§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.

Н апомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l_o и l₁ скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l_o, так чтобы получилась прямая l_o , пересекающаяся с l₁, и измерять угол между l_o и l₁.

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l_o: = = ^, l₁: = = . (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃) l_o, b;\s\up9(((b₁, b₂, b₃) l₁, A_o(x_o, y_o, z_o) l_o, A₁(x₁, y₁, z₁) l₁. Составим матрицу

x₁– x_o y₁– y_o z₁– z_o

A = a₁ a₂ a₃ ,

b₁ b₂ b₃

и пусть  = det A.

Теорема 8. 1. Угол между l и  вычисляется по формуле

cos  = = . (36)

2. Прямые l_o и l₁ скрещиваются   ≠ 0.

3. Прямые l_o и l₁ пересекаются   = 0 и a;\s\up8(( не коллинеарен b;\s\up9((.

4. l_o l₁  rank A = 2 и a;\s\up8(( b;\s\up9((.

5. l_o= l₁  rank A = 1.

Д оказательство. 1. Угол  между прямыми l_o и l₁ может быть равен углу  между их направляющими векторами a;\s\up8(–(, b;\s\up9((, а может быть смежным с ним. В первом случае

cos  = cos  = ,

а во втором случае

cos  = – cos  = cos  = .

Э та формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l_o, а параллельная ей прямая l_o .

2, 3. Очевидно, что прямые l_o и l₁ не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы a;\s\up8(( и b;\s\up9(( не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются  векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, AoA1;\s\up10( –( компланарны  их смешанное произведение равно нулю: a;\s\up8(( b;\s\up9(( AoA1;\s\up10( –( = 0. А в координатах это произведение точности равно  .

С оответственно, если  ≠ 0, то векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, AoA1;\s\up10( –( не компланарны, а значит, прямые l_o и l₁ не лежат в одной плоскости  они скрещиваются.

4 , 5. Если l_o l₁ или l_o= l₁, то a;\s\up8(( b;\s\up9((. Но в первом случае вектор AoA1;\s\up10( –( неколлинеарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((, и поэтому первая строка в матрице A непропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

В о втором случае все три вектора AoA1;\s\up10( –(, a;\s\up8((, b;\s\up9(( коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрице A пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если a;\s\up8(( ^|| b;\s\up9((, то прямые l_o и l₁ параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор AoA1;\s\up10( –( неколлинеарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((  l_o^|| l₁. Если же rank A = 1, то все строки в матрице A пропорциональны, а значит, все три вектора AoA1;\s\up10( –(, a;\s\up8((, b;\s\up9(( коллинеарны друг другу  l_o= l₁.

Теорема 9. Пусть две прямые l_o и l₁ в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l_o l₁ , то расстояние между l_o и l₁ находится по формуле

h = , (37)

2. если l_o и l₁ скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h = . (38)

Д оказательство. 1. Пусть l_o l₁. Отложим вектор a;\s\up8(( от точки A_o, и на векторах a;\s\up8(( и AoA1;\s\up10( –( построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l_o и l₁. Площадь этого параллелограмма: S = AoA1;\s\up10( –(a;\s\up8(( , а основание равно  a;\s\up8((. Поэтому

h = S/ a;\s\up8(( = (37).

2. Пусть l_o и l₁ скрещиваются. Проведем через прямую l_o плоскость _o l₁, а через прямую l₁ проведем плоскость ₁ l_o.

Тогда общий перпендикуляр к l_o и l₁ будет общим перпендикуляром к _o и ₁. Отложим векторы a;\s\up8(( и b;\s\up9(( из точки A_o и на векторах a;\s\up8((, b;\s\up9(( и AoA1;\s\up10( –( построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости _o, а верхнее – в плоскости ₁. Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к _o и ₁, а ее величина h будет расстоянием между l_o и l₁. Объем параллелепипеда равен AoA1;\s\up10( –( a;\s\up8(( b;\s\up9((, а площадь основания – a;\s\up8((b;\s\up9(( 

h = V/S_осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A₁(x₁, y₁, z₁) до прямой l, заданной уравнением

l: = =

вычисляется по формуле (37).