3. Линейные уравнения

Д.У. первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: , где – заданные функции и в частности постоянные.

Особенность этих Д.У. заключается в том, что искомая функция у и ее производная входят в уравнение первой степени не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода решения этих уравнений. (Методы Бернулли и Лагранжа.)

1. Метод Бернулли

В этом случае решение линейного уравнения ищется в виде произведения двух функций, т.е. с помощью подстановки, где и – неизвестные функции от х, причем одна из них произвольная. Так любую у(х) можно записать в виде .

Тогда . Делая подстановку в линейном Д.У. получим или (6).

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим Д.У. . Итак, т.е. или . Ввиду свободы выбора функции можно принять с=1, тогда . Подставляя найденное значение в (6), получим . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его. .Интегрируя получим: . Возвращаясь к переменной у, получим окончательно . Это решение исходного линейного Д.У.

2. Метод Лагранжа

Линейное уравнение решается следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение . Оно называется линейным однородным Д.У. первого порядка. В этом уравнении можно провести разделение переменных. и .Таким образом, , т.е. или , где

Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х). Решение линейного уравнения при этом ищем в виде:

(7)

Найдем производную от этого соотношения. Подставляем значения у и у’ в линейное уравнение.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются и окончательно получим: . Следовательно, . Интегрируя, получим: .

Подставляя выражение с(х) в (7) получим общее решение линейного Д.У. , что совпадает с результатом полученным методом Бернулли.

В заключении отметим, что зачастую метод Лагранжа называют методом вариации произвольной постоянной, что обусловлено тем, что при решении полагают с=с(х).

8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. Так ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде следующего соотношения

или, если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной

(8)

В дальнейшем мы будем, в основном, рассматривать уравнения типа (8).Решением такого уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением такого ДУ называется функция

,

где независящие от постоянные удовлетворяющие условиям:

1) является решением ДУ для каждого фиксированного значения

2) каковым бы ни были начальные условия , существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (8) и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение уравнения (8) полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.

Решения ДУ (8) записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.

Как и в случае уравнения первого порядка, нахождение решения (8) удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши.

Теорема 2. Если в уравнении (8) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области Д изменения переменных и ,

то для всякой точки существует единственное решение уравнения (8) удовлетворяющее начальным условиям.

Аналогичные соображения и понятия можно сформулировать и для ДУ n-го порядка, которое в общем виде можно записать так:

или (9)

если его удается разрешить относительно .

Общим решением ДУ n-го порядка будет являться функция вида содержащей независящие от x постоянные. Начальные условия для ДУ (9) записываются так:

, ,

Решение ДУ (9) получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением. Решить ДУ n-го порядка означает, что найдено его общее или частное решение в зависимости от заданных начальных условий.

Сама задача нахождения решения ДУ n-го порядка гораздо сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь решение отдельных видов ДУ высших порядков.