Коэффициенты эластичности результативного показателя по факторам определяются по формуле (51)
(51)
Коэффициент
эластичности
по
определяет влияние этого фактора на
показатель. Если
изменится на 1%, то
изменится на
%.
Поскольку для линейной регрессии
коэффициент эластичности зависит от
и
,
то чаще всего вычисляют коэффициент
эластичности для средних
и
.
В
соответствии с моделью (14)
коэффициенты эластичности, найденные
по формуле (18) для факторных переменных,
равняются:
;
,
где
,
,
рассчитаны раньше (формулы (44)-(46)).
Итак, если общие затраты изменятся на 1%, то затраты на питание изменятся на 0,405% при условии, что остальные факторы не изменяются. Если плата за обучение изменится на 1%, то затраты на питание изменятся на 0,568% при условии, что остальные факторы не изменяются.
Предположим,
что мы хотим распространить построенную
модель на другие значения факторных
переменных и решить проблему прогнозирования
среднего значения
,
которое отвечает некоторым данным
значениям
переменных
.
Эти новые значения
могут лежать как между выборочными
наблюдениями, так и вне соответствующих
интервалов. Точечный прогноз представляет
собой вычисленное по уравнению (8)
значение (19)
.
(52)
Вычислим
прогноз для семьи с общими затратами
условных денежных единиц и платой семьи
за обучение
условных денежных единиц. Тогда по
формуле (52) следует ожидать, что затраты
на питание составят
условных денежных единиц.
5.2. Матричный подход
Построение
модели линейной регрессии возможно
проводить матричным методом. При этом
результаты наблюдений
,
значения объясняющих переменных,
параметры
функции регрессии записываем в виде
матриц:
При этом вводят переменные:
- вектор-столбец наблюдений над результативным показателем;
- матрица данных;
- вектор-столбец коэффициентов
регрессии.
Тогда уравнение регрессии в матричной форме имеет вид:
.
Используя МНК, получим в качестве решения системы нормальных уравнений вектор-столбец искомых параметров регрессии:
,
где
- транспонированная матрица.
Пример 5.2.
Построить эконометрическую модель, которая характеризует зависимость между затратами, объемом товарооборота и фондоемкостью базы. Найти стандартные ошибки параметров. Провести анализ взаимосвязи на основе полученной модели. Сделать прогноз для товарооборота 18,5 и фондоемкости базы 120.
Таблица 5.3
Данные для модели
№ |
Затраты,
|
Товарооборот,
|
Фондоемкость,
|
1 |
2,72 |
15,6 |
106,3 |
2 |
3,04 |
13,5 |
128,5 |
3 |
2,84 |
15,3 |
118 |
4 |
2,89 |
14,9 |
121,2 |
5 |
2,58 |
15,1 |
120 |
6 |
2,64 |
16,1 |
118,4 |
7 |
2,52 |
16,7 |
108,4 |
8 |
2,75 |
15,4 |
110 |
9 |
2,63 |
17,1 |
105,9 |
Оценим параметры модели по МНК. Выпишем основные матрицы, входящие в исследование:
Замечание:
В матрице
всегда первый столбец состоит из единиц
– это связано с присутствием в уравнении
свободного члена
.
Найдем обратную матрицу:
Определим оценки параметров модели:
Таким
образом,
и искомая модель имеет вид:
.
Множественный
коэффициент корреляции для данной
модели
подтверждает тесную связь между
затратами, товарооборотом и фондоемкостью.
Коэффициент
детерминации
свидетельствует о том, что вариация
затрат на 67,5% определяется вариациями
товарооборота и фондоемкостью базы.
Доверительный
интервал для
по формуле (48) имеет вид:
,
что говорит о достаточной надежности коэффициента.
Значимость уравнения проводим по критерию Фишера. По формуле (50)
.
По
таблице Фишера имеем
.
Сравнивая
и
,
получаем, что
.
Это означает, что уравнение регрессии
является значимым, вполне надежным.
Вычислим частные коэффициенты корреляции, используя элементы обратной матрицы, они находятся так:
,
(53)
где
– элемент обратной матрицы.
Зависимость между факторами определим по -критерию:
(54)
Тогда
,
,
.
Найдем
критическое значение по таблице
Стьюдента:
.
Заметим, что
;
.
Следовательно, рассматриваемые факторы
взаимосвязаны, т.е. затраты зависят от
товарооборота и фондоемкости базы.
Вместе с тем
– это говорит о том, что факторы не
взаимосвязаны. Таким образом, товарооборот
не зависит от фондоемкости.
Параметр
показывает величину изменения затрат
в зависимости от изменения товарооборота
на единицу при неизменной фондоемкости,
т.е. если товарооборот увеличится на
единицу, то затраты уменьшатся на 0,137
единицы.
Параметр
показывает величину изменения затрат
в зависимости от изменения фондоемкости.
Увеличение фондоемкости на единицу при
неизменном товарообороте уменьшат
затраты на 0,00141 единицы.
Коэффициент эластичности:
.
Таким образом, если товарооборот увеличить на 1%, то затраты уменьшаться на 0,78%. По формуле (18) имеем:
,
Если фондоемкость базы увеличить на 1%, то затраты уменьшаться на 0,059%.
Вычислим прогноз величины затрат для товарооборота 18,5 и фондоемкости базы 120.
,
,
Мы получили, что при увеличении объема товарооборота и фондоемкости общие затраты снижаются.
Замечание. В экономике довольно часто встречаются регрессионные зависимости, нелинейные относительно оцениваемых параметров. Этот класс регрессий не допускает непосредственного применения МНК. Для того, чтобы сделать это возможным, линеаризируют зависимости по оцениваемым параметрам.
Так, например, путем логарифмического преобразования можно перейти от зависимости показательного типа к линейной:
,
.
Произведя
замену:
,
получим уравнение, линейное относительно
параметров
.
Степенная
функция:
после логарифмирования принимает вид:
Параметры регрессий исходных функций находят путем обратных преобразований.