-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
1.Структура общего решения лнду второго порядка.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
(20)
Где
- заданные непрерывные на (a,b)
функции ,уравнение
левая часть которого совпадает с левой
частью нашего уравнения называется
соответствующим ему однородным
уравнением .
Теорема : Общим решением
уравнения (20) (y) является
сумма его произвольного частного решения
y* и общего решения
соответствующего однородного уравнения
т.е.
.
Доказательство этой теоремы опустим.
2.Метод вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим ЛНДУ (20) .Его общим решением,
согласно только, что приведенной теоремы
является соотношение
.
Чаcтное решение y*
уравнения (20) можно найти ,если известно
общее решение
соответствующего
однородного уравнения
,
методом вариации произвольных постоянных
(метод Лагранжа), состоящий в следующем.
Пусть
- общее решение однородного уравнения.
Заменим
в общем решении постоянные
и
неизвестными
функциями
и
и
подберем их так, чтобы функция
была
решением уравнения (20).Найдем производную
Подберем функции
и
так, чтобы
,
(21), тогда
, а
.
Подставляя выражения для y*
,
и
в уравнение (20) получим
или…
Поскольку
и
- решение соответствующего однородного
уравнения, то выражения в квадратных
скобках равны нулю, и поэтому
(22)
Таким образом, функция y*
будет частным решением уравнения (20)
если
и
удовлетворяют системе уравнений (21) и (22).
(23)
Определитель системы
,так как это определитель для фундаментальной
системы частных решений
и
однородного уравнения .Поэтому система
(23) должна иметь единственное решение
и
,
где
и
-
некоторые функции от x.
Интегрируя эти функции находим
и
,
а затем , в соответствии с формулой для
у* составляем частное решение уравнения
(20).
Пример :
;
Найдем общее решение
соответствующего однородного уравнения
.
Имеем
Следовательно,
.Теперь
найдем частное решение у* исходного
уравнения .Оно, как говорилось выше,
ищется в виде
.Для
нахождения
и
составим
систему уравнений
Решаем ее
;
Запишем частное решение данного уравнения
.Следовательно,
общее решение данного уравнения имеет
вид
.
При нахождении частных решений ЛНДУ может оказаться полезной следующая теорема:
Теорема: Если правая часть
уравнения (20) представляет собой сумму
двух функций
,
а
и
-
частные решения уравнений
и
соответственно, то функция
является частным решением данного
уравнения.
3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами т.е. уравнение
(24)
Где p и g –
некоторые числа согласно вышеприведенной
теореме.
Общее
решение этого уравнения представляет
собой сумму общего решения
соответствующего
однородного уравнения и частного решения
у* неоднородного. Частное решение может
быть найдено методом вариации произвольных
постоянных.
Однако, для уравнений с постоянными
коэффициентами существует более простой
способ нахождения у* ,если правая часть
уравнения имеет «специальный вид»:
I .
или II.
Cуть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (24) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами , затем подставляют его в уравнение (24) и из полученного тождества находят значение коэффициентов.
Вариант 1. Правая часть имеет вид
,
где
-
многочлен степени n.
Уравнение (24) запишется в виде
(25)
В этом случае частное решение y*
ищется в виде
.
Здесь r – число равное
кратности
,
как корня характеристического уравнения.
(т.е. r – число, показывающее,
сколько раз
является корнем уравнения
),
а
- многочлен степени n ,
записанный с неопределенными коэффициентами
а) Пусть
не является корнем характеристического
уравнения
т.е.
.
Следовательно,
После подстановки функции y*
и ее производных в уравнение (25) и
сокращения на
,
получим :
(26)
Слева многочлен степени n
с неопределенными коэффициентами,
справа – многочлен степени n
, но с известными коэффициентами.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях, получим систему (n
+ 1) алгебраических уравнений для
определения коэффициентов
.
б) Пусть
является однократным (простым) корнем
характеристического уравнения
,т.е.
.
В этом случае искать решение в форме
нельзя
, т.к.
,
и уравнение (26)принимает вид
.
В левой части многочлен степени (n-1) , а в правой многочлен степени n .Чтобы получить тождество многочленов в решении у* нужно иметь многочлен тоже степени
(n-1), поэтому частное
решение у* следует искать в виде
(в
частном решении положить (r
= 1)).
в) Пусть
является двукратным корнем
характеристического уравнения
,
т.е.
.
В этом случае
,
а поэтому уравнение (26) принимает вид
.
Слева стоит многочлен степени n-2.
Понятно, что чтобы иметь слева многочлен
степени n ,частное решение
у* следует искать в виде
( т.е. в частном решении уравнения надо
положить r =2).
Вариант 2. Правая часть уравнения (24) имеет вид
, где
-
многочлены степени n и m
соответственно,
-
действительные числа. Уравнение (24)
запишется в виде
(27)
Можно показать, что в этом случае частное решение у* последнего уравнения следует искать в виде
(28)
, где
r – число , равное кратности
, как корня характеристического уравнения
,
-
многочлены степени
с
неопределенными коэффициентами,
-
наивысшая степень многочленов
,т.е.
=
max (n, m).
Примечания:
-
При подстановке функции (28) в (27) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения .
-
Формула (28) сохраняется и в случаях, когда
. -
Если правая часть уравнения (24) есть сумма вида I или II то для нахождения у* следует использовать теорему о наложении решений.
Пример:
Найдем общее решение
ЛОДУ
,
его характеристическое уравнение
имеет корень
кратности 2. Значит
.
Находим частное решение исходного
уравнения .В нем правая часть
есть формула вида
,
причем
не является корнем характеристического
уравнения
.
Поэтому , частное решение ищем как
частное решение уравнения (25) в виде
,т.е.
,
где A и B –
неопределенные коэффициенты .Тогда
.
Подставив
в исходное уравнение получим
,
или
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
получаем систему уравнений
,
отсюда А=1,В=-2.
Поэтому частное решение данного уравнения
имеет вид
.
Следовательно,
- искомое общее решение уравнения.