Введение

Данный курс лекций рассчитан на студентов физического факультета, обучающихся по специальности «физика и математика» и написан в соответствии с учебной программой по данной специальности. Он также будет полезен студентам заочного отделения математического факультета, обучающимся по специальности «математика и информатика».

Курс лекций сопровождается примерами решения задач. Это будет очень полезно студентам заочного отделения при решении контрольных работ и студентам очного отделения при решении индивидуальных практических заданий. Это особенно актуально в связи с тем, что большое количество часов в учебной программе отводится на самостоятельную работу студентов.

Основное внимание уделяется изложению фактического материала. Доказательства приводятся по-возможности кратко.

В первую часть курса вошли разделы, относящиеся к аналитической геометрии: векторная алгебра и системы координат, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка. В приложении приводятся сведения из алгебры, необходимые для изучения аналитической геометрии. Это связано с тем, что данные разделы изучаются в курсе алгебры, как правило, слишком поздно. Материал, изложенный мелким шрифтом, считается дополнительным.

Во вторую часть курса предполагается включить разделы: векторное и аффинное пространство, группы преобразований, дифференциальная геометрия, методы изображений.

Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.

Определение. Отрезок AB называется направленным, если указано, какая из точек A или B является его началом, а какая концом.

Е сли A – начало, а B – конец, то этот отрезок обозначается AB;\s\up10( –(, а на чертеже его конец обозначается стрелочкой.

Определение. Длиной направленного отрезка AB;\s\up10( –( называется длина отрезка AB.

Определение. Направленные отрезки AB;\s\up10( –( и A1B1;\s\up10( –( называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи AB и A₁B₁ сонаправлены (противоположно направлены). Пишем AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –( (AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –().

Определение. Два направленных отрезка AB;\s\up10( –( и A1B1;\s\up10( –( называются эквивалентными или равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Пишем AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –(. Очевидно, AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –(  они совмещаются параллельным переносом.

Легко проверить, что данное отношение, определенное на множестве всех направленных отрезков плоскости или пространства обладает следующими свойствами:

1. AB;\s\up10( –(AB;\s\up10( –( (рефлексивность),

2. AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –(  A1B1;\s\up10( –(AB;\s\up10( –( (симметричность),

3. (AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –(  A1B1;\s\up10( –(AB;\s\up10( –() AB;\s\up10( –(A2B2;\s\up10( –( (транзитивность).

Таким образом, отношение, которое мы определили, действительно является отношением эквивалентности (это отношение изучается в курсе алгебры). Поэтому множество всех направленных отрезков распадается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу отрезков.

Определение. Вектором называется класс эквивалентных между собой направленных отрезков. Другими словами, каждый направленный отрезок задает вектор, при этом, эквивалентные отрезки задают один и тот же вектор. Направление всех отрезков данного класса называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора. Длина вектора a;\s\up8(( обозначается a;\s\up8(( .

Если вектор a;\s\up8(( задается направленным отрезком AB;\s\up10( –(, то пишем a;\s\up8(( = AB;\s\up10( –(, и говорим, что AB;\s\up10( –( есть вектор a;\s\up8((, отложенный из точки A . На чертеже вектор изображается любым из задающих его направленных отрезков.

П редложение 1. Пусть задан направленный отрезок AB;\s\up10( –( и произвольная точка A₁. Тогда существует одна и только одна точка B₁, такая что AB;\s\up10( –(A1B1;\s\up10( –(. Другими словами, данный вектор можно отложить из любой точки, и притом, единственным образом.

Упражнение. Доказательство проведите самостоятельно

П ример. Пусть ABCD – парал­лело­грамм. Тогда AB;\s\up10( –(DC;\s\up10( –( , и поэтому эти направленные отрезки они задают один и тоже вектор. Аналогично BC;\s\up10( –( и AD;\s\up10( –( задают один и тот же вектор.

Определение. Вектор, длина ко-торого равна нулю, называется нулевым и обозначается o;\s\up8((. Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.

Определение. Векторы a;\s\up8(( и b;\s\up9(–( называются сонаправленными (противоположно направленными), если задающие их направленные отрезки сонаправлены (противоположно направлены). Пишем a;\s\up8((  b;\s\up9(( (a;\s\up8((  b;\s\up9(( ). Два вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Пишем a;\s\up8(( ^|| b;\s\up9((. Считается, что у o;\s\up8(( направление неопределено и он коллинеарен любому вектору. Три и более векторов, параллельных одной плоскости называются компланарными.