3.2. Нециклический коэффициент автокорреляции остатков

Уровень автокорреляции остатков измеряют также с помощью нециклического коэффициента автокорреляции, который характеризует тесноту связи остатков каждого последующего значения с предыдущим, а именно, ряда с рядом . Нециклический коэффициент корреляции вычисляется по формуле [1]:

(36)

Если то получим отрицательную автокорреляцию остатков, если - положительную. Если , то автокорреляция остатков отсутствует. Однако, не всегда можно установить вероятностный характер , поэтому чаще используют циклический коэффициент автокорреляций.

3.3.Циклический коэффициент автокорреляции остатков

Циклический коэффициент автокорреляции остатков характеризует тесноту связи рядов и , и вычисляется по формуле [1]:

(37)

Для того, чтобы сделать вывод о наличии автокорреляции остатков фактическое значение циклического коэффициента автокорреляции сравнивают с критическим (табличным) для заданного числа наблюдений и уровня значимости (см. Приложение 1). Если то можно утверждать, что автокорреляция остатков присутствует. В противном случае автокорреляция остатков отсутствует.

Пример 3.2.

Проверить гипотезу о наличии автокорреляции остатков с помощью циклического коэффициента автокорреляции для линейной функции, построенной в примере 1.1.

Решение.

Линейная функция, которая была построена в примере 1.1, имеет вид Исходные данные, значения остатков и результаты промежуточных расчетов представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

х
1	14.6	14.9658	-0.3658			0.13381
2	15.5	15.9016	-0.4016	-0.3658	0.1469	0.16128
3	17.0	16.8374	0.1626	-0.4016	-0.0653	0.02644
4	18.7	17.7732	0.9268	0.1626	0.15069	0.85896
5	18.8	18.709	0.091	0.9268	0.08434	0.008281
6	19.8	19.6448	0.1552	0.091	0.01412	0.024087
7	20.1	20.5806	-0.4806	0.1552	-0.07459	0.23098
8	21.5	21.5164	-0.0164	-0.4806	0.007882	0.000269
9	22.8	22.4522	0.3478	-0.0164	-0.005704	0.12097
10	23.0	23.388	-0.388	0.3478	-0.13495	0.15054
			0.031		0.123388	1.7156

По формуле (37) рассчитаем циклический коэффициент автокорреляции остатков:

Зададим уровень значимости . По таблицам определим критическое значение коэффициента автокорреляции . . Поскольку , то автокорреляция остатков отсутствует, что согласуется с результатом примера 3.1.

4. Гетероскедастичность

Так как каждая конкретная выборка данных не содержит информации о дисперсиях ошибок, то исследователю приходится задавать функциональные зависимости для этих дисперсий. Наиболее часто используется графический анализ остатков и тест Голдфельда – Квандта.

Графический анализ остатков

Это наиболее простой и наглядный способ обнаружения гетероскедастичности. После нахождения теоретической зависимости модели строится график остатков регрессии или их квадратов . Если разброс отклонений равномерный (находится внутри полосы постоянной ширины), то модель гомоскедастична. Изменение ширины полосы разброса остатков свидетельствует о наличии гетероскедастичности (см. рисунок 3.2).

4.1 Тест Голдфельда – Квандта

Этот тест является вероятностным тестом статистической проверки гипотезы Н_о об отсутствии гетероскедастичности или гипотезы Н₁ – о ее наличии. Он базируется на предположении о пропорциональной зависимости между стандартным отклонением и значениями фактора х_і, т.е. Очевидно, в этом случае следует ожидать, что сумма квадратов в начале выборки будет значительно меньше, чем в конце выборки. Кроме того, предполагается нормальное распределение остатков и отсутствие автокорреляции остатков

Алгоритм выполнения теста Голдфельда – Квандта

1. Выборка упорядочивается в порядке возрастания .

2. Четверть средних элементов выборки отбрасывается (множество В2), после чего первые элементов образуют выборку В1 , а последние элементов – выборку В3.

3. Для выборок В1 и В3 строятся две линейные модели, определяются остатки и находятся их суммы и .

4. Определяется F-статистика значимости гипотезы Н_о об отсутствии гетероскедастичности .

5. По таблице критических значений F- статистики (см. Приложение 4) с уровнем значимости и числом степеней свободы находится критическое значение .

6. При F > F_кр гипотеза Н_о об отсутствии гетероскедастичности отвергается и принимается гипотеза Н₁ – гетероскедастичность присутствует. В противном случае принимается гипотеза Н_о.

Пример 4.1

Данные по товарообороту торгового предприятия за 24 месяца приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	5,2	7,1	6,5	6	8	7	6,1	9	7,2	10,7	7	11
	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
	8,2	10,7	9	13,4	11,9	8,8	10	14	10,1	9	16,8	14

Используя тест Голдфельда – Квандта, определить в линейной модели наличие или отсутствие гетероскедастичности.

Решение.

Рассмотрим выборку объема , представленную двумя левыми столбцами таблицы 4.2. Графический анализ (рисунок 4.1) показывает, что разброс выборочных значений показателя у относительно линейного тренда нарастает с увеличением х. Согласно тесту Голдфельда – Квандта первые = 9 элементов относим к выборке В1 , последние 9 элементов – к выборке В3. Для выборок В1 и В3 строим модели линейных трендов: для выборки В1 (см. рисунок 4.2); для выборки В2 (см. рисунок 4.3).

Рисунок 4.1 – Линейный тренд для полной выборки

Таблица 4.2

3	5,2	5,973333	-0,77333	0598044
4	7,1	6,205	0,895	0,801025
5	6,5	6,436667	0,06333	0,004011
6	6	6,668333	-0,66833	0,446669
7	8	6,9	1,1	1,21
8	7	7,131667	-0,1367	0,017336
9	6,1	7,363333	-1,2633	1,596011
10	9	7,595	1,405	1,974025
11	7,2	7,826667	-0,62667	0,392711	7,039833
12	10,7
13	7
14	11
15	8,2
16	10,7

Продолжение таблицы 4.2

17	9
18	13,4	10,82667	2,57333	6,622044
19	11,9	11,12	0,78	0,6084
20	8,8	11,41333	-2,61333	6,829511
21	10	11,70667	-1,70667	2,912711
22	14	12	2	4
23	10,1	12,29333	-2,19333	4,810711
24	9	12,58667	-3,58667	12,86418
25	16,8	12,88	3,92	15,3664
26	14	13,17333	0,826667	0,683378	54,69733

Рисунок 4.2. – Линейный тренд для выборки В1

Рисунок 4.3. – Линейный тренд для выборки В3

Вычислим остатки , их квадраты и суммы квадратов и . Результаты расчетов приведены в таблице 4.2.

Определим F- статистику

.

По таблице критических точек распределения Фишера (Приложение 2) при находим F_кр=3,79. Так как F >F_кр с доверительной вероятностью 95% гипотеза Н_о отвергается, то есть гетероскедастичность в данной выборке имеет место.