§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.

Определение. Говорим, что общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0 , (14)

имеет нормальную форму, если A²+B ² = 1. Это равносильно тому, что вектор n;\s\up8(( (A, B) – единичный.

Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :

x + y + = 0.

Тогда ² + ² = 1.

Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x₁, y₁) до прямой вычисляется по формуле

h =Ax₁+ By₁+ C . (17)

С ледствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то

h = . (17 )

Доказательство. Пусть n;\s\up8(((A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то n;\s\up8(( = 1. Пусть M_o(x_o, y_o) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN

на прямую l . Пусть  =( n;\s\up8((, MoM;\s\up10( –(),  =MM_oN .

1 случай. Точка M и вектор n;\s\up8(( лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда

h =MN=MM_o·sin  =MoM;\s\up10( –(·sin( – ) =

=MoM;\s\up10( –(·cos ·n;\s\up8((= MoM;\s\up10( –( · n;\s\up8((

(мы домножили на n;\s\up8((, поскольку эта величина равна единице). Находим, что MoM;\s\up10( –( (x₁– x_o, y₁– y_o) 

h = A(x₁– x_o) + B(y₁– y_o) = Ax₁+By₁+C – (Ax_o+By_o+C)

(мы добавили и отняли C ). Поскольку M_o l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем

h = Ax₁+ By₁+ C.

2 случай. Точка M и вектор n;\s\up8(( лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда  =  – /2  sin  = – cos  и те же самые вычисления дают

h = – MoM;\s\up10( –( · n;\s\up8(( = –Ax₁ – By₁ – C.

Поскольку h – это расстояние, то h  0. Это

значит, что во втором случае Ax₁+ By₁+ C < 0 (равенство исключается, т.к. M l). Поэтому

h =Ax₁+ By₁+ C .

Э та формула подойдет и к первому случаю.

Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax₁+ By₁+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M₁, M₂ выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных ( пересекает отрезок M₁M₂ прямую l или нет).

§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.

Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p =ON – его длина,  – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M(r, ) – произвольная точка прямой.

Т огда из OMN находим

p = r_·cos( – ) или p = r_·cos( – ). (18)

Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.

Обратно, если координаты точки M(r, ) удовлетворяют (18), то OMN – прямоугольный  M l.

Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.

Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox OP. Уравнение (18) можно переписать так:

r cos  cos  + r sin  sin  – p = 0.

Согласно формулам перехода r_·cos  = x, r_·sin  = y 

x cos  + y sin  – p = 0. (19)

Э то уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров: p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos² + sin² = =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.

Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l₁: p₁ = r_·cos(₁ – ), l₂: p₂ = r_·cos(₂ – ). Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l₁ и l₂, если они параллельны.