§5. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов a;\s\up8(( и b;\s\up9(( называется число

a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = ^|a;\s\up8(( ^|b;\s\up9(( cos( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ). (1)

Число a;\s\up8(( ² = a;\s\up8(( · a;\s\up8(( называется скалярным квадратом вектора a;\s\up8((.

Из определения получаем

a;\s\up8(( ² = – ^|a;\s\up8(( ^||a;\s\up8(( ^| cos 0 ^о = ^|a;\s\up8(( ^|2  ^|a;\s\up8(( ^| = .

Также из определения очевидно, что равенство a;\s\up8(–( · b;\s\up9(–( = 0 возможно только в следующих случаях: 1. ^|a;\s\up8(( ^|= 0 , 2. b;\s\up9((= 0 , 3. (a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = /2.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. 1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

2. Для того, чтобы ненулевые векторы a;\s\up8(( и b;\s\up9(( были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю ( a;\s\up8((  b;\s\up9((  a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = 0).

С огласно п^о1 теоремы 2 величина b;\s\up9(( cos( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) равна скалярной проекции вектора b;\s\up9(( на ось, направление которой определяется вектором a;\s\up8((. Обозначим эту величину _a;\s\up5((b;\s\up9((. Тогда

a;\s\up8(( · b;\s\up9(( = ^|a;\s\up8(( ^|·_a;\s\up5((b;\s\up9(( =b;\s\up9(( _b;\s\up6((a;\s\up8(( . (2)

Свойства скалярного произведения.

1. a;\s\up8(( ·b;\s\up9(( = b;\s\up9(( ·a;\s\up8(( (коммутативность);

2 . (a;\s\up8(( ) · b;\s\up9(( = ( a;\s\up8(( · b;\s\up9(( ); (линейность)

3. a;\s\up8((·(b;\s\up9(( + c;\s\up8(–( ) = a;\s\up8(( · b;\s\up9(( + a;\s\up8(( ·c;\s\up8(–(;

4. a;\s\up8(( · a;\s\up8((  0, и a;\s\up8(( ·a;\s\up8(( = 0  a;\s\up8(( = o;\s\up8(–( (положительная определенность).

Доказательство. 1. Вытекает непосредственно из определения.

2. Согласно формулам (2) и свойствам скалярной проекции (п^о2 теоремы 2)

(a;\s\up8(( )·b;\s\up9(( =b;\s\up9((_b;\s\up6(((a;\s\up8(( ) =b;\s\up9(((_b;\s\up6((a;\s\up8(( ) = (b;\s\up9((_b;\s\up6((a;\s\up8(( ) = (a;\s\up8(( · b;\s\up9(( ).

3. Согласно п^о3 теоремы 2 и формулам (2) имеем

a;\s\up8(( ·( b;\s\up9(( + c;\s\up8(–( ) = ^|a;\s\up8(( ^|_a;\s\up5(((b;\s\up9(( +c;\s\up8(–( ) = ^|a;\s\up8(( ^|(_a;\s\up5((b;\s\up9(( + _a;\s\up5((c;\s\up8(–( ) = ^|a;\s\up8(( ^|_a;\s\up5((b;\s\up9(( + ^|a;\s\up8(( ^|_a;\s\up5((c;\s\up8(–( = a;\s\up8(( · b;\s\up9(( + a;\s\up8(( ·c;\s\up8(–(

4 . Вытекает непосредственно из п^о1 теоремы 3.

Замечание. Если мы знаем, чему равно скалярное произведение векторов a;\s\up8(( и b;\s\up9(( и знаем их длины, то мы можем вычислить угол между ними:

cos( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) = . (3)

Используется также следующее обозначение для скалярного произведения: (a;\s\up8((, b;\s\up9(( ).

§6. Координаты вектора и точки на прямой.

П

A

О

a;\s\up8((

B

l

усть l – произвольная прямая. Рассмотрим множество всех векторов параллельных l. Пусть a;\s\up8(( – один из них. Назовем его базисным. Пусть b;\s\up9(( ^|| l – другой вектор.

Т

b;\s\up9(–(

огда b;\s\up9(( ^||a;\s\up8((, а значит, согласно теореме 1,найдется такое число x, что b;\s\up9(( = xa;\s\up8((.

Число x называется координатой вектора b;\s\up9(( относительно базиса B = {a;\s\up8((}. Пишем b;\s\up9(((x)_B .

Если c;\s\up8(( = ya;\s\up8((, то b;\s\up9(( +c;\s\up8(( = (x + y)a;\s\up8((, а если  – произвольное число, то b;\s\up9(( = (x)a;\s\up8(( . Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Выберем теперь произвольную точку Ol. Пару R = {O, a;\s\up8(( } назовем репером. Пусть B – произвольная точка на прямой, а b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(, и b;\s\up9(((x)_B . Тогда x называется координатой точки B относительно репера R .

Очевидно, точка O делит прямую l на два луча. На одном из них точки имеют координату x  0, а на втором – x  0. Точка O называется началом координат. Базис B и репер R называются единичными, если ^|a;\s\up8(( ^| = 1. Очевидно, что в этом случае OB=b;\s\up9(( = ^| x ^||a;\s\up8(( ^|= ^| x ^|.

Если A – такая точка, что a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –(, то репером еще называют пару {O, A}.