§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.

П усть  – коническое сечение,  – его эксцентриситет, F – фокус, FF – перпендикуляр, опущенный на директрису . Выберем полярную СК так, чтобы полярная ось совпадала с лучом FF. Обозначим p=|FF| – расстояние от фокуса до директрисы.

Пусть M(r, ) – произвольная точка кривой , MM – перпендикуляр к , MM – перпендикуляр к полярной оси. Тогда

|FM| =r, |MM| = p – r·cos . ()

Согласно определению |FM|/|MM| = . Подставим в это равенство формулы ():

= .

Для того, чтобы получилось уравнение в явном виде, мы выразим из этого равенства r:

(p – r·cos ) = r  p = r + r·cos  

 r = . (7)

Но данное уравнение получается только в случае, изображённом на первом чертеже, т.е. в случае когда кривая расположена по одну сторону от директрисы. Значит, оно верно для эллипса и параболы. Также (7)

з адаёт ещё одну ветвь гиперболы. Гипербола имеет ещё одну ветвь, расположенную по другую сторону от . Если точка M(r, ) принадлежит этой ветви, то

|MM| = |FM|–|FF| =

=r·cos  – p.

Тогда точно также получим уравнение

r = .

Окончательно получается уравнение гиперболы

r = . (7)

§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + 2а₁х + 2а₂у + с = 0, (8)

в котором хотя бы один из коэффициентов а₁₁, а₁₂, а₂₂ отличен от нуля. Выражение

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂ у²

называется квадратичной часть уравнения, 2а₁х + 2а₂у – линейной частью, а с – свободным членом.

Если мы перейдем к новой СК Oxy, то формулы замены координат будут иметь вид

x = x + y + b₁,

y = x + y + b₂.

Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x и y во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.

Определение. Точка O называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.

Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M(x, y) кривой будет принадлежать и точка M(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂у² – 2а₁х – 2а₂у + с = 0. (8)

Вычтем из равенства (8) равенство (8):

4(а₁х + а₂ у) = 0.

И это должно выполняться для любой точки M(x, y) на кривой. Поэтому а₁ = а₂ = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК Oху примет вид

а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂у² + с = 0, (9)

т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Координаты (x_o, y_o) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений

(10)

а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁ = 0,

а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + а₂ = 0.

Доказательство. Введем новую декартову СК Oху, которая получается из Oху переносом начала в центр O(x_o, y_o) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:

(11)

x = x + х_o,

y = y + у_o.

Подставим эти формулы в (7):

а₁₁(x+ х_o)² + 2а₁₂ (x+ х_o)( y+ y_o) + а₂₂(y+ y_o)² +

+ 2а₁(x+ х_o) + 2а₂(y+ y_o) + с = 0.

После преобразований получаем

а₁₁(x)² + 2а₁₂ xy+ а₂₂(y)² + 2(а₁₁х_o+ а₁₂ у_o+ а₁)x+

+ 2(а₁₂х_o+ а₂₂ у_o+ а₂)y+ с= 0,

где с = (x_o, y_o) – значение левой части уравнения (7) в точке O. Поскольку в новой СК коэффициенты при x и y должны быть равны нулю, то получаем (10).

З аметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с.

О бозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),

 = det A, _x = – , _y = – .

1 случай.   0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение

x_o= _x/, y_o= _y /, (_*)

а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а₁ и а₂ находятся в (10) не в правой части, а в левой.

2 случай.  = 0, _x 0 и _y 0 (заметим, что в случае  = 0, определители _x и _y будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A=1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.

3 случай.  = 0, _x = _y = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.

Упростим еще величину с:

с = (x_o, y_o) = а₁₁х_o² + 2а₁₂ х _oу_o + а₂₂ у_o² + 2а₁х_o + 2а₂ у_o + с =

= (а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁) х_o+ (а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + а₂)у_o + а₁₂ х_o + а₂₂ у_o + с.

В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем

с = а₁ х_o + а₂ у_o + с. (12)

Подставляя сюда (_*) получаем

с = а₁ + а₂ + с = (а₁_x + а₂ _y + с) = , (13)

где

а₁₁ а₁₂ а₁

 = а₁₂ а₂₂ а₂ .

а₁ а₂ с

В скобках как раз стоит разложение  по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с по формулам (12).