§13. Двойное векторное произведение.

Определение. Двойным векторным трех векторов a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( называется вектор (a;\s\up8((b;\s\up9(( )c;\s\up8((.

О бозначим d;\s\up9(( = (a;\s\up8((b;\s\up9(( )c;\s\up8(( . Если a;\s\up8((  b;\s\up9((, то a;\s\up8(( b;\s\up9(( = o;\s\up8((  d;\s\up9(( = o;\s\up8(( . Пусть теперь a;\s\up8(( и b;\s\up9(( неколлинеарны. Согласно определению, векторное произведение перпендикулярно сомножителям

Поэтому d;\s\up9((  a;\s\up8((b;\s\up9((, a;\s\up8(( a;\s\up8((b;\s\up9((, b;\s\up9(( a;\s\up8((b;\s\up9(( .

Значит вектор d;\s\up9(( компланарен a;\s\up8(–( и b;\s\up9((. и мы можем разложить d;\s\up9(( через a;\s\up8(( и b;\s\up9((:

d;\s\up9(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((. (_*)

(это верно и в случае d;\s\up9(( = o;\s\up8(( ). Вычислим коэффициенты этого разложения. По определению векторного произведения d;\s\up9(( c;\s\up8((  d;\s\up9(( ·c;\s\up8(( = 0. Домножим обе части равенства (_*) скалярно на вектор c;\s\up8((:

0 = (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( ) + ( b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( ).

Очевидно, что уравнение x + y = 0 относительно неизвестных  и  имеет общее решение (– ky, kx), kR . Таким образом

( a;\s\up8(–(b;\s\up9(( )c;\s\up8(( = – k(b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8(( + k(a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9((.

Для того, чтобы вычислить неизвестный координат k, мы вычислим обе части равенства в специально выбранной декартовой СК. Направим ось Ox a;\s\up8((, а Oy так, чтобы b;\s\up9(( был параллелен плоскости Oxy. Тогда a;\s\up8(((a₁, 0, 0), b;\s\up9(((b₁, b₂, 0), c;\s\up8(((c₁, c₂, c₃). Находим:

a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( = a₁c₁, b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( = b₁c₁ + b₂c₂ ,

(b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8((= (b₁c₁ + b₂c₂)a₁i, (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9(( = a₁c₁(b₁i + b₂j).

– k(b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8(( + k(a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9(( = k(– a₁b₂c₂ i + a₁b₂c₂ j).

Сравнивая последнее равенство с (_**) получаем k =1. Итак,

(a;\s\up8((b;\s\up9(()c;\s\up8(( = – (b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8(( + (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9(( 

a;\s\up8(((b;\s\up9(( c;\s\up8(( ) = – (b;\s\up9(( c;\s\up8(( )a;\s\up8(–( = b;\s\up9(( (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( ) – c;\s\up8((( a;\s\up8(( ·b;\s\up9(( ) . (23)

Именно в таком виде формулу для вычисления двойного векторного произведения и запоминают. Для этого есть у нее название «бац минус цаб».

Упражнение. Самостоятельно проверьте с помощью этой формулы тождество Якоби:

(a;\s\up8((b;\s\up9(( ) c;\s\up8(( + (b;\s\up9(( c;\s\up8(( ) a;\s\up8(( + (c;\s\up8(( a;\s\up8(( )b;\s\up9((  o;\s\up8((.

§14. Полярная система координат на плоскости.

В ыберем на плоскости произвольные точку O и ось OP, которая задается единичным направленным отрезком OE;\s\up10( –( . Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим r = OM,  = (OE;\s\up10( –(, OM;\s\up10( –() – ориентированный угол. Тогда пара (r, ) называется полярными координатами точки M.

Точка O называется полюсом, а OP – полярной осью. Совокупность точки O и оси OP называется полярной системой координат на плоскости.

Очевидно, что 0 r < + , а для угла  обычно договариваются, что 0  < 2, либо, что – <   . При этом, если r = 0, то считается  неопределенным.

Найдем связь между декартовыми и полярными координатами точки M. Выберем декартову СК так, чтобы точка O была ее началом, а положительное направление оси Ox совпадало с направлением оси OP. Пусть M₁ и M₂ – проекции точки M на координатные оси Ox и Oy соответственно. Тогда из OMM₁ и OMM₂ получаем

x = r cos  , r = ,

^{y = r sin  . (14)}  = arctg . ^(14)

Но последнее равенство верно только для нашего чертежа, когда x > 0. Вообще, знание синуса, косинуса, или тангенса в отдельности не позволяет однозначно определить угол . Его следует находить сразу из двух равенств:

cos  = x/r, sin  = y/r,

либо так:  = arccos _, если y  0;  = – arccos _, если y < 0 (предполагается, что – <   ). Использование арктангенса неудобно: надо оговаривать еще случай x = 0 и поэтому приходится писать 4 равенства.