2. Автокорреляция уровней динамического ряда

При наличии в динамическом ряде тенденции значения каждого последующего уровня ряда могут зависеть от предыдущих [8].

Определение.

Корреляционная зависимость между последовательными уровнями динамического ряда называется автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного динамического ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Определение.

Коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка называется линейный коэффициент корреляции между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е.

(27)

где

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями ряда t и t-2 и определяется формулой

; (28)

где

Определение.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уровней, называется лагом.

С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции используется правило – максимальный лаг не должен превышать .

Свойства коэффициента автокорреляции:

1. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить только о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для динамических рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, экспоненциальная модель тренда), коэффициент автокорреляции уровней может приближаться к нулю. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующей коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом ряде динамики, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя сделать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных имеют положительную автокорреляцию уровней, но при этом характеризуются убывающей тенденцией.

Определение.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называется автокорреляционной функцией динамического ряда.

Определение.

График зависимости значений автокорреляционной функции динамического ряда от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализируя автокорреляционную функцию и коррелограмму можно выявить структуру ряда динамики. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени.

Пример 2.1.

В таблице представлены данные о средних расходах на конечное потребление yi за 8 лет. Рассчитать коэффициенты автокорреляции уровней временного ряда расходов на конечное потребление.

хі	1	2	3	4	5	6	7	8
уі	7	8	8	10	11	12	14	16

Решение.

Определим коэффициент автокорреляции между рядами уi и yi-1 и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов.

Поскольку

,

,

то используя результаты вспомогательных расчетов, представленных в таблице 2.1, и формулу (27), получим

.

Таблица 2.1

				-	( - )	( )^2	( - )^2
1	7	-	-	-	-	-	-
2	8	7	-3,29	-3	9,87	10,8241	9
3	8	8	-3,29	-2	6,58	10,8241	4
4	10	8	-1,29	-2	2,58	1,6641	4
5	11	10	-0,29	0	0,00	0,0841	0
6	12	11	0,71	1	0,71	0,5041	1
7	14	12	2,71	2	5,42	7,3441	4
8	16	14	4,71	4	18,84	22,1841	16
	86	70	-0,03^*	0	44,0	53,4287	38
^*Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления

Полученное значение r₁, близко к единице и свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Вычислим коэффициент автокорреляции второго порядка. Для этого

вычислим среднее значение

,

и построим вспомогательную таблицу 2.2.

Таблица 2.2

				-	( )( - )	( )^2	( - )^2
1	7	-	-	-	-	-	-
2	8	-	-	-	-	-	-
3	8	7	-3,83	-2,33	8,9239	14,6689	5,4289
4	10	8	-1,83	-1,33	2,4339	3,3489	1,7689
5	11	8	-0,83	-1,33	1,1039	0,6889	1,7689
6	12	10	0,17	0,67	0,1139	0,0289	0,4489
7	14	11	2,17	1,67	3,6239	4,7089	2,7889
8	16	12	4,17	2,67	11,1339	17,3889	7,1289
	86	56	0,02^*	0,02^*	27,3334	40,8334	19,3334
^*Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления

Подставив полученные значения в формулу (28), получим

.

Большое значение коэффициента автокорреляции второго порядка подтверждает вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Пример 2.2.

В таблице представлены условные данные об объемах потребления электроэнергии жителям региона за 16 кварталов. Вычислить автокорреляционную функцию и определить структуру ряда.

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
yi	6,0	4,4	5,0	9,0	7,2	4,8	6,0	10,0	8,0	5,6	6,4	11,0	9,0	6,6	7,0	10,8

Решение.

Построим вспомогательную таблицу 2.3.

Таблица 2.3.

1	6,0	-	-	-	-
2	4,4	6,0	-	-	-
3	5,0	4,4	6,0	-	-
4	9,0	5,0	4,4	6,0	-
5	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0
6	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4
7	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0
8	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0
9	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2
10	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8
11	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0
12	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0
13	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0
14	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6
15	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4
16	10,8	7,0	6,6	9,0	11,0

Найдем коэффициент автокорреляции первого порядка, используя формулу (27). Он равен r₁ = 0,165 . Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень y_i зависит от и в гораздо большей степени, чем от уровня .Рассчитав коэффициенты автокорреляции k - порядка (k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), получим автокорреляционную функцию исходного ряда. Ее значения приведены в таблице 2.4, а коррелограмма показана на рисунке 2.1

Таблица 2.4.

Лаг	1	2	3	4	5	6	7	8
Коэффициент автокорреляции уровней	0,165154	0,566873	0,113558	0,983025	0,118711	0,722046	0,003367	0,973848

Рисунок 2.1. – Коррелограмма к примеру 2.2

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряду сезонных (циклических) колебаний периодичностью в четыре квартала.