3.1. Критерий Дарбина – Уотсона (d - статистика)

Для определения наличия автокорреляции остатков чаще всего используют критерий Дарбина – Уотсона (DW критерий). Для этого вычисляется d – статистика по формуле

(30)

Найдем связь между d – статистикой и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:

(31)

где

Так как в соответствии с предпосылками использования МНК сумма и среднее значение остатков равны нулю

,

то без уменьшения общности можно предположить, что

Тогда коэффициент автокорреляции остатков (31) принимает вид:

(32)

Преобразуем формулу (30) для расчета критерия Дарбина – Уотсона следующим образом:

(33)

Сравнив формулы (32) и (33), получим следующее соотношение между критерием Дарбина – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка :

. (34)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то d = 0. Если в остатках полная отрицательная

автокорреляция, то и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то и d = 2.

Следовательно, d- статистика изменяется в пределах

. (35)

Рисунок 3.4. – Автокорреляция остатков.

Рисунок 3.4 а) соответствует случаю, когда автокорреляция остатков положительна , (остатки имеют тенденцию к группированию знаков, то есть смежные значения остатков редко изменяют знак). Рисунок 3.4 б) иллюстрирует случай, когда автокорреляция остатков отрицательна , (здесь после каждого положительного значения наблюдений идет отрицательное значение последующего) .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона следующий. Вычисляется значение d – статистики для данного динамического ряда. Далее по специальным таблицам (см. Приложение 2) определяются критические значения критерия Дарбина – Уотсона и для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели m и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток [0 ; 4] разбивают на пять отрезков. Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁ и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1- ) показано на рисунке 3.5.

Есть положительная автокорреляция остатков. С вероятностью принимается	Зона неопреде- ленности	Автокорреляция остатков отсутствует (нет оснований отклонять )	Зона неопределе-нности	Есть отрицательная автокорреляция остатков. С вероятностью принимается
0		4-		4- 4

Рисунок 3.5. – Расчет интервалов для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков.

Замечание.

Если значение d – статистики удовлетворяет неравенствам или , то при выбранном уровне значимости нельзя сделать вывод о наличии или об отсутствии автокорреляции остатков.