8.Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правила дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т.е. сохраняет один и тот же вид, независимо от того являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть Z= f(х;у), где x, y – независимые переменные, тогда полный дифференциал (1^ого порядка) имеет вид dZ=

Рассмотрим сложную функцию Z= f(х; у), где x=x(u,), y=y(u,), т.е. функция

Z= f(x(u,), y(u,))=F(u,), где u,- независимые переменные. Тогда имеем:

dZ===()du+()d=

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функции x=x(u,) и y=y(u,). Следовательно, dZ=

9. Дифференцирование неявной функции

Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительно Z. Найдем частные производные функции Z заданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместо Z функцию f(х;у) получим тождество F(x,y, f(х,у))=0. Частные производные по x и y функции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

F(x, y, f (х, у)) ==0 (y считаем постоянным)

F(x, y, f (х, у)) ==0 (x считаем постоянным)

Откуда и

Пример: Найти частные производные функции Z заданной уравнением .

Здесь F(x,y,z)= ; ; ; . По формулам приведенным выше имеем:

и

9. Производная по направлению

Пусть функция двух переменных Z= f(x; у) задана в некоторой окрестности т. М (x, y). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором , где (см. рис.1).

На прямой, проходящей по этому направлению через т. М возьмем т. М₁ () так, что длина отрезка MM₁ равна . Приращение функции f(M) определяется соотношением , где связаны соотношениями . Предел отношения при будет называться производной функции в точке по направлению и обозначаться =. M₁

Рис. 1

Если функция Z дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке с учетом соотношений для может быть записано в следующей форме.

поделив обе части на

и переходя к пределу при получим формулу для производной функции Z= f(х; у) по направлению:

9. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных , дифференцируемую в некоторой точке .

Градиентом этой функции в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в этой точке. Для обозначения градиента используют символ .=.

.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Поскольку единичный вектор имеет координаты (), то производная по направлению для случая функции трех переменных записывается в виде , т.е. имеет формулу скалярного произведения векторов и . Перепишем последнюю формулу в следующем виде:

, где - угол между вектором и . Поскольку , то отсюда следует, что производная функции по направлению принимает max значение при =0, т.е. когда направление векторов и совпадают. При этом , т.е., на самом деле градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.