4. Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть - функция, интегрируемая на .

Теорема: Если - непрерывна на отрезке и ее первообразная на отрезке (=), то имеет место соотношение .

Доказательство:

Для этого отрезок разделим точками на n отрезков. Введем средние точки для каждого из отрезков . Рассмотрим соотношение .

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа .

Получим: ,

т.е. . Т.к. непрерывна на , то она интегрируема на , поэтому перейдя к пределу при . Получим:

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет получить удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от неправильной функции на отрезке надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример:

.

4. Основные свойства определенного интеграла

Если коротко говорить, то основные свойства в этом случае, в основном, совпадают с основными свойствами неопределенного интеграла. Перечислим их:

1.

2. . Интеграл суммы равен сумме интегралов.

3. .

4. если <c<b, то . Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла.

5. Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что .

Доказательство:

По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где . Применяя к разности теорему Лагранжа, получим , но , т.е. ч.т.д.

Число называют средним значением функции на отрезке .

6. Если функция сохраняет знак на отрезке , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так если на , то .

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке , где < , можно интегрировать. Так если при , то . Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции. , a<b.

9. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е. .

Доказательство:

По формуле Ньютона-Лейбница . Следовательно, . Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

4. Вычисление определенного интеграла

1) Наиболее простым способом вычисления определенного интеграла является формула Ньютона-Лейбница. Применить этот способ можно во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции для подынтегральной функции . При вычислении определенных интегралов широко используются методы замены переменной интегрирования по частям.

а) Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка . Причем , а и , тогда .

Пример. Вычислить . Положим , тогда , если , то , если , то . Поэтому

.

б) Интегрирование по частям

Теорема: Если функция и имеют непрерывные производные на отрезке, то должно выполняться соотношение:

- формула интегрирования по частям.

Доказательство.

На отрезке имеет место равенство. Следовательно, функция - есть первообразная для непрерывной функции , тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

отсюда

ч.т.д.

Пример.

Положим:

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

.