т.е. этот ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд согласно свойству 1 числовых рядов.

5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывно монотонно убывающей на промежутке функции так, что то

1. если сходится, то сходится и ряд .

2. если расходится, то расходится также и ряд .

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси от до (рис.1). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла можно записать или или (1).

Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку <, то с учетом неравенства (1) имеем , т.е. .Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится, тогда и интеграл неограниченно возрастает при . Учитывая, что (см. 1) получаем, что при . Следовательно, ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому находим . Значит, ряд с общим членом расходится. Ряд , где – действительное число называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования этого ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем: . При имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ ). Итак, гармонический ряд сходится при , расходится при .

Рассмотренные признаки сходимости знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда.