§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.

Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k – базисные орты. Пусть a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃), b;\s\up9(((b₁, b₂, b₃). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому

a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = (a₁i + a₂j + a₃k) ·(b₁i + b₂j + b₃k) = a₁b₁i·i + a₁b₂ i·j + a₁b₃ i·k +

+ a₂b₁j·i + a₂b₂ j·j + a₂b₃ j·k + a₃b₁k·i + a₃b₂ k·j + a₃b₃k·k.

Нам известно, что i, j, k – единичные и взаимно ортогональные  i·i = = j·j = k·k = 1, i·j = i·k = j·k = 0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому

a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ . (7)

 a;\s\up8(( ² = a;\s\up8(( ·a;\s\up8((= a₁² + a₂² + a₃² (8)

 a;\s\up8((= = (9)

 cos(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = = . (10)

Если A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то AB;\s\up10( –( (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) 

AB;\s\up10( –(= . (11)

Обозначим (A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда (A, B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. (A, B) = (B, A);

2. (A, B) + (B, C)  (A, C) (неравенство треугольника);

3. (A, B)  0, и (A, B) = 0  A = B.

В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.

Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой СК: a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃) и b;\s\up9(((b₁, b₂, b₃), вычисляется по формуле:

₍₁₂₎

= (a₁b₂ – a₂b₁)i – (a₁b₃ – a₃b₁)j + (a₂b₃ – a₃b₂)k .

Доказательство. Обозначим c;\s\up8(( – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.

1. С одной стороны

c;\s\up8((²= (a₂b₁– a₃b₁)² + (a₁b₃ – a₃b₁)² + (a₂b₃ – a₃b₂)² (*) ,

А с другой стороны

(a;\s\up8((b;\s\up9((sin(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ))² = a;\s\up8((²b;\s\up9((²sin²(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) =a;\s\up8((²b;\s\up9((²(1 – cos²(a;\s\up8((, b;\s\up9(( )) =

=a;\s\up8((²b;\s\up9((²– a;\s\up8((²b;\s\up9((²cos²(a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) =a;\s\up8((²b;\s\up9((² – (a;\s\up8(( ·b;\s\up9(( )² =

= (a₁² + a₂² + a₃² ) · (b₁² + b₂² + b₃² ) – (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)². (_**)

С амостоятельно раскройте скобки в (_*) и (_**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.

^2. a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( = (a₁i + a₂j + a₃k) · ( )

так как в определителе есть две одинаковые строки. Значит a;\s\up8(( c;\s\up8(( . Ана-логично доказывается, что b;\s\up9((c;\s\up8((.

3

x

y

z

a;\s\up8((

O

c;\s\up8((

b;\s\up9((

. Если a;\s\up8(( b;\s\up9((, то строки в определителе пропорциональны и наша формула дает нулевой вектор. Пусть a;\s\up8(( и b;\s\up9(( неколлинеарны. Выберем СК таким образом, чтобы Oxa;\s\up8((, а Oy лежала в одной плоскости с a;\s\up8(( и b;\s\up9((, причем положительное ее направление указывало в ту же полуплоскость, что и b;\s\up9((. Ось Oz после этого определяется

однозначно. Тогда a;\s\up8(((a₁,0, 0), b;\s\up9(((b₁, b₂, 0), причем, a₁> 0, b₂> 0. Согласно формуле (12) получаем c;\s\up8(( = a₁b₂k, причем, a₁b₂> 0. Значит c;\s\up8(–( Oz, и из чертежа видим, что тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) – правая.

И так, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.

Следствие 1. a;\s\up8(( b;\s\up9(( = – b;\s\up9((a;\s\up8((.

Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:

Следствие 2. (a;\s\up8(( ) b;\s\up9(( = (a;\s\up8(( b;\s\up9(( ).

Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:

Следствие 3. a;\s\up8(( (b;\s\up9(( +c;\s\up8(( ) = a;\s\up8((b;\s\up9(( + a;\s\up8((c;\s\up8((.

Действительно, по свойствам определителя

Следствие 4. ij = k, ki = j, jk = i.

Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).

В се эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».