5 Множественная регрессия

5.1. Классический подход

Каждое явление в природе, экономике, общественной жизни, технике определяется комплексом причин. На уровень развития одного показателя могут влиять много факторов. Уровень влияния факторов на показатель может существенно различаться. Все эти закономерности следует учитывать во время проведения эконометрического анализа, прогнозирования и планирования.

При существовании линейной зависимости объясняемой переменной (показателя) от нескольких объясняющих переменных (факторов) общее выражение уравнения множественной регрессии имеет вид:

, (41)

Здесь через обозначены теоретические значения показателя, рассчитываемые по модели (8).

Модель описывает совместное одновременное влияние факторов на показатель. Задача исследования состоит в оценке параметров регрессии по результатам выборочных наблюдений над переменными, которые включены в модель. Построение модели проводят методом наименьших квадратов.

Пример 5.1.

Построить эконометрическую модель, которая характеризует зависимость между затратами на питание (условные денежные единицы), общими затратами (условные денежные единицы) и платой за обучение семьи (условные денежные единицы) на основе данных, которые приведены в таблице.

	22	30	45	62	48	64	76	108	65	90
	45	72	131	228	90	145	225	357	136	218
	1,7	1,9	2	3,4	3	3,6	4,7	5,2	4,9	5

Решение. Используем линейную двухфакторную модель

, (42)

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры ищут как решение системы линейных уравнений следующего вида

(43)

Вспомогательные вычисления удобно проводить в таблице:

Таблица 5.1

Расчет элементов системы (43)

45	1,7	22	2025	2,89	76,5	990	37,4
72	1,9	30	5184	3,61	136,8	2160	57
131	2	45	17161	4	262	5895	90
228	3,4	62	51984	11,56	775,2	14136	210,8
90	3	48	8100	9	270	4320	144
145	3,6	64	21025	12,96	522	9280	230,4
225	4,7	76	50625	22,09	1057,5	17100	357,2
357	5,2	108	127449	27,04	1856,4	38556	561,6
136	4,9	65	18496	24,01	666,4	8840	318,5
218	5	90	47524	25	1090	19620	450
1647	35,4	610	349573	142,16	6712,8	120897	2456,9

В последней строке записывают суммы чисел в столбце. Можно найти средние для каждого показателя по формулам (44)-(46)

; (44)

; (45)

. (46)

Система (43) для определения параметров регрессии имеет вид:

Из первого уравнения можно выразить и подставить во второе и третье уравнения:

Тогда уравнение регрессии (42) имеет вид

. (47)

Важным этапом регрессионного анализа является оценка практической значимости построенной модели. Проверку значимости модели проводят на основании показателей тесноты связи между признаками и с помощью множественного коэффициента корреляции , который выявляет зависимость между фактическими и теоретическими значениями объясняемой переменной. Его вычисляют по формуле (48)

(48)

Для вычисления множественного коэффициента корреляции целесообразно рассчитать вспомогательную таблицу:

Таблица 5.2