6. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько вариантов нахождения интегралов от тригонометрических функций. Для простоты обозначим - функцию с переменными , над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление).

1. вычисление интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной. Действительно, ; ; . Поэтому =, где R₁(t) – рациональная функция от t. Обычно этот способ довольно громоздок, но всегда приводит к определенному результату. На практике применяют и другие более простые подстановки в зависимости от свойств подынтегральной функции.

а) если функция нечетна относительно sinx, т.е. =, то можно применить подстановку cosx=t.

б) если нечетна относительно cosx, т.е. =, то применяют подстановку sinx=t.

в) если функция четная относительно Sinx и Cosx =, то можно использовать подстановку tgx=t. Такая же подстановка используется, если интеграл имеет вид .

г) интеграл типа .

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1. подстановка sinx=t, если n – целое положительное нечетное число.

2. подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число.

3. формулы понижения порядка ,,

, если m,n – целые неотрицательные четные числа.

4. Подстановка tgx=t, если m+n – четное отрицательное целое число.

Пример: ; , тогда

7. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

а) интегралы типа называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их находят следующим образом: под радикалом выделяют полный квадрат:

и делают подстановку.

. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.

Пример: . Т.к. , то

. Сделав подстановку , тогда

.

б) Интегралы типа , где P_n(x) – многочлен степени n можно вычислить пользуясь формулой (1)

где Q_n-1(x) – многочлен степени (n-1) с неопределенными коэффициентами, - также неопределенный коэффициент. Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества получаемого дифференцированием обоих частей равенства. (1)

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

в) Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа , где , b, c, d – действительные числа, - натуральные числа, сводящиеся к интегралам от рациональной функции путем подстановки k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей Действительно из подстановки , следует, что и

, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.

г) Интегралы типа .

Здесь подынтегральная функция – рациональная функция относительно и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , и интегралы данного типа приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т.е. к интегралам типа ;;. Эти интегралы вычисляются с помощью соответствующих тригонометрических подстановок: - для интегралов первого типа, - второго и для интегралов третьего типа.

Следует отметить, что операции интегрирования функции значительно сложнее операции дифференцирования функций на практике при вычислении интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы наиболее часто встречающихся интегралов.

Однако зачастую интеграл выражается через элементарные функции, в этом случае говорят, что интеграл не теряется (или его нельзя найти).

Так, например, нельзя взять интеграл , так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна .