§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.

Определение. Пусть a;\s\up8(( и b;\s\up9(( – два ненулевых вектора. Отложим их из одной точки О: a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –(, b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(. Тогда углом между векторами a;\s\up8(( и b;\s\up9(( называется угол между лучами OA и OB, т.е.  =AOB. Пишем  =( a;\s\up8((, b;\s\up9(( ).

Если речь идет о векторах на плоскости, то можем ввести понятие ориентированного угла между векторами. Если кратчайший поворот

о т луча OA к лучу OB осуществляется против часовой стрелки, то считаем, что  > 0, а если по часовой – то  < 0 . Таким образом, –  <    . Если  > 0, то пара векторов (a;\s\up8((, b;\s\up9(( ) называется правой, а если  < 0 – то левой.

В пространстве понятие ориентированного угла не имеет смысла. Если посмотреть на плоскость, в которой лежат лучи OA и OB с одной стороны, то увидим, что кратчайший поворот от OA к OB осуществляется в одном направлении, а если посмотреть на плоскость с другой стороны, то мы увидим тот же поворот в другом направлении.

Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((. Отложим их из одной точки О: a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –(, b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(, c;\s\up8(( = OC;\s\up10( –(. Тройка векторов (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) называется правой, если кратчайший поворот от луча OA к лучу OB, если смотреть из точки C , выглядит как осуществляющийся против часовой стрелки. Соответственно, если этот поворот выглядит как осуществляющийся по часовой стрелке, то тройка векторов (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) называется левой. На рисунке изображена правая тройка векторов.

§4. Проекция вектора на ось.

Пусть l – некоторая прямая в пространстве. Выберем точку O l и единичный вектор e;\s\up8(( ^|| l. Построим направленный отрезок OE;\s\up10( –( = e;\s\up8((. Прямая l с отрезком OE;\s\up10( –( называется осью. Иногда говорят, что ось – это прямая, на которой задано направление.

Определение. Пусть a;\s\up8(( – произвольный вектор, а AB;\s\up10( –( – произвольный направленный отрезок, который представляет a;\s\up8((. Опустим перпендикуляры AA₁ и BB₁ на прямую l. Пусть a1;\s\up8(( = A1B1;\s\up10( –(. Тогда вектор

B





a1;\s\up8(( называется векторной проекцией вектора a;\s\up8(( на ось l и обозначается _la;\s\up8((.

М

O

E

e;\s\up8((

A₁

A

B₁

a;\s\up8((

a1;\s\up8((

l

ы имеем a1;\s\up8(( ^|| e;\s\up8((. Поэтому согласно теореме 1 существует такое число p, что a1;\s\up8(( = pe;\s\up8((. Это число называется скалярной проекцией вектора a;\s\up8(( на ось l . Поскольку e;\s\up8(( –

единичный вектор, то p – это длина вектора a1;\s\up8(( , если a1;\s\up8(( e;\s\up8((, и p = – |a1;\s\up8(( |, если e;\s\up8((a1;\s\up8(( . Будем обозначать скалярную проекцию так: _la;\s\up8((.

Зная скалярную проекцию вектора мы можем найти его векторную проекцию:

_le;\s\up8(( = (_la;\s\up8(( )e;\s\up8((; (_*)

Если a;\s\up8(( e;\s\up8((, то, очевидно, A₁= B₁ и _la;\s\up8(( = 0.

Необходимо еще доказать, что определения скалярной и векторной проекции корректны, т.е. не зависят от выбора направленного отрезка AB;\s\up10( –(, который представляет вектор a;\s\up8((. Другими словами, если мы отложим вектор a;\s\up8(( от другой точки, то его скалярная и векторная проекции не изменятся,– и это надо доказать.

Проведем через точки A и B плоскости  и  перпендикулярно l. Тогда p=_la;\s\up7(( есть расстояние между  и  . Выберем другой направленный отрезок A(B(;\s\up9(–(, представляющий a;\s\up7(( и проведем через точки A, B  плоскости  и  перпендикулярно l. Направленные отрезки AB;\s\up9(–( и A(B(;\s\up9(–( эквивалентны, а значит, они совмещаются параллельным переносом. При этом переносе плоскость  совместится с , а плоскость  – с . Значит, расстояние между  и  равно расстоянию между  и , и оно равно p. Поэтому p не зависит от выбора направленного отрезка. Направление векторной проекции также не изменится при переносе, поэтому и знак p не изменится. Итак, скалярная проекция не зависит от выбора направленного отрезка, представляющего a;\s\up7((. В силу равенства () _l a;\s\up7(( также не зависит от выбора направленного отрезка.

Теорема 2. Свойства проекции вектора на ось.

1 . _l a;\s\up8((=^|a;\s\up8(( ^| cos(e;\s\up8((, a;\s\up8(( );

2. _l(a;\s\up8(( ) = _l a;\s\up8((, _l(a;\s\up8(( ) = (_la;\s\up8(( );

3. _l(a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = _l a;\s\up8(( + _lb;\s\up9((, _l(a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = _l a;\s\up8(( + _l b;\s\up9((.

Д оказательство. 1. Поскольку определение проекции не зависит от выбора точки A , из которой отложен вектор a;\s\up8((, мы можем отложить его из точки О. Обозначим  =(e;\s\up8((, a;\s\up8(( ).

1 случай:   /2. Тогда из OBB₁ получим, что

p =OB₁=OB· cos  = ^|a;\s\up8(( ^| cos .

2 случай:  > /2. Тогда из OBB₁ получим, что

p = –OB₁= –OB· cos (– ) = ^|a;\s\up8(( ^| cos .

2. Для скалярных проекций:

1 случай:  > 0. Тогда a;\s\up8((  a;\s\up8(( и (e;\s\up8((, a;\s\up8(( ) = . Значит,

_l(a;\s\up8(( ) =a;\s\up8((cos (e;\s\up8((,a;\s\up8(( ) =

= ^|a;\s\up8(( ^|cos  = _l a;\s\up8((.

2 случай:  < 0. Тогда a;\s\up8((  a;\s\up8((,

(e;\s\up8((, a;\s\up8(( ) =  –  и cos(e;\s\up8((,a;\s\up8(( ) = – cos ,

_l(a;\s\up8(( ) =a;\s\up8((cos(e;\s\up8((,a;\s\up8(( ) = –^|a;\s\up8(( ^| (– cos ) =

= ^|a;\s\up8(( ^|cos(e;\s\up8((, a;\s\up8(( ) = _l a;\s\up8((.

3 случай:  = 0. Тогда равенство очевидно.

Для векторных проекций с помощью равенства () получаем:

_l(a;\s\up8(( ) = (_l(a;\s\up8(( )) ·e;\s\up8(( = (_l a;\s\up8(( ) ·e;\s\up8(( = (_l a;\s\up8(( ).

3 . Доказательство для векторных проекций показано на чертеже, но только для случая векторов на плоскости. Рисунок для векторов в пространстве можно найти в учебнике [10].

Д ля скалярных проекций равенство вытекает из равенства для векторных проекций. Например, в случае, изображенном на втором рисунке,

_l(a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = ^A₁C₁^,

_l a;\s\up8(( = ^A₁B₁^,

_l b;\s\up9(( = – ^B₁C₁^,

^{и мы видим, что}

^A₁C₁^ = ^A₁B₁^ +⁽– ^B₁C₁^).