§12. Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( называется число (a;\s\up8((b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8((. Оно обозначается a;\s\up8(( ·b;\s\up9(( ·c;\s\up8((, a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( или (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ).

Теорема 6. Модуль смешанного произведения трех векторов a;\s\up8((, b;\s\up9((,c;\s\up8(( численно равен объему параллелепипеда построенного на направленных отрезках OA;\s\up10( –(, OB;\s\up10( –(, OC;\s\up10( –(, представляющих эти векторы, отложенные из одной точки.

Доказательство. Пусть h – высота, опущенная из точки С на основание, которым служит параллелограмм, построенный на направленных отрезках OA;\s\up10( –( и OB;\s\up10( –(. Пусть  – угол между h и стороной OC. Тогда

h =OCcos  , S_осн =a;\s\up8(( b;\s\up9((.

Пусть  =(a;\s\up8(( b;\s\up9((, c;\s\up8(( ).

1 случай. Тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( )

правая. Тогда  =  . Поэтому

V = S_осн · h = a;\s\up8(( b;\s\up9((OCcos  =

=a;\s\up8(( b;\s\up9((c;\s\up8(( cos ( a;\s\up8(( b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) =

= (a;\s\up8(( b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8(( .

2 случай. Тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) левая. Тогда  =  –  и

cos  = – cos  

V =a;\s\up8(( b;\s\up9((OCcos  =

= –a;\s\up8(( b;\s\up9((c;\s\up8((cos ( a;\s\up8(( b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) =

=–(a;\s\up8(( b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8((.

Но объем всегда неотрицателен. Поэтому в этом случае (a;\s\up8(( b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8((  0, и мы имеем

V =(a;\s\up8(( b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8((.

Э та формула подойдет и к первому случаю.

Следствие. 1. a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( компланарны  a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( = 0;

2. тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) правая  a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( > 0;

3. тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, с;\s\up8(–( ) левая  a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( < 0.

Д ействительно, объем параллелепипеда равен нулю  векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( компланарны. Если же они образуют левую тройку, то мы уже доказали, что a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8((  0 , а так как они в этом случае некомпланарны, то неравенство будет строгим. Аналогично, если тройка (a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( ) правая, то a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8((  0 и a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( некомпланарны; поэтому неравенство будет строгим.

Свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей: (a;\s\up8(( b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8(( = a;\s\up8(( · (b;\s\up9(( c;\s\up8(( );

2. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке сомножителей: a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( = c;\s\up8(( a;\s\up8(( b;\s\up9((= b;\s\up9(( c;\s\up8(( a;\s\up8((.

3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак: a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( = – b;\s\up9(( a;\s\up8(( c;\s\up8(( = – a;\s\up8(( c;\s\up8(( b;\s\up9(( = – c;\s\up8(( b;\s\up9(( a;\s\up8((.

4. (a;\s\up8(()b;\s\up9((c;\s\up8(( = a;\s\up8(( (b;\s\up9(( ) c;\s\up8(( = a;\s\up8(( b;\s\up9(( (c;\s\up8(( ) = (a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( ).

5. (a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) c;\s\up8(( d;\s\up9(( = a;\s\up8(( c;\s\up8(( d;\s\up9(( + b;\s\up9(( c;\s\up8(( d;\s\up9(( .

Д оказательство. 1. Используя свойства определителя получаем

(a;\s\up8((b;\s\up9(( ) ·c;\s\up8(( = ( k) (c₁i + c₂j + c₃k) =

a;\s\up8(( ·(b;\s\up9((c;\s\up8(–( ) .

Именно это свойство позволяет использовать обозначение a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( без расстановки скобок. Попутно мы доказали формулу

a;\s\up8(( b;\s\up9(( c;\s\up8(( = (13)

В се остальные свойства смешанного произведения вытекают из аналогичных свойств определителя.