§18. Примеры решения задач.

1 . ABCD – параллелограмм, O – его центр, M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Векторы e1;\s\up8((=OA;\s\up10( –( и e2;\s\up8(( = OB;\s\up10( –( выбраны в качестве базисных. Найти координаты вектора PB;\s\up10( –( в базисе e1;\s\up8((, e2;\s\up8((.

Решение. По правилу треугольника PB;\s\up10( –( = PO;\s\up10( –( + OB;\s\up10( –( ; PO;\s\up10( –( = OR;\s\up10( –( , а по

правилу параллелограмма сложения векторов OR;\s\up10( –( = OA;\s\up10( –( + OB;\s\up10( –( = e1;\s\up8((+ e2;\s\up8(( . Поэтому PB;\s\up10( –( = (e1;\s\up8((+ e2;\s\up8(() + e2;\s\up8(( = e1;\s\up8((+ e2;\s\up8(( . Значит, PB;\s\up10( –( .

Ответ: PB;\s\up10( –(.

2. Даны координаты векторов a;\s\up8(((17, 0) и b;\s\up9(((–1, 1) в ортонормированном базисе. Найти такое , при котором вектор c;\s\up8(( = a;\s\up8(( +b;\s\up9(( имеет абсолютную величину |c;\s\up8((| = 25 (если решений два, то достаточно взять одно из них). Найти единичный вектор, коллинеарный c;\s\up8(–( .

Решение. Вектор c;\s\up8(( = a;\s\up8(( +·b;\s\up9(( имеет координаты c;\s\up8(((17 – , 0 + ). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного :

(17 – )² + ² = 625,

2² – 34 + 289 = 625  2² – 34 – 336 = 0, 

 ² – 17 – 168 = 0.

Решая его, находим ₁= – 7; ₂= 24. Поскольку по условию достаточно найти только одно решение, ограничиваемся ₁= – 7. Тогда находим координаты вектора c;\s\up8(((24, 7). И, чтобы получить единичный вектор e;\s\up8(( ‌c;\s\up8(( , мы делим координаты вектора c;\s\up8(( на длину этого вектора, т.е. на 25: e;\s\up8((.

Ответ: ₁= – 7, e;\s\up8(( .

3. Даны координаты вектора a;\s\up8(((–2, –2) в декартовой системе координат. Вычислить координаты вектора b;\s\up9((, полученного из a;\s\up8(( поворотом: a) на угол =120^o, б) на угол =90. Пусть a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –(. Вычислить полярные координаты точки A , если полярная ось совпадает с Ox.

Решение. Координаты вектора b;\s\up9(((x, y), полученного из вектора a;\s\up8(((x, y) поворотом на угол , вычисляются по формулам:

x= x_·cos  – y_·sin  ,

y= x_·sin  + y_·cos  .

(Не путать с формулами, по которым изменяются координаты данного вектора при повороте координатных осей!)

а) В нашем случае имеем cos  = ^– _, sin  = _.

x= – (–2) _{+ 2· =} 2,

y= –2_{· – 2·}(– ) _{= –2 .}

б) Имеем sin 90=1; cos 90= 0 и по тем же формулам находим b;\s\up9(((2,–2).

Если известны декартовы координаты точки А(x, y), то ее полярные координаты (r, φ) находятся по формулам:

r = ,

cos  = _{, sin}  _{= .}

Декартовы координаты точки А совпадают с координатами ее радиус-вектора OA;\s\up10( –(. Поэтому А(–2,–2). Отсюда находим r = 4; cos  = – ; sin  = – _. Значит  = . А(4, ).

Ответ: а) b;\s\up9(((2,–2); б) b;\s\up9(((2,–2); А(4, ).

4. Даны координаты двух вершин A(3,2), B(8, 5) квадрата ABCD. Найти координаты двух других вершин.

Р ешение. Находим AB;\s\up10( –((5, 7). Вектор AD;\s\up10( –( может быть получен из AB;\s\up10( –( поворотом на 90^о, либо на –90^о. Таким образом, задача имеет два решения.

Так же, как и в предыдущей задаче находим, что AD;\s\up10( –( (–7, 5), либо AD (;\s\up10( –((7,–5). Для того, чтобы найти координаты точки D надо к координатам точки A прибавить координаты вектора AD;\s\up10( –( : D( 4, 3). Далее используем, что DC;\s\up10( –( = AB;\s\up10( –( и находим координаты C(1, 10). Второй ответ ищется аналогично.

Ответ: C(1, 10), D(– 4, 3), C(15, 0), D(10,–8).

5. Вершины четырехугольника находятся в точках A(1, 2), B(7,– 6), C(11,–3), D(8, 1). Показать, что ABCD – трапеция. Найти длины оснований трапеции, ее площадь и cosDAB.

Решение. Находим координаты векторов AB;\s\up10( –((6,–8), BC;\s\up10( –((4, 3), CD;\s\up10( –((–3, 4), AD;\s\up10( –((7,–1). Проверяем векторы, определяемые противоположными сторонами четырехугольника на коллинеарность:

– ₌ – – верно, значит AB;\s\up10( –( коллинеарен CD;\s\up10( –( .

₌ – неверно, значит BC;\s\up10( –( неколлинеарен AD;\s\up10( –(.

Т аким образом, в четырехугольнике две противоположные стороны коллинеарны, а две – нет. Значит это – трапеция, и основаниями являются AB и CD. Находим длины сторон:

AB;\s\up10( –( = = 10,

и аналогично BC;\s\up10( –(= 5; CD;\s\up10( –(= 5; AD;\s\up10( –(= 5 .

Обозначим  = BAD.

cos  = = = ,

следовательно  BAD = 45^o. Не во всех вариантах может получиться табличный угол, поэтому далее действуем так: зная cos  , находим

sin  = = _.

Tогда h =AD;\s\up10( –(· sin  = 5. Зная высоту и длины оснований находим площадь: S = (AB + CD)· h = .

Ответ: AB;\s\up10( –( = 10, BC;\s\up10( –(= 5, cos  = , S_ABCD = .

6. Дано m;\s\up8(–(= 10, n;\s\up8(( = 3,  =(m;\s\up8(–(, n;\s\up8(( ) = 30^o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a;\s\up8(–( = m;\s\up8(–( – 3n;\s\up8(( и b;\s\up9(–( = 2m;\s\up8(–( + 5n;\s\up8((, отложенных из одной точки. Найти длину медианы, исходящей из этой же точки.

Решение. Площадь параллелограмма построенного на векторах a;\s\up8(( и b;\s\up9(( , численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника, построенного на этих векторах равна половине площади параллелограмма: S_Δ= a;\s\up8((  b;\s\up9((. Пользуясь свойствами и определением векторного произведения находим

a;\s\up8((  b;\s\up9((=(m;\s\up8(–( – 3n;\s\up8(( )(2m;\s\up8(–( + 5n;\s\up8(( )= m;\s\up8(–(  m;\s\up8(–( + 5m;\s\up8(–(  n;\s\up8(( – 3n;\s\up9(–( m;\s\up8(–( – 15n;\s\up8((  n;\s\up8((=

=o;\s\up9(–( + 5m;\s\up8(–(  n;\s\up8(( + 3m;\s\up8(–(  n;\s\up8(( +15o;\s\up9(–(= 8m;\s\up8(–(  n;\s\up8((= 8m;\s\up8(–(·n;\s\up8((·sin  =

= 8·10·3· = 120 .

S_Δ= a;\s\up8((  b;\s\up9((= 60 .

Если AD – медиана ABC, то AD;\s\up10( –( = (AB;\s\up10( –( +AC;\s\up10( –(). В нашем случае, если

c;\s\up8(( – вектор, задающий медиану, то c;\s\up8(( = ( a;\s\up8(( + b;\s\up9(( ) = m;\s\up8(–( +n;\s\up8((.

Нам требуется найти длину этого вектора. Самое первое следствие из определения скалярного произведения: скалярный квадрат вектора c;\s\up8((² = c;\s\up8(( · c;\s\up8(( равен квадрату его длины c;\s\up8((². Имеем

c;\s\up8((² = c;\s\up8(( · c;\s\up8(( = ( m;\s\up8(–( + n;\s\up8(( )·( m;\s\up8(–( + n;\s\up8(( ) = m;\s\up8(–( ² + 3m;\s\up8(–( ·n;\s\up8(–( + n;\s\up8(( ²⁼

⁼ m;\s\up8(–(²+ 3m;\s\up8(–(·n;\s\up8(( · cos  +n;\s\up8((² =

= ·100 + 3·10·3· + 9 = 234 + 45.

Значит, c;\s\up8(( = .

Ответ: S_Δ= 60, длина медианы равна .

Подчеркнем, что ни в коем случае нельзя использовать обозначение m;\s\up8(–( ² вместо m;\s\up8(–(  m;\s\up8(–( ; m;\s\up8(–( ² означает m;\s\up8(–( · m;\s\up8(–( . Особо обращаем внимание, что при решении использовалось свойство n;\s\up8(( m;\s\up8(–( = – m;\s\up8(–(  n;\s\up8(( .

7. Докажите, что векторы a;\s\up8(((10, 11, 2) и b;\s\up9(((10,–10, 5) отложенные из одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, исходящее из этой же точки.

Р ешение. Для того, чтобы векторы a;\s\up8(–( и b;\s\up9(–( могли служить ребрами куба, они должны быть друг другу перпендикулярны и иметь одинаковую длину. Проверяем:

a;\s\up8((· b;\s\up9(( = 10·11 + 11·(–10) + 2· 5 = 0  a;\s\up8((  b;\s\up9(( ,

| a;\s\up8(( | = = 15,

| b;\s\up9(( | = = 15.

Вектор c;\s\up8((, задающий третье ребро куба, должен быть перпендикулярен a;\s\up8(( и b;\s\up9(( и должен иметь одинаковую с ними длину.

Согласно определению векторного произведения вектор a;\s\up8((  b;\s\up9(( будет перпендикулярен a;\s\up8(( и b;\s\up9((. Выясним, какую он будет иметь длину:

a;\s\up8(( b;\s\up9((=a;\s\up8(( ·b;\s\up9((sin( a;\s\up8(–(, b;\s\up9(( ) = 15·15· sin 90^o = 225.

Искомый вектор c;\s\up8(–( должен иметь длину 15. Следовательно, c;\s\up8(( = a;\s\up8((  b;\s\up9((. Находим

a;\s\up8(–(  b;\s\up9(( = = 75i – 30j – 210k , c;\s\up8(((5, –2,–14).

Очевидно, что вектор c1;\s\up8(( = – c;\s\up8(( тоже удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: c;\s\up8(((5, –2,–14), c1;\s\up8(((–5, 2,14).

8. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC: A(4, 0, 1), B(5,–1, 1), C(4, 7,–5), S(7, 5, 2). Найти объем пирамиды, площадь основания ABC и высоту (с помощью векторного и смешанного произведений). Найти угол BAC. Укажите, какой вектор перпендикулярен основанию. Изобразите данную пирамиду в декартовой системе координат.

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

AB;\s\up10( –((1,–1, 0), AC;\s\up10( –((0, 7,– 6), AS;\s\up10( –((3, 5, 1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда: V= AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(AS;\s\up10( –(.

Смешанное произведение можно вычислить так:

AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(AS;\s\up10( –( =

Но, поскольку для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(, то намного проще воспользоваться определением смешанного произведения: AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(AS;\s\up10( –( =(AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –()·AS;\s\up10( –( . При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –( = = i – j + k = 6i + 6j + 7k.

S_ΔABC = AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –(= = .

(AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –()·AS;\s\up10( –( = 63 + 65 + 71 = 55. V = (AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –()·AS;\s\up10( –(= .

C другой стороны, V = S_ΔABC ·h . Отсюда h = = = 5 .

Согласно определению векторного произведения вектор a;\s\up8((  b;\s\up9(( перпендикулярен a;\s\up8(( и b;\s\up9((. Поэтому вектор h;\s\up9(( = AB;\s\up10( –(AC;\s\up10( –( будет перпендикулярен основанию пирамиды; h;\s\up9(((6, 6, 7). Угол BAC ищется так же, как и в задаче 5.

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

Ответ: V = , S_ΔABC = , h = 5, h;\s\up9(((6, 6, 7).

9

C

. Вычислить площадь треугольника ABC, если вершина A находится в полюсе, а две другие имеют заданные полярные координаты: B(6, ), C(4, ). Найти длину BC. Изобразить данный треугольник.

Р

L

A

₁

₂

4

ешение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что

6

BAC = ₁– ₂ = – = ,

B

AB = 6, AC = 4.

Тогда

S_ΔABC = ABACsinBAC = 64sin = 12 = 6.

По теореме косинусов

BC² = AB² + AC² – 2ABACcosBAC = 36 + 16 – 264(– ) = 76.

Ответ: S_ΔABC = 6 , BC = = 2.

10. Новая декартова СК получена из старой переносом начала в точку O(2,–1) и поворотом на угол  = arccos .

а) Выпишите формулы, выражающие новые координаты через старые. Найдите новые координаты точки A, если известны её старые координаты: A(6, 2).

б) Выпишите формулы, выражающие старые координаты через новые. Найдите старые координаты точки B, если известны её новые координаты: B(5, 5).

Решение. а) Новые координаты выражаются через старые по формулам

x= (x – a)cos  + (y – b)sin ,

y= –(x – a)sin  + (y – b)cos ,

где (a, b) – координаты точки O,  – угол поворота координатных осей. Зная cos  находим sin  и подставляем в формулы:

x= (x – 2) + (y + 1),

y= – (x – 2) + (y + 1).

Для точки A(6, 2)_Oxy находим x= 5, y= 0. Значит A(5, 0)_Oxy.

б) Старые координаты выражаются через новые по формулам

x = xcos  – ysin  + a,

y = xsin  + ycos  + b.

В нашем случае

x = x – y + 2,

y = x + y – 1.

Подставляя сюда координаты точки B(5, 5)_Oxy находим B(3, 6)_Oxy .

Ответ: A(5, 0)_Oxy, B(3, 6)_Oxy .