- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
III. Определенный интеграл
-
Определение определенного интеграла
Пусть в нашем распоряжении есть функция , определенная на отрезке .
-
Разобьем отрезок на n произвольных частей точками .
-
В каждом из отрезков выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е.величину
-
Умножим найденное значение функции на длину соответствующего отрезка и получим величину .
-
Составим сумму Sn всех таких произведений .Сумма подобного вида называется интегральной суммой функции на отрезке .
-
Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка .
-
Найдем предел интегральной суммы при условии так, что .
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел равный J, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число J называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается . Таким образом, . Числа и b называются нижними и верхними пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - областью интегрирования. Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом участке.
Теор. Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако, неопределенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
-
Геометрический смысл определенного интеграла
П
Рис. 1
С уменьшением всех величин точность приближения S криволинейной трапеции к S прямоугольной увеличивается. Точность записанного выше соотношения возрастает. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда так, что , .
, то есть .
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.
3) Работа переменной силы
Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси OX и имеющей переменную величину . Найдем работу по перемещению точки М на . . Для определения приближенного значения работы на всем участке , нам надо произвести суммирование на всем отрезке.
.
Точность этого равенства возрастает с уменьшением и увеличением n. Поэтому за точное значение работы принимается предел этой суммы
.