148

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Часть I. Аналитическая геометрия

Для самостоятельной работы студентов

физического и математического факультетов

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа

УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических

наук М.Н.Подоксенов

Рецензент: доцент кафедры прикладкой математики УО «ВГУ им. П.М.Машерова,

кандидат физико-математических наук Л.В.Командина

Данное учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов физического факультета обучающихся по специальности «физика и математика». Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.

Рекомендуется также для студентов очного и заочного отделений математического факультета, обучающихся по специальности «Математики и информатика».

УДК 514.072

ББК 22.151 р 30

 Подоксенов М.Н., 2008.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 7

§1. Направленные отрезки. Понятие вектора. 7

§2. Операции над векторами. 8

§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве. 12

§4. Проекция вектора на ось. 13

§5. Скалярное произведение векторов. 16

§6. Координаты вектора и точки на прямой. 18

§7. Координаты вектора и точки на плоскости. 18

§8. Координаты вектора и точки в пространстве. 22

§9. Деление отрезка в данном отношении. 24

§10. Векторное произведение. 25

§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах. 27

§12. Смешанное произведение векторов. 30

§13. Двойное векторное произведение. 32

§14. Полярная система координат на плоскости. 33

§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве. 34

§16. Преобразование координат. 36

§17. Общее преобразование координат в пространстве. 39

§18. Примеры решения задач. 40

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ 48

§1. Уравнение кривой и поверхности. 48

§2. Уравнение прямой на плоскости. 51

§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 56

§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой. 58

§6. Пучок прямых. 60

§7. Уравнение плоскости в пространстве. 62

§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости. 65

§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. 66

§10. Уравнение прямой в пространстве. 67

§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 68

§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми. 70

§13. Примеры решения задач. 73

ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 89

§1. Эллипс. 89

§2. Гипербола. 92

§3. Конические сечения. Парабола. 95

§4. Касательные к коническим сечениям. 100

§5. Диаметры конических сечений. 101

§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат. 103

§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой. 104

§8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай   0). 107

§9. Классификация нецентральных кривых второго порядка (случай  = 0). 109

111

§10. Примеры решения задач. 111

ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 120

§1. Цилиндрические поверхности. 120

§2. Конические поверхности. 122

§3. Поверхность вращения. 125

§4. Эллипсоид. 127

§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды. 128

§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды. 132

§7. Классификация поверхностей второго порядка. 134

§8. Примеры решения задач 138

ПРИЛОЖЕНИЕ 144

§1. Матрицы и определители. 144

§2. Правило Крамера. 145

Используемые сокращения 147

Алфавитный указатель 147

Литература 149