- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
-
Экстремум функции двух переменных
Понятия max, min, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция Z= f(x; у) определена в некоторой области D и т. М принадлежит к этой области. Точка М называется точкой max функции Z= f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки , что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство . Аналогичным образом определяется и точка min, только знак неравенства при этом изменится . Значение функции в точке max (min) называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции называются экстремумами.
-
Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема: (Необходимые условия экстремума). Если в точке М дифференцируемая функция Z= f(x; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ,.
Доказательство: зафиксировав одну из переменных x или y, превратим Z= f(x; у) в функцию одной переменной, для экстремума которой вышеописанные условия должны выполняться. Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции Z= f(x; у), касательная плоскость к поверхности, изображающую функцию f(x,y)=Z параллельна плоскости OXY, т.к. уравнение касательной плоскости есть Z=Z0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z= f(x; у) равны нулю, т.е. ,, называются стационарной точкой функции. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например Z=|-| имеет max в точке O(0,0), но не имеет в этой точке производных.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, при Z=xy точка O(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функция Z=xy не имеет. (Т.к. в I и III четвертях Z>0, а в II и IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.
Теорема: (Достаточное условие экстремумов). Пусть в стационарной точке и некоторой окрестности функция f(x; у) имеет непрерывные частные производные до 2ого порядка включительно. Вычислим в точке значения , и . Обозначим
Тогда:
-
если , то f(x; у) в точке имеет экстремум max, если А<0 и min, если А>0.
-
если , то f(x; у) в точке экстремума не имеет.
В случае если , экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
II. Неопределенный интеграл
-
Понятие неопределенного интеграла
В дифференцируемом исчислении мы решали задачу как по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).
F(x) – называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство (или.
Например, первообразной функции является функция , так как .
Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .
Теорема 1. Если F(x) является первообразной функции f(x) на , то множество всех первообразных для f(x) задается формулой , где С – постоянное число.
Док-во. Функция - первообразная f(x). Действительно, . Пусть некоторая другая отличная от первообразная функции , т.е. =. Тогда для любого имеем , а это означает, что , где С - . Следовательно, .
Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом =.
Здесь - называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла – интегрированием этой функции.