§17. Общее преобразование координат в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R = {O, e1;\s\up6(–( , e2;\s\up6(–( , e3;\s\up6(–( } и R  = {O, e1(;\s\up6(–( , e2(;\s\up6(–( , e3(;\s\up6(–( } – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть x;\s\up7(–( – произвольный вектор, (x₁, x₂, x₃) – его координаты в первой СК, ( , x₂ , x₃ ) – во второй. Будем называть (x₁, x₂, x₃) старыми координатами вектора x;\s\up7(–(, а ( , x₂ , x₃ ) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B  = {e1(;\s\up6(–( , e2(;\s\up6(–( , e3(;\s\up6(–( } по первому базису B = { e1;\s\up6(–( , e2;\s\up6(–( , e3;\s\up6(–( } :

e1(;\s\up6(–( = с₁₁e1;\s\up6(–( + с₂₁e2;\s\up6(–( + с₃₁e3;\s\up6(–( ,

e2(;\s\up6(–( = с₁₂e1;\s\up6(–( + с₂₂e2;\s\up6(–( + с₃₂e3;\s\up6(–( , (20)

e3(;\s\up6(–( = с₁₃e1;\s\up6(–( + с₂₃e2;\s\up6(–( + с₃₃e3;\s\up6(–( .

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с₁₁ с₁₂ с₁₃

С = с₂₁ с₂₂ с₂₃

с₃₁ с₃₂ с₃₃ .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

(_*)

x;\s\up7(–( = x₁e1;\s\up6(–( + x₂e2;\s\up6(–( + x₃e3;\s\up6(–(

x;\s\up7(–( = x₁ e1(;\s\up6(–( + x₂ e2(;\s\up6(–( + x₃ e3(;\s\up6(–( .

Подставим в последнее равенство выражения (20):

x;\s\up7(–( = x₁ (с₁₁e1;\s\up6(–( + с₂₁e2;\s\up6(–( + с₃₁e3;\s\up6(–( ) + x₂ (с₁₂ e1;\s\up6(–( + с₂₂ e2;\s\up6(–( + с₃₂ e3;\s\up6(–( ) + x₃ (с₁₃ e1;\s\up6(–( + с₂₃ e2;\s\up6(–( + с₃₃ e3;\s\up6(–( ).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

x;\s\up7(–( = (с₁₁x₁ + с₁₂ x₂ + с₁₃ x₃ ) e1;\s\up6(–( + (с₂₁ + с₂₂ x₂ + с₂₃x₃ ) e2;\s\up6(–( + (с₃₁ + с₃₂x₂ + с₃₃ x₃ ) e3;\s\up6(–( .

Сравниваем с (_*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x₁= с₁₁x₁ + с₁₂ x₂ + с₁₃ x₃ ,

x₂ = с₂₁ + с₂₂ x₂ + с₂₃x₃ , (21)

x₃ = с₃₁ + с₃₂x₂ + с₃₃ x₃ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

x₁ x₁

X = x₂ X  = x₂

x₃ , x₃ ,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

X = CX  (21 )

 X = C ^–1X , (22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C ^–1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений (21) относительно неизвестных x₁ , x₂ , x₃ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку O(a, b, c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x₁= x₁ + a, x₁ = x₁ – a,

x₂ = x₂ + b, (22) x₂ = x₂ – b, (22)

x₃ = x₃ + c. x₃ = x₃ – c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.