§13. Примеры решения задач.

1. Даны координаты вершин A(1,– 6), B(–3, 0), C(6, 9) треугольника ABC. Составить уравнение окружности описанной вокруг треугольника.

Р ешение. Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О(a, b). Тогда уравнение выглядит так:

(x–a)² +(y–b)² = R² .

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M₁(x₁, y₁), и M₃(x₃, y₃) сторон BC и AB соответственно:

x₁= = = , y₁= = = , M₁ .

Аналогично m3(–1,–3).

Пусть l₃ – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB , а l₁ – к BC. Тогда n3;\s\up8(( = AB;\s\up10( –( (– 4, 6)  l₃ и l₃ проходит через M₃ . Поэтому ее уравнение:

– 4(x+1) + 6(y+3) = 0.

Аналогично n1;\s\up8(( = BC;\s\up10( –( (9, 9)  l₃ . Поэтому уравнение l₁:

9(x  ) + 9(y  ) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l₁  l₃. Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l₁ и l₃ :

x + y – 6 = 0 ,

– 4x + 6y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O(5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =AD;\s\up10( –(= = .

Значит уравнение окружности:

(x – 5)² + (y –1)² = 65.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известны уравнение одного из катетов 3x – 2y + 5 = 0, координаты вершины C(–5,–5) и координаты середины O(^– 3/2,–3) гипотенузы AB. Найти координаты

вершин A, B и координаты точки E, симметричной O относительно стороны BC. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC .

Решение. Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ. Он задан общим уравнением вида

ax + by + c = 0.

В данном уравнении геометрический смысл

коэффициентов a и b – это координаты вектора нормали n;\s\up8(((a, b). Поэтому n;\s\up8(((3,2)ВС.

Составим уравнение перпендикуляра l = OD к стороне СВ и найдем координаты точки D. Вектор n;\s\up8(( будет параллелен OD, т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l :

x = ^– + 3t, _(*)

y = – 3  2t .

Имеем D = l  BC. Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC. Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC :

^3(– + 3t) –2(–3 2t)+5 = 0,

^– + 9t +6 +4t+5 = 0,

13t = ^– , t_D = ^– .

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D(–3,–2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О, вектор скорости – это n;\s\up8((. Отрезок ОE вдвое длиннее отрезка ОD. Если за время t_D = ^– мы прошли путь от О до D, то путь от О до E мы пройдем за время t_E = 2t_D = –1. Подставляя это значение в (_*), находим E(– 4,5;–1).