1.2. Оценка адекватности и надежности модели

Фактические значения исследуемого показателя отличаются от теоретических, рассчитанных по моделирующему уравнению. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше качество модели. Адекватность экономико – математической модели устанавливается с помощью средней ошибки аппроксимации, которая определяется как средняя арифметическая относительной ошибки аппроксимации [8], т.е.

(12)

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5% погрешность. Модель считается адекватной, если .

Общую сумму квадратов отклонений индивидуальных значений показателя у от среднего значения можно представить в виде

(13)

Общая сумма квадратов = отклонений

Сумма квадратов, объясненная + моделью

Остаточная сумма квадратов отклонений

Качество модели характеризуется коэффициентом детерминации , который равен квадрату выборочного коэффициента корреляции между двумя рядами – экспериментальными и теоретическими значениями отклонений показателя от среднего значения:

(14)

Формула (14) означает, что коэффициент детерминации равен доле суммы квадратов отклонений, объясненных регрессией, в общей сумме квадратов отклонений выборки от среднего и, следовательно, . Таким образом, значение (в процентах) означает, что модель объясняет % всей дисперсии показателя, а (1- )% дисперсии не обусловлены этой моделью. Формула (14) для коэффициента детерминации справедлива как для линейных, так и для нелинейных моделей.

Из формулы (14) следует, что минимизация суммы квадратов остатков по МНК эквивалентна максимизации коэффициента детерминации . Чем ближе (при прочих равных условиях) значение к единице, тем лучше построенная модель описывает фактические данные .

Каждая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, которое зависит от числа единиц совокупности n (числа наблюдений) и числа определяемых параметров l. Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим дисперсию на одну степень свободы:

D _общ = , (15)

D_факт = , (16)

D _ост = , (17)

где l – число параметров в уравнении, - среднее значение показателя. Определение дисперсии на одну степень свободы приводит к несмещенной оценке дисперсии (см.Приложение 6).

Выбор наиболее предпочтительной модели проводится на основе анализа остаточного среднеквадратического отклонения

(18)

Выбирается та моделирующая функция, для которой остаточная дисперсия является наименьшей.

Если остаточная дисперсия оказывается примерно одинаковой для нескольких функций, то на практике предпочтение отдается более простому виду функции, так как он легче поддается интерпретации и требует меньшего числа наблюдений. Результаты исследований свидетельствует о том, что число наблюдений n должно в 6 - 7 раз превышать число параметров при переменной х.

Это означает, что строить линейную модель тренда не имея 7 наблюдений, не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, так как каждый параметр при х должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Таким образом, если в качестве моделирующей функции мы выбираем параболу второго порядка, то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений. Учитывая, что экономометрические модели часто строятся по данным рядов динамики, ограниченным по протяженности (10, 20, 30 лет), при выборе спецификации модели предпочтительна модель с меньшим числом параметров.

Оценку надежности уравнения проводят по критерию Фишера (F - критерий). Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получаем величину F – критерия:

(19)

Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F – критерия при различных уровнях значимости нулевой гипотезы Н₀ : D_факт = D_ост и различном числе степеней свободы (см. Приложение 6). Табличное значение F – критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место для данного уровня вероятности нулевой гипотезы (Приложение 4).

Вычисленное по формуле (19) значение F – критерия сравнивается с критическим (табличным) при степенях свободы (l - 1) и (n - l) и уровне значимости (уровень погрешности) или р = 1- α (уровень доверия). При моделировании показателей чаще всего допускается 5% погрешность, т.е. = 0,05. Если F (l – 1, n - l) › F_кр(l – 1, n – l, ), то уравнение считается надежным с вероятностью 0,95. В противном случае уравнение ненадежно. Чем больше расчетная величина F – критерия, тем значимее, надежнее модель.

Пример 1.2.

Проверить линейную, параболическую и гиперболическую экономико-математические модели, построенные в примере 1.1, на адекватность и надежность. Выбрать наиболее предпочтительную модель.

Решение

Выполним вспомогательные расчеты для линейной функции .

Таблица 1.2

1	14.6	14.9658	0.3658	0.02505	0.13381	17.75948
2	15.5	15.9016	0.4016	0.02591	0.161283	10.74791
3	17.0	16.8374	0.1626	0.009565	0.026439	5.48778
4	18.7	17.7732	0.9268	0.049561	0.858958	1.97909
5	18.8	18.709	0.091	0.00484	0.008281	0.221841
6	19.8	19.6448	0.1552	0.007838	0.024087	0.21604
7	20.1	20.5806	0.4806	0.02391	0.230976	1.96168
8	21.5	21.5164	0.0164	0.00076	0.000269	5.45877
9	22.8	22.4522	0.3478	0.015254	0.120965	10.70729
10	23.0	23.388	0.388	0.01687	0.150544	17.70726
				0.179	1.715611	72.247

Из формул (12), (18) получим среднюю ошибку аппроксимации , остаточную дисперсию ( для линейной функции l=2) и критерий Фишера . По таблицам Фишера находим .

Выполним вспомогательные расчеты для параболической функции .

Таблица 1.3

1	14.6		14.64751		0.04751	0.00325	0.002257	20.9764
2	15.5		15.79764		0.29764	0.0192	0.08859	13.5424
3	17.0		16.89419		0.10581	0.006224	0.011196	4.7524
4	18.7		17.93716		0.76284	0.040794	0.581925	0.2304
5	18.8		18.92655		0.12655	0.00673	0.016015	0.1444
6	19.8		19.86236		0.06236	0.00315	0.003889	0.3844
7	20.1		20.74459		0.64459	0.03207	0.415496	0.8464
8	21.5		21.57324		0.07324	0.00341	0.005364	5.3824
9	22.8		22.34831		0.45169	0.019811	0.204024	13.1044
10	23.0		23.0698		0.0698	0.00303	0.004872	14.5924
						0.13767	1.333627	73.956

Из формул (12), (18) получим среднюю ошибку аппроксимации , остаточную дисперсию (для параболической функции l=3) и критерий Фишера . По таблицам Фишера находим .

Выполним вспомогательные расчеты для гиперболической функции .

Таблица 1.4

1	14.6	13.0286	1.5714	0.10763	2.469298
2	15.5	17.37825	1.87825	0.12119	3.527823
3	17.0	18.82813	1.82813	0.10754	3.342071
4	18.7	19.55308	0.85308	0.04562	0.727737
5	18.8	19.98804	1.18804	0.06319	1.411439
6	19.8	20.27802	0.47802	0.02414	0.2285
7	20.1	20.48514	0.38514	0.01916	0.148335
8	21.5	20.64049	0.859512	0.039977	0.738762
9	22.8	20.76131	2.038689	0.089416	4.156252
10	23.0	20.85797	2.14203	0.093132	4.588293
				0.7109	21.33851

Из формул (12), (18) получим среднюю ошибку аппроксимации . Поскольку , то гиперболическая модель адекватной не является и для нее считать и критерий Фишера не надо.

Составим сводную таблицу для статистических оценок исследуемых моделей:

Таблица 1.5

Вид функции
Линейная	1.79	0,463	336.89	239
Парабола	1.38	0,436	194.08	19,4
Гипербола	7.1	–	-	-

Из сравнения средних ошибок аппроксимации видно, что для гиперболической функции она выходит за 5% уровень (модель не является адекватной), у линейной модели и параболической эта характеристика не выходит за 5% уровень и приблизительно одинаковая. Если оценивать предпочтительность, то при приблизительно равных остаточных среднеквадратичных отклонениях для линейной и параболической функций критерий Фишера для линейной функции значительно превосходит соответствующий показатель для параболической функции, поэтому линейную функцию следует признать более надежной.