1.1. Определение параметров моделирующих функций

Моделирующее уравнение характеризует связь между анализируемым показателем и фактором времени, которая проявляется как некоторая закономерность лишь в среднем по совокупности наблюдений. Практически в каждом отдельном случае фактическое значение у имеет вид

, (1)

где у_i - фактическое значение анализируемого показателя;

- теоретическое значение показателя, найденное по моделирующему

уравнению;

u_i - случайная величина, характеризующая отклонение реального

значения показателя от теоретического, найденного по уравнению.

Определение.

Случайная величина (2) называется возмущением.

Возмущение включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Его присутствие в модели может быть обусловлено следующими причинами:

1.Спецификация модели, т.е. вид моделирующей функции, выбрана неправильно. Например зависимость между и х выбрана квадратичной, а, на самом деле, она является кубической.

2.Ошибки выборки. Использование временной информации представляет собой выборку из множества хронологических дат, поэтому изменив временной интервал, можно получить другую моделирующую функцию.

3.Ошибки измерения, т.е. измерения анализируемого показателя выполнены неправильно или не совсем точно.

Суммарная совокупность этих факторов и формирует переменную , которая, в отличие от других случайных переменных, называется латентной переменной .

Определение.

Латентные переменные – экономические величины, которые не входят в уравнения экономометрических моделей, но влияют на взаимозависимые переменные и имеют числовое значение.

Определение.

Числовые значения латентной переменной обозначаются и называются остатками.

Для нахождения параметров моделирующих функций можно использовать различные способы. Наиболее точным путем является метод наименьших квадратов (МНК), который разработали французский математик А.М. Лежандр и немецкий математик К.Ф.Гаусс.

Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров а и b линейной модели , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от расчетных (теоретических) минимальна

(3)

Минимизируя (3) по каждому из параметров а и b, получаем систему уравнений для оценки неизвестных параметров

(4)

Решая систему нормальных уравнений (4) либо методом Гаусса, либо методом Крамера, найдем оценки параметров а и b.

(5)

(6)

где , , n – число наблюдений. Отсчет временного фактора начинается с 1.

К моделирующим функциям нелинейным по фактору времени, но линейным по параметрам, также можно применять МНК. Например, производя в параболическом уравнении второго порядка замену переменных х₁= х , х₂= х² , получим линейное уравнение , к которому уже применим метод наименьших квадратов.

Так, имеем:

(7)

(8)

(9)

Для трендов нелинейным по оцениваемым параметрам (параметры а и b входят неаддитивно) необходимо вначале провести процедуру линеаризации, которая сводится к логарифмированию моделирующей функции по основанию е. Для оценки параметров степенной функции МНК применяется к линеаризованному уравнению , т.е. решается система уравнений

(10)

Для оценки параметров показательной функции применяем МНК к уравнению :

(11)

Основываясь на опытных значениях х и у , определяем все суммы и из соответствующих систем уравнений находим конкретные значения параметров моделирующих уравнений.

Пример 1.1.

Проанализировать расходы торгового центра на рекламу продукции за ряд лет. Найти уравнения линейной, параболической и гиперболической зависимостей.

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Расходы на рек-ламу продукции, тыс.грн.	14,6	15,5	17,0	18,7	18,8	19,8	20,1	21,5	22,8	23,0

Решение

Данные таблицы показывают, что расходы торгового центра на рекламу продукции возрастали из года в год, хотя происходило это неравномерно. Для выравнивания показателя будем использовать линейную (4), параболическую (7) и гиперболическую (8) функции. Составим вспомогательную расчетную таблицу 1.1. Отсчет временного фактора начинается с единицы.

Таблица 1.1

х	у	x^2	x^3	x^4	уx	yx^2	1/x	1/x^2	y/x
1	14,6	1	1	1	14,6	14.6	1	1	14.6
2	15,5	4	8	16	31	62	0,5	0,25	7.75
3	17,0	9	27	81	51	153	0,333	0,111	5.667
4	18,7	16	64	256	74.8	299.2	0,25	0,0625	4.675
5	18,8	25	125	625	94	470	0,2	0,04	3.76
6	19,8	36	216	1296	118.8	712.8	0,167	0,0278	3.3
7	20,1	49	343	2401	140.7	984.9	0,1428	0,0204	2.871
8	21,5	64	512	4096	172	1376	0,125	0,0156	2.6875
9	22,8	81	729	6561	205.2	1846.8	0,111	0,0123	2.533
10	23,0	100	1000	10000	230	2300	0,1	0,01	2.3
55	191,8	385	3025	25333	1132.1	8219.3	2,9288	1,5496	50.1439

В последней строке таблицы 1.1 указаны суммы всех значений для каждого столбца.

Для определения параметров уравнения линейной функции запишем систему уравнений (4) и найдем ее решение:

Таким образом, линейная модель имеет вид .

Для определения параметров уравнения параболической функции запишем систему уравнений (7) и найдем ее решение с помощью метода Гаусса:

Таким образом, – параболическая модель. Для определения параметров уравнения гиперболической функции запишем систему уравнений (8) и найдем ее решение

Таким образом, гиперболическая модель имеет вид .