- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
4.5. Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
-
Объем тела
Как уже говорилось, объем цилиндрического тела можно найти по формуле , где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
-
Площадь плоской фигуры
Если положить в формуле для объема тела через двойной интеграл =1, то цилиндрическое тело превратить в прямой цилиндр с высотой Н=1. Объем такого цилиндра численно равен, как известно, площади S основания . При этом получится формула для вычисления площади S области .
-
Масса плоской фигуры
Пусть дана плоская пластина с переменной плотностью γ, которую можно записать как функцию .
Разобьем пластину на элементарные части , площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку . Если область достаточно мала, то плотность в каждой точке этой области мало отличаются друг от друга. Считая эту плотность в величиной постоянной мы можем найти массу : , а так как масса всей пластины , то можно записать . Точное значение m получим, как предел этой суммы при и , т.е. .
-
Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
Статические моменты могут быть вычислены с использованием раннее полученных соотношений по следующим формулам: и , а координаты центра масс фигуры по формулам: и .
4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый тройной интеграл. Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла, поэтому изложим ее в сокращенном виде.
Пусть в замкнутой области V пространства OXYZ задана непрерывная функция . Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой их них произвольную точку составим интегральную сумму для функции по области V (∆Vi – объем элементарной области Vi). Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая Vi стягивается в точку, то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают (или ). Таким образом, по определению получаем . Здесь - элемент объема - диаметр i-области.
Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы при , существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной:
1) , где .
2) .
3) , если , а пересечение V1 и V2 состоит из границы, их разделяющей.
4) , если в V, . Если же в V, , то и .
5) , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.
6) Оценка тройного интеграла
, где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции в области V.
7) Теорема о среднем значении
Если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела.
4.7. Вычисление тройного интеграла.
Вычисление тройного интеграла сводится
к последовательному вычислению трех
определенных интегралов. Пусть областью
интегрирования является тело, ограниченное
снизу поверхностью
,
сверху поверхностью
,
причем
и
(≤)
– непрерывные функции в замкнутой
области
,
являющейся проекцией тела на плоскость
OXY(рис.6). Будем считать
область V правильной в направлении оси
oz, тогда любая прямая,
параллельная оси oz,
пересекает границу области не более,
чем в двух точках. Тогда для любой
непрерывной в области V функции
имеет место соотношение
,
сводящее вычисление тройного интеграла
к вычислению двойного интеграла от
однократного (доказательство этого
соотношения мы упускаем). При этом
сначала вычисляется внутренний интеграл
по переменной Z при
постоянных х и у в пределах изменения
Z. Нижней границей интеграла
является аппликата точки А – точки
входа прямой, параллельной оси oz,
в область V, т.е.
,
верхней границей аппликата точки В –
точки выхода прямой из области V,
т.е.
.
Результат вычисления этого интеграла
есть функция двух переменных х и у. Если
область
ограничена линиями
,
(<b),
и
,
где
и
- непрерывные на отрезке
функции, причем
≤
,то, переходя от двойного интеграла к
повторному получаем ф
Рис.6.
Пример. Вычислить , где V ограничивается плоскостями , , и (рис.7). Область V является правильной в направлении оси oz (как в направлении ох и оу). Ее проекция на плоскость оху является правильной в направлении оу и ох. Поэтому, применяя выше полученное соотношению имеем
.