4.2. Геометрический смысл двойного интеграла

Рассмотрим задачу по определению объема цилиндрического тела. Пусть это тело ограничено сверху поверхностью ≥0. Снизу замкнутой областью плоскости XOY, с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси OZ, а направляющей служит граница области (рис.2.). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область (проекция поверхности на плоскости XOY) произвольным образом на областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбцы с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . На рис.2. один из них выделен. В своей совокупности они составляют тело . Обозначив объем столбика через , получим: .

Возьмем на каждой площади произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра приближено равен объему цилиндрического столбика, т.е. . Тогда получим . Это равенство тем точнее, чем больше число и чем меньше размеры элементарных областей . Естественно принять предел этой суммы при условии, что , а за объем цилиндрического тела, т.е. или записать эту сумму .

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом и состоит геометрический смысл двойного интеграла.

4.3. Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам интеграла от функции одной переменной. Поэтому мы просто ограничимся перечислением этих свойств.

1) , с-const

2)

3) Если область разбить линией на две области D₁ и D₂ такие, что _, а пересечение D₁ и D₂ состоит лишь из линии их разделяющей (рис.3), то _.

4) Если в области имеет место неравенство ≥0 то и . Если в области функция и удовлетворяют неравенству ≥, то и .

5) , так как .

6) Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то , где и - соответственно D наименьшее и наибольшее значение подинтегральной функции в области D.

7) Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что . Величину называют средним значением функции в области .

4.4.Вычисление двойного интеграла

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где непрерывна в . Тогда, как это было показано выше, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем используя метод параллельных сечений. Ранее мы показали, что , где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, а , - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сначала, что область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и и кривыми и , причем функции и

Рис.4.

непрерывны и таковы, что ≤ для всех Х (Рис.4.). Такая область называется правильной в направлении оси оу. Любая прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси ох. . В сечении получим криволинейную трапецию АВС, ограниченную линиями , где , Z=0, и (рис.5). Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла. Теперь согласно методу параллельных сечений искомый объем цилиндрического тела может быть найден так: . С другой стороны, выше мы показали, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции ≥0 по области . Следовательно . Это равенство обычно записывают в виде : . Полученная формула представляет собой способ вычисления двойного интеграла. Правую часть называют двукратным или повторным интегралом функции по области . При этом называют внутренним интегралом. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, затем берем внешний. Т.е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область ограничена прямыми , , кривыми , () для всех у. Т.е. область правильна в направлении оси ох, то рассекая тело плоскостью получим . Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем .

Пример. Вычислить , где ограничена линиями , , . ;