1.Решение путем понижения порядка уравнения.

Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению порядок которого ниже.

Рассмотрим три вида уравнений решенных таким способом.

1)

Порядок этого уравнения можно легко понизить введя такую, что , тогда и после подстановки получим ,

решив его, найдем и тогда решая получим общее решение первоначального уравнения .

На практике можно понизить порядок путем последовательного интегрирования уравнения. Т.к. , то наше уравнение можно записать в виде , тогда интегрируя уравнение получим или

Интегрируя последнее уравнение по х найдем

т.е. - общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение ,то проинтегрировав его последовательно n раз ,найдем общее решение уравнения:

Пример:

- общее решение.

2) .

Обозначим ,где - новая неизвестная функция. Тогда и наше уравнение примет вид: . Пусть - общее решение полученного уравнения. Тогда заменяя Р на получаем . Это уравнение можно интегрировать . Частным случаем рассмотренного уравнения является . Оно интегрируется тем же способом : . Получаем с разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида , то его порядок можно понизить на k единиц положив .Тогда и уравнение примет вид

Частным случаем последнего уравнения служит или . С помощью замены это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример: Полагая получим - уравнение с разделяющимися переменными интегрируя получим , возвращаясь к исходной переменной

3) Уравнение вида .

Для понижения порядка этого уравнения введем функцию зависящую от переменной ,полагая . Дифференцируя это равенство по с учетом, что , получим , т.е.

тогда после подстановки получим . Пусть является общим решением этого уравнения. Заменяя функцию на получаем - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его найдем общий интеграл нашего уравнения. . Частным случаем ДУ является уравнение .Это уравнение решается при помощи аналогичной подстановки и .

Точно также решается уравнение , его порядок понижается на единицу заменой по правилу дифференцирования сложной функции .

и т.д.

2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида где -

заданные функции (от) называют линейным ДУ n-го порядка .

Оно содержит искомую функцию и все ее производные лишь в первой степени. Функции называются коэффициентами уравнения, а - его свободным членом .Если то уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением. Если , то уравнение называется неоднородным.

Разделив уравнение на и обозначив

можно записать уравнение в виде приведенного уравнения

(10)

В дальнейшем будем рассматривать уравнения типа (10) считая, что свободный член и коэффициенты являются непрерывными функциями ( на некотором интервале .

1. Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго

порядка (11)

Теорема 3 Если функции и являются частными решениями уравнения (11) , то решением этого уравнения является также функция , где и произвольные постоянные.

Из теоремы вытекает, что если и - решения уравнения (11),то решениями этого уравнения будут также функции и . Решение содержит две постоянные величины и .Возникает вопрос; будет ли это решение общим решением уравнения (11)? Для ответа на этот вопрос необходимо ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции и называются линейно независимыми на интервале если равенство

(12)

выполняется тогда и только тогда , когда .Если хотя бы одно из чисел или отличны от нуля и равенство (12) выполняется ,то функции и называются линейно зависимыми на .Очевидно, что функции и линейно зависимы, тогда и только тогда когда они пропорциональны т.е. для всех выполняется равенство или , где .

Например, функции и линейно зависимы, т.к. а и линейно независимы т.к. .

Оказывается, что совокупность любых двух линейно независимых на интервале частных решений и ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация .

Теперь можно сформулировать при каких условиях только что приведенная комбинация будет общим решением уравнения (11).

Теорема 4 ( Структура общего решения ЛОДУ второго порядка)

Если два частных решения и ЛОДУ (11) образуют на интервале фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция (12)

где - произвольные const.

Согласно теореме 3 функция (12) является решением уравнения (11).Поэтому остается доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

где .

Это легко можно доказать, но мы этого делать не будем.

2. Линейные однородные ДУ n- го порядка.

Полученные выше результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

(13)

1. Если функция является частным решением уравнения (13), то его решением является и функция .

2. Функции называются линейно независимыми на , если равенство выполняется лишь в случае, когда все числа , в противном случае (если хотя бы одно из чисел не равно нулю) функции -

линейно зависимы.

3. Частные решения уравнения (13) образуют фундаментальную систему решений на , если они линейно независимые решения в этом промежутке.

4. Общее решение ЛОДУ(13) имеет вид , где - произвольные постоянные, - частные решения уравнения (13), образующие фундаментальную систему.