- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
5. Интегрирование рациональных функций.
1) Многочлен. Понятие о рациональных функциях
Функция вида -, как говорилось ранее, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Всякий многочлен должен иметь по крайней мере один корень, действительный или мнимый(корнем многочлена называется такое значение х0 переменной х, при котором многочлен ). Очевидно, что всякий многочлен можно представить в виде , где х1, х2, … хn – корни многочлена, – коэффициент при хn. Множители (х-х1) в записанном соотношении называются линейными множителями.
Пример: Разложить многочлен на множители. Корни этого многочлена х1=-1, х2=1, х3=2, следовательно .
Можно доказать, что многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т.е. многочлен можно предоставить в виде:
……
при этом …, а все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.
Пример: .
2) Дробно-рациональная функция
Дробно-рациональной функцией называется функция равная отношению двух многочленов, т.е. , где - многочлен степени m, а - многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n. В противном случае, если m>n, то дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь - путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби , т.е. =+.
Например:
=;
Результат получен при делении столбиком на , где 15 – остаток деления.
Всякую правильную рациональную дробь можно представить (и причем единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
, где - некоторые действительные коэффициенты.
Примеры:
1. ;
2. .
Для нахождения неопределенных коэффициентов используют метод сравнения коэффициентов. Суть метода следующая. Правую часть разложения дроби приводим к общему знаменателю. В результате получим тождество =, где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами. Т.к. знаменатели равны, то тождественны и числители, т.е. P(x)=S(x).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнения, решая которую и определим коэффициенты .
Пример:
- представить дробь в виде суммы простейших дробей. Согласно сказанному раннее, получим , т.е.
;
отсюда , т.е. .
Получим: ;
Решая найдем, что, ,В=3,.
Следовательно, .
3) интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
а) (1)
б) (2)
в) вычисление интеграла вида
.
Сделаем подстановку , тогда и . Положим, .
В итоге, после подстановки, получим:
и возвращаясь к x, получим
г) Вычисление интеграла вида , где ,, данный интеграл подстановкой сводится к сумме двух интегралов Первый интеграл легко вычисляется: . Вычислим второй интеграл:
К последнему применим интегрирование по частям. Положим u=t, , ; тогда Ik-1. Подставляя это значение в выражения для Ik, найдем: . Полученное соотношение дает возможность найти Ik для любого натурального числа х>1.
д) интегрирование рациональных дробей
Рассмотренный выше материал позволяет сформулировать основные правила интегрирования рациональных дробей.
-
если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
-
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
-
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример:
(проделав операции пунктов 1) и 2), получим)
=.
Последний интеграл берем методом подстановки x+1=t, тогда x=t-1 и dx=dt. Таким образом, . Следовательно,
.