1.3. Оценка параметров уравнений

При исследовании рядов динамики обычно оценивается значимость не только моделирующего уравнения в целом, но и его отдельных параметров. Поскольку все простейшие экономико – математические модели линеаризацией можно привести к линейной, то рассмотрим алгоритм оценки параметров линейного моделирующего уравнения .

С помощью остаточной дисперсии на одну степень свободы (18) определяем дисперсию коэффициентов a и b (стандартные ошибки параметров a и b )

(20)

(21)

Замечание

Для линейной модели l = 2, поэтому остаточная дисперсия имеет вид

(22)

Для оценки значимости коэффициентов a и b уравнения их величина сравнивается с дисперсией коэффициентов, т.е. определяются фактические значения t - критерия Стьюдента:

, (23)

которые затем сравниваются с критическими (табличными) при заданном уровне значимости (обычно = 0,05) и числе степеней свободы (n - l) (Приложение 3). Если фактические значения t – критерия превышают табличное , то параметры уравнения статистически значимы, в противном случае – нет.

Затем определяем доверительные интервалы для параметров уравнения

(24)

(25)

Замечание

Можно показать, что справедливо соотношение

Для линейной модели тренда справедливо равенство .

Замечание	Поскольку параметры в эконометрических моделях имеют четкую экономическую направленность, то доверительные границы интервалов (24), (25) не должны содержать противоречивых результатов. Например, запись -10 указывает, что истинное значение параметра b одновременно содержит положительные и отрицательные величины, и даже ноль, чего не может быть. Если стандартные ошибки параметров больше абсолютных значений этих параметров, то это может означать, что оценка параметров является смещенной.
Пример 1.3.	Провести оценку коэффициентов для линейной модели тренда, построенной в примере 1.1.

Решение.

Уравнение линейной модели тренда имеет вид , следовательно, коэффициенты равны: a= 14,03 b= 0,9358. В примере 1.2 определено остаточное среднеквадратическое отклонение . Для расчета дисперсии коэффициентов и построим вспомогательную таблицу 1.6, учитывая, что = 5,5.

Таблица 1.6

1	-4,5	20,25	1
2	-3,5	12,25	4
3	-2,5	6,25	9
4	-1,5	2,25	16
5	-0,5	0,25	25
6	0,5	0,25	36
7	1,5	2,25	49
8	2,5	6,25	64
9	3,5	12,25	81
10	4,5	20,25	100
		82,5	385

Используя формулы (20) и (21), получим дисперсии коэффициентов и :

По формулам (23) определяем фактические значения t - критерия Стьюдента:

По таблицам Стьюдента находим критическое значение t –критерия, которое при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы n – l =

= 10 – 2 = 8 равно (8;0,05) = 2,306. Фактические значения t - статистик больше критического значения

,

следовательно, коэффициенты a и b линейной модели тренда статистически значимы.

По формулам (24) и (25) найдем доверительные интервалы для параметров модели:

или

;

В целом доверительную зону можно рассматривать как удовлетворительную, так как для коэффициента a разброс значений составляет 5,96%, а для коэффициента b – 10,5%.