§4. Касательные к коническим сечениям.

О пределение. Пусть  – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем близкую к ней точку Q. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q ^– P стремится занять определенное положение l, то прямая l называется касательной к кривой  в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть  – некоторая кривая, P – точка на ней, а l – некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку Q. Обозначим d = PQ ,  – расстояние от Q до l. Если Combin = 0, то прямая l называется касательной к кривой  в точке P.

Пусть кривая  задана уравнением в неявном виде (x, y) = 0, а P(x_o, y_o). В курсе дифференциальной геометрии будет доказано, что вектор градиента функции , вычисленный в точке P

grad_P = _P

будет вектором нормали касательной к кривой  в точке P, и поэтому уравнение касательной имеет вид:

(x – x_o) + ( y – y_o) = 0.

Пусть наша кривая – это эллипс. Его уравнение

+ ^– 1= 0 .

Тогда

grad_P = ,

а уравнение касательной в точке P –

(x – x_o) + ( y – y_o) = 0.

Разделим уравнение на 2 и раскроем скобки:

^x + ^y – = 0.

Поскольку P(x_o, y_o), то выражение в скобках равно 1, и мы окончательно получаем уравнение касательной к эллипсу:

^x + ^y = 1.

Аналогично получаем уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением (4):

^x – ^y = 1.

Упражнение. Пусть парабола задана каноническим уравнением (6). Докажите, что уравнение касательной к параболе в точке P(x_o, y_o) имеет вид y_oy – p(x + x_o) = 0.

§5. Диаметры конических сечений.

Определение. Диаметром эллипса или гиперболы называется любая прямая, проходящая через их центр симметрии. Диаметром параболы называется любая прямая, параллельная ее оси. Отрезок, два конца которых лежат на коническом сечении называется хордой.

Мы уже знаем, что эллипс является проекцией окружности. Касательные к окружности или эллипсу можно характеризовать, как прямые, имеющие с кривой только одну общую точку. Поэтому проекцией касательной будет тоже касательная. Из

ш кольной программы вы должны знать, что середины параллельных хорд окружности лежат на диаметре перпендикулярном хордам, при этом, касательная к окружности в конце этого диаметра параллельна хордам. Очевидно, что при проецировании параллельные отрезки переходят в параллельные отрезки, а середина отрезка – в середину его проекции. Поэтому вышеупомянутые свойства окружности переносятся на эллипс. Более подробно мы будем про это говорить при изучении раздела «Методы изображений».

Оказывается, теми же свойствами обладают также гипербола и парабола.

Теорема 3. Середины параллельных хорд конического сечения лежат на диаметре. Направление этого диаметра называется сопряженным к направлению хорд.

Доказательство. Пусть  – эллипс или гипербола. Тогда ее уравнение можно записать в виде

x² + y² – 1 = 0.

Семейство параллельных хорд можно задать уравнениями y = kx + b, где k одинаково для всех хорд. Тогда координаты концов хорд удовлетворяют системе



x² + y² – 1 = 0,

y = kx + b.

x² + (kx + b)² – 1 = 0 

( + k²)x² + (2kb)x + (b² – 1) = 0. (_*)

Это квадратное уравнение относительно неизвестной координаты x . По теореме Виета

x₁+ x₂ = ^– ,

где x₁ соответствует одному концу хорды, а x₂ – второму. Если C(x_o, y_o) – середина хорды, то

x_o = = ^– .

Подставляя это x_o в уравнение хорды получаем

y_o = k(^– ) + b = 

= ^–  y_o = ^– x_o .

Последнее выражение от k не зависит. Значит, середины всех хорд лежат на одной прямой

y = ^– x ,

Эта прямая проходит через начало координат, т.е через центр кривой; значит она является диаметром. Ее угловой коэффициент k= – /k, т.е для эллипса k= – b²/a²k, а для гиперболы – k= b²/a²k.

Диаметры, имеющие уравнения y = kx и y = kx, называются сопряженными. Очевидно, что свойство диаметров быть сопряженными взаимно, поскольку k = – /k, т.е k выражается через k по той же формуле, что и k через k.

Пусть теперь  – парабола. Тогда координаты концов параллельных хорд находятся из системы

y² – 2px = 0 ,

y = kx + b.

В ыразим из второго уравнения x через y и подставим в первое уравнение:

y² – y + = 0 

y_o = = = const.

З начит, все середины хорд лежат на прямой y = p/k, которая параллельна оси Ox.

Теорема 4. Если диаметр пересекает коническое сечение, то касательные в точках пересечения параллельны сопряженному диаметру.

Доказательство. Пусть Q(x_o, y_o) – точка пересечения диаметра y = kx с эллипсом или гиперболой x² + y² – 1 = 0. Уравнение касательной к кривой в точке Q будет

(x_o) x + (y_o) y – 1 = 0.

Отсюда

y = – x + .

У гловой коэффициент этой прямой k= – . Т.к. точка Q(x_o, y_o) лежит на диаметре, то y_o= kx_o  x_o /y_o= 1/k . Отсюда k= – /k, т.е. угловой координат касательной такой же, как и у сопряженного диаметра.