5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Такими рядами называется ряд вида: , где для всех . Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (Признак Лейбница).

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2. общий член ряда стремится к нулю. При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам .

Доказательство:

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа членов ряда. Имеем . Выражения в каждой скобке согласно первому условию теоремы положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера .

С другой стороны , можно переписать так: . Легко увидеть, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что . Т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном , так и при нечетном . Следовательно, наш ряд сходится, причем .

Замечания.

1. Исследование знакочередующихся рядов вида (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда с + первым членом.

2. Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример.

Вычислить сумму ряда . Данный ряд лейбницевского вида. Он сходится. Можно записать . Взяв 5 членов, т.е. заменив на сделаем ошибку, меньшую чем . Итак, .

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечных множеств отрицательных членов, называется знакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство:

Рассмотри вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и .

.

Очевидно, что для всех , но ряд сходится в силу условий теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов , то на основании свойства 2 числовых рядов ряд сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд , то это не означает, что сходится ряд .

Пример.

Исследовать сходимость ряда . Для этого ряда выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов этого ряда, т.е. расходится (гармонический ряд).